ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS

Vector Spaces

• A vector space is a set of vectors that can be added together and multiplied by scalars, following certain axioms.
• Closure under addition: The sum of any two vectors in the vector space must also be in the vector space.
• Closure under scalar multiplication: The product of a scalar and a vector in the vector space must also be in the vector space.
• Associativity of addition: (u + v) + w = u + (v + w) for all vectors u, v, and w in the vector space.
• Commutativity of addition: u + v = v + u for all vectors u and v in the vector space.
• Existence of zero vector: There exists a vector 0 in the vector space such that u + 0 = u for all vectors u in the vector space.
• Existence of additive inverse: For every vector u in the vector space, there exists a vector -u in the vector space such that u + (-u) = 0.
• Distributivity of scalar multiplication over vector addition: c(u + v) = cu + cv for all scalars c and vectors u and v in the vector space.
• Distributivity of scalar multiplication over scalar addition: (c + d)u = cu + du for all scalars c and d and vector u in the vector space.
• Associativity of scalar multiplication: (cd)u = c(du) for all scalars c and d and vector u in the vector space.
• Identity element of scalar multiplication: 1u = u for all vectors u in the vector space.

Subspace of a Vector Space

• A subspace is a subset of a vector space that itself forms a vector space under the same operations of addition and scalar multiplication as the original vector space.
• A subspace must be closed under addition and scalar multiplication.
• Example: The set of all vectors in R3 that are of the form (x, 0, 0), where x is a real number is a subspace of R3.

Examples of Subspaces

• Set of all polynomials of degree less than or equal to n is a subspace of the vector space of all polynomials.
• Set of all matrices of a certain size is a subspace of the vector space of all matrices of that size.
• Set of all solutions to a homogeneous linear system of equations is a subspace of the vector space R^n, where n is the number of variables in the system.

Spanish Translation

### Espacios Vectoriales

• Un espacio vectorial es un conjunto de vectores que se pueden sumar y multiplicar por escalares, siguiendo ciertas axiomas.
• Cierre bajo adición: La suma de dos vectores cualesquiera en el espacio vectorial también debe estar en el espacio vectorial.
• Cierre bajo multiplicación escalar: El producto de un escalar y un vector en el espacio vectorial también debe estar en el espacio vectorial.
• Asociatividad de la adición: (u + v) + w = u + (v + w) para todos los vectores u, v y w en el espacio vectorial.
• Conmutatividad de la adición: u + v = v + u para todos los vectores u y v en el espacio vectorial.
• Existencia del vector cero: Existe un vector 0 en el espacio vectorial tal que u + 0 = u para todos los vectores u en el espacio vectorial.
• Existencia del inverso aditivo: Para cada vector u en el espacio vectorial, existe un vector -u en el espacio vectorial tal que u + (-u) = 0.
• Distributividad de la multiplicación escalar sobre la adición vectorial: c(u + v) = cu + cv para todos los escalares c y los vectores u y v en el espacio vectorial.
• Distributividad de la multiplicación escalar sobre la adición escalar: (c + d)u = cu + du para todos los escalares c y d y el vector u en el espacio vectorial.
• Asociatividad de la multiplicación escalar: (cd)u = c(du) para todos los escalares c y d y el vector u en el espacio vectorial.
• Elemento de identidad de la multiplicación escalar: 1u = u para todos los vectores u en el espacio vectorial.

Subespacio de un Espacio Vectorial

• Un subespacio es un subconjunto de un espacio vectorial que forma un espacio vectorial por sí mismo bajo las mismas operaciones de adición y multiplicación escalar que el espacio vectorial original.
• Un subespacio debe estar cerrado bajo adición y multiplicación escalar.
• Ejemplo: El conjunto de todos los vectores en R3 que son de la forma (x, 0, 0), donde x es un número real, es un subespacio de R3.

Ejemplos de Subespacios

• El conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual que n es un subespacio del espacio vectorial de todos los polinomios.
• El conjunto de todas las matrices de un cierto tamaño es un subespacio del espacio vectorial de todas las matrices de ese tamaño.
• El conjunto de todas las soluciones a un sistema de ecuaciones lineales homogéneas es un subespacio del espacio vectorial R^n, donde n es el número de variables en el sistema.

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