CM 1 : Estimation de paramètre en statistique remplir les trous

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Questions and Answers

Quel est le critère de sélection du paramètre θ dans le modèle paramétrique ?

La maximisation de la vraisemblance.

Quelle est la forme de la loi asymptotique de l'estimateur Tn(X) ?

Loi normale multidimensionnelle Nd(0d, 1, A(θ)).

Quelle est la fonction de masse de la loi estimée pour le premier exemple (ascenseurs) ?

P(x).

Quelle est la forme de la loi estimée pour le second exemple (diamètres) ?

Loi normale N(6, ∑(xi - 6)2 / n). Signup and view all the answers

Quel est le but de la comparaison entre la fonction de répartition empirique et la fonction de répartition de la loi estimée ?

Vérifier la cohérence entre les données observées et la loi estimée. Signup and view all the answers

Quelle est la formule de l'estimateur du paramètre σ2 dans le second exemple ?

σ2 = 1/n ∑(xi - µ)2. Signup and view all the answers

Quel est le test permettant de vérifier si les données suivent une famille de lois normales ou exponentielles ?

Test de Kolmogorov-Smirnov (KS) Signup and view all the answers

Quel est le principe qui permet de 'lisser' l'histogramme pour obtenir une approximation de la densité associée à la loi de la variable ?

Principe de l'Estimation Non-Paramétrique (HP) Signup and view all the answers

Quel est le nom de la méthode qui permet d'obtenir une approximation de la densité associée à la loi de la variable sans faire d'hypothèse sur la loi de probabilité sous-jacente des données ?

Estimation de la densité par noyau (Kernel Density Estimation) Signup and view all the answers

Quel est le nom donné à une famille de lois de probabilité candidate pour être la loi de probabilité sous-jacente des données ?

Modèle statistique Signup and view all the answers

Quelle est la caractéristique essentielle d'un modèle statistique ?

La famille de mesures de probabilités sur (E , E) Signup and view all the answers

Quel est le nom de la famille de lois de probabilité qui inclut les lois normales ?

Famille de lois de probabilité normales Signup and view all the answers

Qu'est-ce que l'on cherche à définir en utilisant des marges ±ϵ, ±ϵ′ autour de X et de 1/n Σ(Xi - µ)² ?

Des intervalles de confiance pour λ et σ². Signup and view all the answers

Quel est le nom de la région qui contient le paramètre θ avec une probabilité de 1 - α ?

Région de confiance (RC) de niveau 1 - α. Signup and view all the answers

Qu'est-ce qu'un intervalle de confiance (IC) de niveau 1 - α pour le paramètre θ ?

Un intervalle de R qui contient le paramètre θ avec une probabilité de 1 - α. Signup and view all the answers

Quel est le but de la construction d'intervalles de confiance ?

De prendre en compte l'incertitude de l'estimation des paramètres. Signup and view all the answers

Qu'est-ce que la valeur de α représente dans un intervalle de confiance de niveau 1 - α ?

La probabilité de ne pas contenir le paramètre θ. Signup and view all the answers

Quel est le nom du modèle statistique qui utilise des observations pour estimer les paramètres ?

Modèle paramétrique. Signup and view all the answers

Quel est l'objectif des méthodes non-paramétriques en statistique ?

Utiliser la fonction de répartition empirique pour estimer la loi de probabilité whenever possible. Signup and view all the answers

Qu'est-ce que la fonction de répartition empirique utilisée dans les méthodes non-paramétriques ?

La fonction de répartition empirique est utilisée pour estimer la loi de probabilité à partir des données. Signup and view all the answers

Quel est le but de la densité de noyau (Kernel Density Estimation) en statistique ?

Estimer la densité de probabilité à partir des données. Signup and view all the answers

Qu'est-ce qu'un modèle statistique non-paramétrique ?

Un modèle statistique qui utilise la fonction de répartition empirique ou la densité de noyau pour estimer la loi de probabilité. Signup and view all the answers

Quelle est la différence entre un modèle paramétrique et un modèle non-paramétrique ?

Un modèle paramétrique suppose une forme spécifique pour la loi de probabilité, tandis qu'un modèle non-paramétrique n'en fait pas. Signup and view all the answers

Pourquoi est-il important que F ne contienne pas deux probabilités identiques dans un modèle statistique ?

Pour s'assurer que le modèle est identifiable. Signup and view all the answers

Quel est le rôle de la fonction de vraisemblance dans un modèle statistique paramétrique générique?

La fonction de vraisemblance est utilisée pour mesurer la probabilité d'observer une réalisation x de l'observation X étant donné un paramètre θ. Signup and view all the answers

Quel est le estimatesur obtenu en utilisant la méthode des moments empiriques pour estimer le paramètre θ dans un modèle gaussien?

L'estimateur obtenu est θ̂nEMM = (m1,2) (X̄, X̄²) = (X̄, X̄² - (X̄)²) = (X̄, σ̂X²) Signup and view all the answers

Quel est le rôle des moments dans la méthode des moments empiriques pour estimer un paramètre θ?

Les moments sont utilisés pour estimer le paramètre θ en remplaçant les moments théoriques par les moments empiriques. Signup and view all the answers

Quel est le modèle statistique utilisé dans l'exemple cité dans le texte?

Le modèle statistique utilisé est le modèle gaussien, noté (R, B(R), (N(µ, σ²)) θ=(µ,σ²)∈Θ=(R×R*>+)) Signup and view all the answers

Quel est le rôle de la fonction mk dans la méthode des moments empiriques?

La fonction mk est utilisée pour définir les moments théoriques du modèle, et est notée mk(θ) = Eθ[Xk]. Signup and view all the answers

Quel est le but de la méthode des moments empiriques?

Le but de la méthode des moments empiriques est d'estimer le paramètre θ d'un modèle statistique. Signup and view all the answers

Study Notes

Estimation non paramétrique

L'estimation non paramétrique est utilisée lorsque l'on ne connait pas la famille de lois de probabilité sous-jacente des données
Cette méthode utilise la fonction de répartition empirique ou la méthode de densité à noyaux (kernel density estimation) pour estimer la loi de probabilité sous-jacente

Modèle statistique

Un modèle statistique est un triplet (E, E, F) où (E, E) est un espace probabilisable et F est une famille de mesures de probabilité sur (E, E)
Un modèle statistique peut être paramétrique ou non paramétrique

Estimation ponctuelle

L'estimation ponctuelle consiste à estimer le paramètre θ d'un modèle statistique
L'estimateur du maximum de vraisemblance est une méthode d'estimation ponctuelle

Méthode du maximum de vraisemblance

La fonction de vraisemblance est notée L(θ; x) et est définie comme la probabilité de l'échantillon x étant donné le paramètre θ
La méthode du maximum de vraisemblance consiste à trouver le paramètre θ qui maximise la fonction de vraisemblance

Estimation par intervalles de confiance

Un intervalle de confiance est une région de confiance qui est un intervalle de valeurs qui contient le paramètre θ avec une probabilité donnée
L'intervalle de confiance est noté R1−α(X) et est de niveau 1 − α si Pθ(θ ∈ R1−α(X)) ≤ 1 − α

Exemples

Exemple 1 : modèle gaussien avec deux paramètres (µ, σ²)
Exemple 2 : modèle exponentiel avec un paramètre λ

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Description

Ce quiz aborde les concepts de la statistique, notamment l'estimation de paramètre à l'aide de moments empiriques. Vous devrez vous familiariser avec les notations et les définitions pour répondre correctement aux questions.