Análisis de Fourier y Series de Fourier

Análisis de Fourier

• Es una herramienta matemática esencial para descomponer funciones o señales complejas en sus componentes de frecuencia individuales.
• Se aplica en procesamiento de señales, física, ingeniería y matemáticas.

Series de Fourier

• Representación de una función periódica como una suma ponderada de senos y cosenos.

Forma trigonométrica

• Para una función periódica $f(t)$ con periodo $T$, se expresa como $f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(n\omega t) + b_n \sin(n\omega t))$.
• $a_0$ representa el coeficiente de CC, que es el componente de frecuencia cero.
• $a_n$ y $b_n$ son los coeficientes de Fourier.
• $\omega = \frac{2\pi}{T}$ es la frecuencia angular fundamental.
• Los coeficientes se calculan como:
  • $a_0 = \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) dt$
  • $a_n = \frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \cos(n\omega t) dt$
  • $b_n = \frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \sin(n\omega t) dt$

Forma compleja exponencial

• Se puede expresar usando la identidad de Euler como $f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{jn\omega t}$.
• $c_n = \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) e^{-jn\omega t} dt$

Transformada de Fourier

• Extiende el concepto de series de Fourier a funciones no periódicas, transformando una función del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia.

Transformada de Fourier (FT)

• Se define como $F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt$.
  • $F(\omega)$ es la representación de la función en el dominio de la frecuencia.
  • $\omega$ es la frecuencia angular.

Transformada inversa de Fourier (IFT)

• Reconstruye la función original del dominio de la frecuencia: $f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d\omega $.

Propiedades de la transformada de Fourier

• Linealidad: La transformada de una combinación lineal de funciones es la misma combinación lineal de sus transformadas.
• Escalamiento de tiempo: Escalar la variable de tiempo afecta inversamente a la variable de frecuencia.
• Desplazamiento de tiempo: Un desplazamiento en el tiempo introduce un factor de fase en el dominio de la frecuencia.
• Dualidad: La transformada de Fourier de la transformada de Fourier de una función es proporcional a la función original invertida en el tiempo.
• Convolución: La transformada de Fourier de la convolución de dos funciones es el producto de sus transformadas de Fourier.

Aplicaciones

• Procesamiento de señales: Análisis, filtrado y compresión de señales de audio y vídeo.
• Análisis de imágenes: Mejora de imágenes, detección de objetos y reconocimiento de patrones.
• Telecomunicaciones: Modulación, demodulación y ecualización de señales.
• Física: Análisis de ondas, difracción y mecánica cuántica.
• Ingeniería: Análisis de sistemas, diseño de control y análisis de vibraciones.

Transformada discreta de Fourier (DFT)

• Es una implementación de la transformada de Fourier para secuencias discretas de longitud finita.

Definición (DFT)

• Para una secuencia de $N$ muestras $x[n]$, la DFT se define como $X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2\pi kn/N}$.
• $X[k]$ es la representación de la función en el dominio de la frecuencia
• $k$ es el índice de frecuencia.

Transformada discreta inversa de Fourier (IDFT)

• Reconstruye la secuencia original del dominio de la frecuencia: $x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j2\pi kn/N}$.

Algoritmo de transformada rápida de Fourier (FFT)

• Es un algoritmo eficiente para calcular la DFT, reduciendo la complejidad computacional de $O(N^2)$ a $O(N \log N)$.

Conclusión

• El análisis de Fourier permite la descomposición, el análisis y la manipulación de funciones y señales en términos de sus componentes de frecuencia.
• Sus aplicaciones abarcan diversas disciplinas.

Parte 1: Vectores y Matrices

• Se detallan conceptos de vectores, sistemas de coordenadas y operaciones matriciales.

Sistemas de Coordenadas

• Cartesianas: $(x, y, z)$
• Cilíndricas: $(\rho, \phi, z)$, donde $x = \rho \cos(\phi)$, $y = \rho \sin(\phi)$, $z = z$
• Esféricas: $(r, \theta, \phi)$, donde $x = r \sin(\theta) \cos(\phi)$, $y = r \sin(\theta) \sin(\phi)$, $z = r \cos(\theta)$

Vectores

• Un vector es un segmento de línea dirigida caracterizado por su longitud (magnitud) y dirección.
  • $\vec{A}$ representa un vector.
  • $A$ o $|\vec{A}|$ representa la magnitud del vector.

Componentes de un Vector

• Un vector $\vec{A}$ en un sistema de coordenadas cartesianas se expresa como $\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k}$.
• $A_x$, $A_y$, y $A_z$ son las componentes de $\vec{A}$ a lo largo de los ejes $x$, $y$, y $z$, respectivamente.
• $\hat{i}$, $\hat{j}$, y $\hat{k}$ son los vectores unitarios a lo largo de los ejes $x$, $y$, y $z$.

