Espacio vectorial: Concepto y subespacios

Concepto de espacio vectorial

• Un espacio vectorial V sobre un cuerpo K es un conjunto no vacío con dos operaciones: una interna (suma de vectores) que hace de (V,+) un grupo abeliano, y una externa (producto por escalar).
• Para la operación interna, dados vectores u, v ∈ V, su suma u + v también pertenece a V, y se cumplen las propiedades asociativa, conmutativa, existencia de elemento neutro (vector cero) y existencia de elemento opuesto para cada vector.
• Para la operación externa, dados un escalar λ ∈ K y un vector u ∈ V, su producto λu también pertenece a V, y se cumplen las propiedades: λ(u + v) = λu + λv, (λ + μ)u = λu + μu, λ(μu) = (λμ)u, y 1u = u (donde 1 es el elemento unidad del cuerpo K).
• Los elementos de V se llaman vectores y los elementos de K se llaman escalares.
• Habitualmente, el cuerpo K es el cuerpo de los números reales R (espacio vectorial real) o el cuerpo de los números complejos C (espacio vectorial complejo).

Subespacios vectoriales

• Un subespacio vectorial U de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K es un subconjunto no vacío de V que también es un espacio vectorial con las mismas operaciones que V.
• U es un subespacio vectorial de V si y solo si para todo u, v ∈ U y λ, μ ∈ K, la combinación lineal λu + μv también pertenece a U.
• El vector nulo 0 pertenece a todos los subespacios de un espacio V.
• Los conjuntos {0} y V son subespacios del espacio V llamados subespacios impropios.
• Al resto de subespacios de V, si los hay, se les llama subespacios propios.
• Los vectores de la forma λu + μv, donde λ, μ ∈ K, se les llama combinaciones lineales de u y v.
• Dado un sistema S = {u1, u2,..., up} ⊆ V, se llaman combinaciones lineales de S a los vectores v = λ1u1 + λ2u2 + ... + λpup, donde λ1, λ2,..., λp ∈ K.
• El conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de un conjunto S = {u1, u2,..., up} ⊆ V es un subespacio vectorial de V, que se llama subespacio engendrado por S.

Intersección y suma de subespacios

• La intersección de cualquier familia de subespacios de un espacio vectorial V es un subespacio de V.
• La unión de subespacios de V no es, en general, un subespacio de V.
• La suma de varios subespacios U1, U2,..., Up de un espacio V es el conjunto ΣUi = {u1 + u2 + ... + up : ui ∈ Ui}.
• Este conjunto ΣUi es el menor subespacio de V que contiene a todos los Ui.
• Cualquier vector de la suma puede expresarse de muchas formas como suma de vectores de los Ui.
• Cuando la descomposición de cualquier vector de ΣUi, como suma de vectores de los Ui, sea única, diremos que la suma de subespacios ΣUi es directa y escribiremos ⊕Ui.
• Para el caso de dos subespacios U1 y U2, la suma es directa si y sólo si U1 ∩ U2 = {0}.
• Dos subespacios U1 y U2 de un espacio V se dicen suplementarios si cualquier vector de V se puede expresar de una sola manera como suma de un vector de U1 y otro de U2.
• Decir que los subespacios U1 y U2 son suplementarios equivale a decir que U1 ⊕ U2 = V, lo cual a su vez es tanto como decir que U1 + U2 = V y U1 ∩ U2 = {0}.

Dependencia lineal

• Un sistema S = {u1, u2,..., up} de vectores de un espacio vectorial V es linealmente independiente (o libre) si la única combinación lineal nula que se forma con ellos es la que tiene todos sus coeficientes nulos.
• Esto es, si λ1u1 + λ2u2 + ... + λpup = 0 para ciertos λ1, λ2,..., λp ∈ K, entonces λ1 = λ2 = ... = λp = 0.
• Se dice que S es linealmente dependiente (o ligado) si no es libre, esto es, si existen algunos escalares λ1, λ2,..., λp, no todos nulos tales que λ1u1 + λ2u2 + ... + λpup = 0.
• Decir que un sistema de vectores es linealmente dependiente equivale a decir que alguno de ellos es combinación lineal de los restantes.
• Si uno de los vectores de un sistema es el vector nulo, entonces el sistema es ligado.
• Cualquier sistema formado por un vector no nulo es libre.
• Si a un sistema ligado de vectores se le añade algún vector, el sistema resultante es también ligado.
• Por el contrario, si en un sistema libre prescindimos de alguno de sus vectores, el sistema resultante es asimismo libre.

