Esercitazione: Studio di Funzioni 1
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Questions and Answers

Qual è l'origine del piano cartesiano?

(0, 0)

Qual è la formula della funzione data?

f(x) = x^3 + 2x^2 - 6x + 3

Come si rappresentano le coppie di variabili sul piano cartesiano?

Con coordinate (x, y)

Cosa rappresenta il punto (3, 1) nel contesto della funzione f(x)?

<p>Indica che f(3) = 1</p> Signup and view all the answers

Qual è il comportamento generale della funzione f(x) per valori di x molto grandi?

<p>Tenderà verso +∞</p> Signup and view all the answers

Se x vale 0, qual è il valore di f(x)?

<p>f(0) = 3</p> Signup and view all the answers

In quale intervallo di x potrebbe trovarsi un massimo locale per la funzione f(x)?

<p>Tra -2 e 1</p> Signup and view all the answers

Qual è l'importanza di rappresentare una funzione sul piano cartesiano?

<p>Permette di visualizzare il comportamento della funzione.</p> Signup and view all the answers

Qual è il comportamento all'infinito della funzione $f(x) = x^3 + 2x^2 - 6x + 3$?

<p>Il comportamento all'infinito di $f(x)$ è che tende a $+ ext{infinito}$ quando $x$ tende a $+ ext{infinito}$ e a $- ext{infinito}$ quando $x$ tende a $- ext{infinito}$.</p> Signup and view all the answers

Come influisce il segno del coefficiente del termine di ordine maggiore sul grafico della funzione?

<p>Se il termine di ordine maggiore ha un coefficiente negativo, come in $y = -x^3$, il grafico tende a $- ext{infinito}$ per $x$ positivo e a $+ ext{infinito}$ per $x$ negativo.</p> Signup and view all the answers

Qual è l'importanza di analizzare l'esponente maggiore quando si studia il comportamento di una funzione all'infinito?

<p>L'esponente maggiore determina il comportamento predominante della funzione per valori estremi di $x$, influenzando così la forma generale del grafico.</p> Signup and view all the answers

In che modo si differenzia il comportamento delle funzioni con esponente maggiore pari rispetto a quelle con esponente maggiore dispari?

<p>Le funzioni con esponente maggiore pari tendono a $+ ext{infinito}$ sia per $x$ positivo che negativo, mentre quelle con esponente maggiore dispari hanno tendenze opposte per valori estremi di $x$.</p> Signup and view all the answers

Cosa si deve considerare riguardo alla presenza di un segno negativo davanti a un polinomio?

<p>Quando c'è un segno negativo, bisogna invertire il comportamento generale della funzione, cambiando la direzione delle estremità del grafico.</p> Signup and view all the answers

Definisci la relazione tra velocità, spazio e tempo.

<p>La velocità è pari allo spazio percorso diviso il tempo impiegato, ossia $v = \frac{s}{t}$.</p> Signup and view all the answers

Qual è la forma della funzione cubica data e quali sono i suoi coefficienti?

<p>La funzione cubica è $f(x) = x^3 + 2x^2 - 6x + 3$ con coefficienti 1, 2, -6 e 3.</p> Signup and view all the answers

Come si ottiene l'intersezione con l'asse delle ordinate per la funzione $f(x)$?

<p>L'intersezione con l'asse delle ordinate si ottiene ponendo $x=0$, risultando in $f(0) = 3$.</p> Signup and view all the answers

Qual è la condizione per determinare zeri della funzione cubica?

<p>Gli zeri si trovano risolvendo l'equazione $f(x) = 0$ per i valori di $x$.</p> Signup and view all the answers

Cosa succede alla funzione cubica per valori molto grandi o molto piccoli di $x$?

<p>Per $x$ molto grandi, $f(x)$ tende a +∞, e per $x$ molto piccoli tende a -∞.</p> Signup and view all the answers

Quale metodo si può usare per analizzare il comportamento della funzione?

<p>Un metodo è analizzare l'intersezione con gli assi e il comportamento agli estremi.</p> Signup and view all the answers

Come si calcola il valore di $f(-3)$ usando la funzione cubica?

<p>Calcolando, $f(-3) = (-3)^3 + 2(-3)^2 - 6(-3) + 3 = 15$.</p> Signup and view all the answers

Quali sono le implicazioni della derivata prima della funzione in termini di crescita e decrescita?

<p>La derivata prima determina i punti di massimo e minimo, indicando dove la funzione cresce o decresce.</p> Signup and view all the answers

Come si rappresenta graficamente la funzione cubica?