Operaciones con Vectores

• Suma: $\vec{A} + \vec{B} = (A_x + B_x)\hat{i} + (A_y + B_y)\hat{j} + (A_z + B_z)\hat{k}$
• Resta: $\vec{A} - \vec{B} = (A_x - B_x)\hat{i} + (A_y - B_y)\hat{j} + (A_z - B_z)\hat{k}$
• Multiplicación escalar: $c\vec{A} = (cA_x)\hat{i} + (cA_y)\hat{j} + (cA_z)\hat{k}$

Producto Punto

• Se define como $\vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos(\theta)$, donde $\theta$ es el ángulo entre los dos vectores.
  • Commutative: $\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}$
  • Distributive: $\vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{A} \cdot \vec{C}$

Producto Cruz

• Se define como $\vec{A} \times \vec{B} = (A_y B_z - A_z B_y)\hat{i} + (A_z B_x - A_x B_z)\hat{j} + (A_x B_y - A_y B_x)\hat{k}$.
• La magnitud de $\vec{A} \times \vec{B}$ es $|\vec{A}||\vec{B}|\sin(\theta)$, donde $\theta$ es el ángulo entre $\vec{A}$ y $\vec{B}$.
  • Anti-commutative: $\vec{A} \times \vec{B} = -\vec{B} \times \vec{A}$
  • Distributive: $\vec{A} \times (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \times \vec{B} + \vec{A} \times \vec{C}$

Matrices

• Una matriz es un arreglo rectangular de números, símbolos o expresiones, organizados en filas y columnas.

Operaciones Matriciales

• Suma: Si $A$ y $B$ son matrices $m \times n$, entonces $(A + B){ij} = A{ij} + B_{ij}$.
• Multiplicación escalar: $(cA){ij} = cA_{ij}$
• Multiplicación de matrices: Si $A$ es $m \times n$ y $B$ es $n \times p$, entonces $C = AB$ es $m \times p$, donde $C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik}B_{kj}$.

Teoría Algorítmica de Juegos

• Estudia las interacciones entre agentes racionales y egoístas.
• Combina la Teoría de Juegos con la Ciencia de la Computación.
  • Diseño: Diseño de Mecanismos
  • Análisis: Eficiencia, convergencia

Enrutamiento Egoísta

Modelo

• Red: grafo dirigido $G = (V, E)$.
• Tráfico: $r_e$ jugadores quieren viajar de $s_i$ a $t_i$.
• Enrutamiento: cada jugador elige un camino $s_i-t_i$, induciendo el flujo $f_e$ en cada borde $e$.
• Costo: cada borde $e$ tiene una función de costo $c_e(f_e)$
• Objetivo: minimizar el costo.

La paradoja de Braess

• Añadir un borde a una red puede aumentar el costo para todos los jugadores.

Estadísticas Inferenciales

La estadística inferencial

• Tiene como objetivo generalizar a una población conclusiones obtenidas de una muestra.

Proceso

• Población.
• Muestreo: Obtener una muestra de la población.
• Estadísticas: Calcular estadísticas de la muestra (ej: media, desviación estándar).
• Inferencia: Inferir los parámetros de la población a partir de las estadísticas de la muestra.
• Población: Parámetros desconocidos para estimar (ej: media, desviación estándar).

Vocabulario básico

Población

• Conjunto de todos los individuos u objetos de interés, donde N es el tamaño de la población.

Muestra

• Subconjunto de la población, donde n es el tamaño de la muestra.

Parámetro

• Característica numérica de la población.
  • Ejemplos: Media ($\mu$), desviación estándar ($\sigma$), proporción ($p$).

Estadística

• Característica numérica de la muestra.
  • Ejemplos: Media ($\bar{x}$), desviación estándar ($s$), proporción ($\hat{p}$).

Tipos de variables

Variable cualitativa (categórica)

• Clasifica a los individuos u objetos en categorías.
  • Nominal: Categorías sin orden natural (ej: color de ojos, sexo).
  • Ordinal: Categorías con un orden natural (ej: nivel de satisfacción, escala de Likert).

Variable cuantitativa (numérica)

• Toma valores numéricos.
  • Discreta: Valores enteros (ej: número de hijos, número de coches).
  • Continua: Valores pueden tomar cualquier valor en un intervalo (ej: altura, peso, temperatura).