Espacios de dimensión finita

• Un espacio vectorial V es de tipo finito si está generado por un número finito de vectores, es decir, si existe algún sistema G = {u1, u2,..., up} ⊆ V tal que V = L(G).
• Teorema fundamental de la independencia lineal: Sea V un espacio vectorial de tipo finito y sea G = {u1, u2,..., up} un sistema generador de V e I = {v1, v2,..., vq} un sistema linealmente independiente de V. Ocurre entonces que q ≤ p.
• Si V es un espacio vectorial de tipo finito, se dice que un subconjunto B = {e1, e2,..., en} de V es una base de V si es un sistema generador de V que, además, es linealmente independiente.
• Si en cualquier sistema finito de vectores que engendre un espacio V eliminamos aquellos vectores que sean combinación lineal de los demás, el sistema resultante sigue generando y, además, es libre, es decir, es base de V.
• En el peor de los casos, el sistema de vectores se reduciría a un solo vector v que es no nulo pues genera a todo V ≠{0}, así que {v} es libre y, por tanto, base de V.

Existencia de bases

• Si V ≠ {0} es un espacio vectorial de tipo finito, cualquier sistema generador del mismo contiene una base de V.
• De aquí que cualquier espacio de tipo finito tiene alguna base.
• Todas las bases de un espacio vectorial V ≠ {0} de tipo finito tienen igual número de vectores.
• A este número se le llama dimensión del espacio V y se escribe dimV.

Consecuencias

• Si G = {u1, u2,..., up} es un sistema generador de V, entonces p ≥ n.
• Además, si es p = n, esto es, si G tiene n vectores, G es base de V.
• Si I = {v1, v2,..., vq} es un sistema linealmente independiente de V, es q ≤ n.
• Si se da la igualdad, es decir, si I tiene n vectores I es base de V.
• Si un sistema generador G tienen n vectores, dicho sistema contiene a una base de V que tienen n vectores, lo cual supone que dicha base es G.
• Si I fuese un sistema libre de n vectores y no fuese sistema generador, existiría algún v ∈ V tal que I ∪ {v} sería un conjunto libre de n+1 vectores, y esto es imposible.
• Al igual que, como se dijo en 12.4.4, de cualquier sistema generador puede extraerse una base eliminando aquellos vectores que son combinación lineal de los restantes, cualquier sistema libre puede ser ampliado hasta obtener una base del espacio vectorial.

Teorema de la base incompleta

• En un espacio vectorial V de dimensión finita n, todo sistema linealmente independiente de menos de n vectores puede ampliarse hasta obtener una base de V.
• Se probará que los vectores que se añaden al sistema libre pueden elegirse de entre los de una base cualquiera B de V.
• Sea, pues, I = {v1, v2,..., vp} un sistema libre y B = {e1, e2,..., en} una base de V, con p < n.
• En B hay algún vector e, que no es combinación lineal de I, pues en caso contrario I sería generador y p ≥ n, imposible.
• Así, el sistema I ∪ {e} de p+1 vectores es libre.
• Si p + 1 = n, dicho sistema sería base y la propiedad quedaría probada; si p + 1 < n, el proceso continúa.

Dimensión de un subespacio

• Si U es un subespacio de un espacio vectorial V de dimensión finita, entonces también U tiene dimensión finita y es dimU ≤ dimV, dándose la igualdad sólo si U = V.
• Si U = {0} la propiedad es evidente.
• En caso contrario, U tiene una base B de m vectores.
• Dicha base es un sistema libre de V y por 12.4.2, m ≤ dimV, es decir, dimU ≤ dimV.
• Si dimU = dimV, U contiene a una base de V y entonces U = V.

Coordenadas

• Sea V un espacio de tipo finito, sobre un cuerpo K.
• Dada una base B = {e1, e2,..., en} de V, todo vector v ∈ V se expresa como combinación lineal de los vectores de B, por ser este un sistema generador.
• Como además B es libre, dicha combinación lineal es única y podemos afirmar que: Dado cualquier vector v ∈ V.
• Existen unos únicos escalares x1,...,xn ∈ K tales que v = x1e1 + x2e2 + ... + xnen y se dice que (x1, x2,..., xn) es el sistema de coordenadas de v en la base B.