<p>Si rappresenta tracciando i punti in cui $f(x)$ assume valori definiti per vari valori di $x$.</p> Signup and view all the answers

Qual è l'effetto del termine $2x^2$ nella funzione cubica?

<p>Il termine $2x^2$ influisce sulla concavità della funzione, contribuendo a un massimo locale.</p> Signup and view all the answers

Flashcards

Piano cartesiano

Sistema di coordinate per rappresentare punti e funzioni sul piano.

Coordinate cartesiane

Sistema per localizzare punti sul piano con due valori (x, y).

Origine (0,0)

Punto di intersezione degli assi x e y.

Funzione

Relazione che associa a ogni valore di x un unico valore di y.

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Rappresentazione grafica

Visualizzazione di una funzione sul piano cartesiano.

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Punto sul piano

Posizione individuata da una coppia di coordinate (x, y).

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Coppia di variabili

Rappresentazione di un punto: un valore x e un valore y.

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f(x)

Notazione per indicare il valore di una funzione per un determinato valore di x.

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Equazione di una funzione

Rappresentazione algebrica di una regola che lega x e y.

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Velocità

Rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato per percorrerlo.

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Grafico di funzione

Rappresentazione grafica della relazione tra due variabili, solitamente espressa come una curva o una linea.

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Intersezione con asse x

Il punto in cui una curva o retta interseca l'asse delle x (asse orizzontale).

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Intersezione con asse y

Il punto in cui una curva o retta interseca l'asse delle y (asse verticale).

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Comportamento per x grandi o piccoli

Analisi di come una funzione si comporta quando i valori di x diventano molto grandi o molto piccoli.

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Studio di funzione

Processo di analisi di una funzione matematica per comprendere le sue caratteristiche, il suo andamento, e le sue proprietà grafiche.

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Funzione cubica

Una funzione in cui la variabile indipendente è elevata al cubo.

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Dominio di una funzione

L'insieme di tutti i valori possibili per la variabile indipendente (x) in una funzione.

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Studio di funzione

Process to determine important characteristics of a function such as increasing or decreasing intervals, extrema, symmetry.

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Comportamento all'infinito

Analisi del comportamento di una funzione quando x tende a più o meno infinito.

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Grado più alto dispari

Il comportamento di una funzione quando il grado della variabile indipendente (x) è dispari (es. x³, x⁵).

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Grado più alto pari

Il comportamento di una funzione quando il grado della variabile indipendente (x) è pari (es. x², x⁴).

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Segno funzione

Determinare se il valore y della funzione è positivo o negativo data una variabile x.

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Esponente Maggiore

L'esponente più alto della variabile indipendente (x) in un'equazione

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Study Notes

Informazioni Generali

  • L'università è la Università San Raffaele di Roma
  • Il docente è Veronica Redaelli
  • L'argomento è "Esercitazione: Studio di Funzioni 1"

Rappresentazione sul Piano Cartesiano

  • Un punto sul piano cartesiano è rappresentato da una coppia di variabili (x, y)
  • Le coordinate cartesiane definiscono la posizione di un punto
  • L'origine è il punto (0, 0)

Esempio di Funzione

  • Un esempio di funzione è y = x³ + 2x² - 6x + 3, annotata anche come f(x)

Metodi per lo Studio di Funzioni

  • Intersezioni con gli assi:
    • Intersezione con l'asse y: x = 0
    • Intersezione con l'asse x: y = 0
  • Comportamento all'infinito:
    • Comportamento della funzione per valori di x molto grandi o molto piccoli
  • Espressione analitica: Identificare il tipo di espressione matematica (polinomio, esponenziale, fratta)

Esponente Pari e Dispari

  • Esponente più grande pari: il grafico a forma di parabola potrebbe essere più o meno ampia rispetto all'esponente maggiore.
  • Esponente più grande dispari: il grafico segue il segno.

Funzioni Complesse

  • Le funzioni complesse richiedono l'uso di concetti come limiti e derivate per essere analizzate.
  • Un esempio di funzione complessa è ex + 3x4 / x2 + 1

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Description

Questa esercitazione si concentra sullo studio delle funzioni matematiche, in particolare sulla rappresentazione sul piano cartesiano. Esploreremo le intersezioni con gli assi, il comportamento all'infinito e l'analisi di diverse espressioni analitiche. Scoprirai anche le differenze tra esponenti pari e dispari.

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