Escala de medida

• Nominal: Identidad (ej: número de teléfono).
• Ordinal: Identidad + orden (ej: ranking).
• Intervalo: Identidad + orden + intervalos iguales (ej: temperatura en Celsius).
• Ratio: Identidad + orden + intervalos iguales + cero absoluto (ej: altura, peso).

Errores de muestreo y sesgos

Error de muestreo

• Diferencia entre una estadística de la muestra y el parámetro de la población correspondiente.

Sesgo

• Error sistemático que favorece algunas respuestas o a algunos individuos.
  • Puede ser causado por sesgo de selección, no respuesta, o de medición.

Reducción de sesgos

• Usar muestras aleatorias, asegurar la representatividad, preguntar claramente, minimizar la no respuesta.

Las Matemáticas de los Juegos

Juegos de Forma Extensiva con Información Perfecta

Prueba de Inducción hacia Atrás

• Se requiere probar que la inducción hacia atrás da un equilibrio Nash perfecto en subjuegos (SPNE).
  • Definición: Un equilibrio Nash perfecto en subjuegos (SPNE) es un perfil de estrategia que es un equilibrio Nash en cada subjuego.
  • Teorema: La inducción hacia atrás da un SPNE en juegos de forma extensiva finitos con información perfecta.

Prueba:

• La prueba es por inducción sobre la altura $h$ del árbol de juego.
• Caso Base: $h = 1$. El "juego" consiste en un solo movimiento por el jugador en el nodo raíz. El jugador elige el movimiento en el nodo raíz que maximiza su pago. Este es un equilibrio Nash, y ya que todo el juego es el único subjuego, el equilibrio Nash es perfecto en subjuegos.
• Hipótesis Inductiva: Asumir que la inducción hacia atrás da un SPNE para todos los juegos de altura $h \le k$.
• Paso Inductivo: Considera un juego de altura $h = k + 1$. Sea $N$ el jugador en el nodo raíz. Por la hipótesis inductiva, para cada subjuego $G'$ del nodo raíz, la inducción hacia atrás da un SPNE.

Se requiere demostrar que las estrategias de inducción hacia atrás forman un equilibrio Nash en cada subjuego, y por lo tanto forman un SPNE.

Ejercicios de Álgebra S5

Hoja 1

• La hoja contiene ejercicios sobre espacios vectoriales de dimensión finita y endomorfismos.

Ejercicio 1

• Sean $E$ un $K$-espacio vectorial de dimensión finita y $u \in \mathcal{L}(E)$ un endomorfismo de $E$, mostrar que las siguientes aserciones son equivalentes:
  • $\operatorname{Ker}(u)=\operatorname{Ker}\left(u^{2}\right)$
  • $\operatorname{Im}(u)=\operatorname{Im}\left(u^{2}\right)$
  • $\operatorname{Ker}(u) \cap \operatorname{Im}(u)={0}$
  • $\operatorname{Ker}(u)+\operatorname{Im}(u)=E$

Ejercicio 2

• Sean $E$ un $K$-espacio vectorial de dimensión finita y $u \in \mathcal{L}(E)$ un endomorfismo de $E$, mostrar que si $E=\operatorname{Ker}(u) \oplus \operatorname{Im}(u)$, entonces $\operatorname{Ker}(u)=\operatorname{Ker}\left(u^{2}\right)$ y $\operatorname{Im}(u)=\operatorname{Im}\left(u^{2}\right)$.

Ejercicio 3

• Sean $E$ un $K$-espacio vectorial de dimensión finita y $u \in \mathcal{L}(E)$ un endomorfismo de $E$ tal que $u^{2}=u$, mostrar que $E=\operatorname{Ker}(u) \oplus \operatorname{Im}(u)$ y que $\operatorname{Im}(u)={x \in E \mid u(x)=x}$.

Ejercicios 4-10

• Continúan explorando propiedades y relaciones de operadores lineales en varios espacios vectoriales, incluyendo $\mathbb{R}^{3}$, $\mathbb{R}_{3}[X]$ y $\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$.

Cinética química

• También conocida como cinética de reacción, es el estudio de las velocidades de reacción.
• Explora cómo las condiciones de reacción afectan la velocidad de reacción.

Velocidad de reacción

• Cuantifica el cambio en la concentración de reactivos o productos por unidad de tiempo.

Expresión

• Para una reacción $aA + bB \rightarrow cC + dD$, la velocidad de reacción se expresa como $rate = -\frac{1}{a}\frac{\Delta[A]}{\Delta t} = -\frac{1}{b}\frac{\Delta[B]}{\Delta t} = \frac{1}{c}\frac{\Delta[C]}{\Delta t} = \frac{1}{d}\frac{\Delta[D]}{\Delta t}$.
  • El signo negativo indica la disminución en la concentración del reactivo.
  • Los coeficientes ajustan la estequiometría.