Aplicaciones lineales

• Homomorfismo o aplicación lineal: Dados dos espacios vectoriales V y W, ambos sobre un mismo cuerpo K, y una aplicación f: V → W, se dice que f es un homomorfismo o aplicación lineal si para cualesquiera u, v ∈ V y λ, μ ∈ K se verifica: f(λu + μv) = λf(u) + μf(v).
• Se deducen de forma inmediata de la definición anterior para cualquier aplicación lineal f: V → W
• f(0) = 0
• Si {u1, u2,..., up} es un sistema linealmente dependiente de vectores de V, entonces {f(u1), f(u2),..., f(up)} es un sistema linealmente dependiente de W.
• Si, además de que f: V → W es lineal, se sabe que g: W → U es aplicación lineal, entonces su composición g ◦ f: V → U es, a su vez, una aplicación lineal.
• Cuando el espacio de salida V tiene dimensión finita n, cualquier aplicación lineal f: V → W queda definida de modo inequívoco en cuanto se conocen las n imágenes de todos los vectores de una base cualquiera de V.

Determinación de una aplicación lineal

• Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K, el primero de ellos de dimensión finita.
• Si B = {e1, e2,..., en} es una base de V y {v1, v2,..., vn} es un sistema cualquiera de vectores de W, existe una única aplicación lineal f: V → W tal que: f(e1) = v1, f(e2) = v2,..., f(en) = vn.
• Asociados a cualquier aplicación lineal f: V → W hay dos subespacios: su núcleo, formado por los vectores que se transforman en el vector nulo de W, y su imagen f(V).

Núcleo e imagen de una aplicación lineal

• Si f: V → W es una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K, entonces:
• El conjunto f(V) es un subespacio de W llamado imagen de f y se nota Im f.
• Además, si {u1, u2,..., up} genera V, {f(u1), f(u2),..., f(up)} engendra Im f.
• El conjunto f^{-1}(0) = {u ∈ V : f(u) = 0} es un subespacio de V, que se llama núcleo de la aplicación lineal f, y se denota por ker f.

Isomorfismos

• De entre las aplicaciones lineales, las inyectivas son especialmente importantes.
• Son las que conservan la dimensión y transforman bases en bases.
• Si f:V -> W es una aplicación lineal, las siguientes condiciones son equivalentes
• f es inyectiva
• ker f = 0
• f transforma cualquier sistema linealmente independiente de vectores de V en un sistema linealmente independiente de vectores de W
• Se define isomorfismo a una aplicación f: V → W que sea lineal y biyectiva.
• Si f: V → W es un isomorfismo, los dos espacios vectoriales se dicen isomorfos.

Caracterización y espacio vectorial cociente

• Un isomorfismo f: V → V, de un espacio en sí mismo, recibe el nombre de automorfismo.
• Una aplicación lineal f : V → W es isomorfismo si y sólo si Im f = W y ker f = 0.
• Si V tiene dimensión finita, una aplicación lineal f : V → W es un isomorfismo si, y solo si dimV = dim Im f = dimW.
• Si U es un subespacio de un espacio vectorial V, la relación entre vectores de V dada por [u~v <=> u-v ∈ U] es una équivalencia y el correspondiente conjunto cociente, que se denota por V/U está formado por las clases [u] = u + U.
• Las operaciones de V son compatibles con esta equivalencia, lo que permite definir en V/U las suma y producto por escalar mediante: (u + U) + (v + U) = (u + v) + U ; λ(u + U) = λu + U para cada u,v ∈ V y λ ∈ K.
• Estas operaciones confieren a V/U estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo K llamado espacio vectorial cociente

Teoremas de isomorfía

• Si V es un espacio vectorial de dimensión finita y U es un subespacio de V, entonces el espacio cociente V/U tiene también dimensión finita y es dim(V/U) = dimV - dimU.
• Sean n = dim V , p = dimU y sea B' = {u_1,...,u_p} una base de U.
• B' es libre en V , así es que por 12.4.7 puede ampliarse a una base B = {u_1,..., u_p, u_{p+1},..., u_n} de V.
• Es sencillo ahora comprobar que B" = {u_{p+1} + U,...,u_n + U} es una base de V/U.
• Los espacios vectoriales V/kerf e Imf son isomorfos.
• Los espacios vectoriales (U_1+U_2)/U_1 y U_2/(U_1∩U_2) son isomorfos.
• Si U_1 ⊆ U_2, los espacios vectoriales (V/U_1)/(U_2/U_1) y V/U_2 son isomorfos.