Factores que afectan la velocidad de reacción

• Concentración de los reactantes.
• Temperatura.
• Área superficial de un reactivo sólido.
• Presión de los reactantes gaseosos.
• Presencia de un catalizador.
• Naturaleza de los reactantes.

Ley de velocidad

• Ecuación que relaciona la velocidad de reacción con las concentraciones de los reactivos.

Forma general

• Para la reacción $aA + bB \rightarrow products$, la ley de velocidad se expresa como $rate = k[A]^m[B]^n$, donde $k$ es la constante de velocidad, $[A]$ y $[B]$ son las concentraciones de los reactivos, y $m$ y $n$ son los órdenes de reacción con respecto a A y B.

Orden de reacción

• El orden de reacción es el exponente al que se eleva la concentración de un reactivo en la ley de velocidad.
  • Orden Cero: La velocidad es independiente de la concentración del reactivo ($m = 0$).
  • Primer Orden: La velocidad es directamente proporcional a la concentración del reactivo ($m = 1$).
  • Segundo Orden: La velocidad es proporcional al cuadrado de la concentración del reactivo ($m = 2$).

Leyes de velocidad integradas

Definición

• Muestran cómo las concentraciones de los reactivos cambian con el tiempo.

Ecuaciones

• Orden Cero: $[A]_t = -kt + [A]_0$
• Primer Orden: $ln[A]_t = -kt + ln[A]_0$
• Segundo Orden: $\frac{1}{[A]_t} = kt + \frac{1}{[A]_0}$

Vida media

• El tiempo requerido para que la concentración de un reactivo disminuya a la mitad de su valor inicial.
  • Orden Cero: $t_{1/2} = \frac{[A]_0}{2k}$
  • Primer Orden: $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$
  • Segundo Orden: $t_{1/2} = \frac{1}{k[A]_0}$

Mecanismos de reacción

• Serie de pasos elementales que describen el camino desde los reactivos hasta los productos.
  • El paso determinante de la velocidad determina la velocidad general de la reacción.

Teoría de colisiones

• Para que ocurra una reacción, las moléculas de los reactivos deben chocar con suficiente energía y orientación adecuada.

Ecuación de Arrhenius

• Relaciona la constante de velocidad con la energía de activación y la temperatura: $k = Ae^{-\frac{E_a}{RT}}$.

Catálisis

• Proceso de aumentar la velocidad de reacción añadiendo una sustancia (catalizador) que no se consume en la reacción.
  • Homogénea, heterogénea o enzimática.

Estática

Vectores de fuerza

• Se detallan conceptos de escalares, vectores y operaciones vectoriales.

Escalares

• Caracterizado por un número positivo o negativo.
  • Ejemplos: longitud, área, volumen, masa, tiempo, temperatura

Vector

• Posee magnitud y dirección donde la magnitud siempre es positiva
  • Ejemplos: posición, fuerza, momento

Operaciones vectoriales

• Multiplicación y división de un vector por un escalar
• Suma de vectores
  • Obedece la ley del paralelogramo
• Resta de vectores
  • Se define como la suma de un vector negativo

Adición de vectores de fuerza

Fuerza resultante

• Definida por sucesivas aplicaciones de la ley del paralelogramo

Vectores cartesianos

Componentes rectangulares de un vector

• A = $A_x$i + $A_y$j + $A_z$k

Magnitud de un vector cartesiano

• $A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}$

Dirección de un vector cartesiano

• Definido por los cosenos de dirección $\alpha$, $\beta$, $\gamma$

El producto punto

Producto punto de vectores A y B

• A · B = A B cos $\theta$
• $\theta$ es el ángulo entre A y B

Formulacion de vectores cartesianos

• A* · B = ($A_x$i + $A_y$j + $A_z$k) · ($B_x$i + $B_y$j + $B_z$k)
• A · B = $A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$

Aplicaciones

• Angulo formado entre dos vectores
• Componentes de un vector paralelo y perpendicular a una linea

Redes Neuronales

Estructura de una red neuronal

• Consta de tres capas principales:
  • Capa de entrada.
  • Capas ocultas.
  • Capa de salida.

Fórmula

• La salida de una neurona se calcula como $y = f(\sum_{i=1}^{n} w_i x_i + b)$

Funciones de activación

• Introducen no linealidad a la red neuronal
• Permitiéndole aprender patrones complejos.

Tipos de redes neuronales

• Redes Neuronales Feedforward
• Redes Neuronales Convolucionales (CNNs)
• Redes Neuronales Recurrentes (RNNs)