Equazioni di base

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Questions and Answers

Qual è la formula per calcolare il discriminante di un'equazione quadratica?

La formula è Δ = b² - 4ac.

Come si può interpretare un discriminante Δ = 0?

Un discriminante Δ = 0 indica che l'equazione quadratica ha una soluzione reale doppia.

Quali sono le soluzioni dell'equazione quadratica 2x² + 3x + 8 = 0?

Le soluzioni si ottengono risolvendo 2x² + 3x + 8 = 0 con un Δ negativo, quindi non ci sono soluzioni reali.

Qual è la condizione da rispettare per risolvere equazioni frazionarie come x/(x+1) = 3/(x+2)?

<p>Deve essere garantito che i denominatori siano diversi da zero, quindi x ≠ -1 e x ≠ -2.</p> Signup and view all the answers

Come si riduce l'equazione frazionaria x/(x+1) - 3/(x+2) = 0 a una forma standard?

<p>Si trova il minimo comune multiplo e si combina in un'unica frazione, ottenendo x(x+2) - 3(x+1) = 0.</p> Signup and view all the answers

Che significato hanno le due soluzioni di un'equazione quadratica?

<p>Le due soluzioni rappresentano i punti in cui la parabola interseca l'asse delle x.</p> Signup and view all the answers

Qual è la forma generale di un'equazione quadratica?

<p>La forma generale è ax² + bx + c = 0.</p> Signup and view all the answers

Cosa rappresenta il valore di 'a' in un'equazione quadratica?

<p>'a' rappresenta il coefficiente del termine quadratico, influenzando l'apertura e la direzione della parabola.</p> Signup and view all the answers

Cos'è la discriminante in un'equazione di secondo grado?

<p>La discriminante è data da $Δ = b² - 4ac$ e determina il numero di soluzioni reali dell'equazione.</p> Signup and view all the answers

Come si calcolano le soluzioni di un'equazione quadratica se la discriminante è positiva?

<p>Le soluzioni si calcolano con $x_1 = \frac{-b - \sqrt{Δ}}{2a}$ e $x_2 = \frac{-b + \sqrt{Δ}}{2a}$.</p> Signup and view all the answers

Qual è la condizione affinché un'equazione quadratica abbia una sola soluzione?

<p>Un'equazione quadratica ha una sola soluzione quando la discriminante è uguale a zero, $Δ = 0$.</p> Signup and view all the answers

Come si risolve un'equazione frazionaria come $\frac{x}{2x-1} = 6x - 3$?

<p>Moltiplicare entrambi i membri per il denominatore $2x - 1$ e poi risolvere l'equazione risultante.</p> Signup and view all the answers

Che rappresentazione grafica si può associare a un'equazione quadratica?

<p>L'equazione quadratica è rappresentata graficamente da una parabola.</p> Signup and view all the answers

Cosa significa che il grado dell'equazione è quello del polinomio?

<p>Il grado indica il massimo esponente della variabile nella forma polinomiale dell'equazione.</p> Signup and view all the answers

Come si fanno le operazioni per isolare l'incognita in $3x + 5 = 2x - 8$?

<p>Si portano tutti i termini con $x$ a sinistra e i numeri a destra; ad esempio, $3x - 2x = -8 - 5$.</p> Signup and view all the answers

Qual è il processo per risolvere un'equazione quadratica come $2x^2 + 3x = 0$?

<p>Si fattorizza l'equazione in $x(2x + 3) = 0$ e si risolvono i fattori separatamente.</p> Signup and view all the answers

Quali sono le due condizioni per avere soluzioni reali in un'equazione quadratica?

<p>Le soluzioni reali esistono se $Δ \geq 0$, cioè se la discriminante è zero o positiva.</p> Signup and view all the answers

Cosa si intende per equazione polinomiale in relazione alle equazioni di secondo grado?

<p>Un'equazione polinomiale di secondo grado è un'equazione che può essere scritta nella forma $ax^2 + bx + c = 0$.</p> Signup and view all the answers

Flashcards

Equazione di secondo grado

Un'equazione matematica del tipo ax² + bx + c = 0, dove a, b e c sono numeri reali e a ≠ 0.

Discriminante (Δ)

Espressione matematica (b² – 4ac) che determina il numero e la natura delle soluzioni di un'equazione di secondo grado.

Soluzioni di un'equazione di secondo grado

I valori della variabile che soddisfano l'equazione.

Equazione fratta

Un'equazione dove la variabile compare nel denominatore di una frazione.

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Minimo comune multiplo (mcm)

Il più piccolo multiplo comune tra i denominatori delle frazioni in un'equazione fratta.

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Denominatore non nullo

Condizione che garantisce che i denominatori di un'equazione fratta non siano uguali a zero.

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Risoluzione di equazioni fratte

Il processo che prevede la riduzione delle equazioni fratte ad un'equazione di primo o secondo grado.

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Equazione di primo grado

Un'equazione matematica nella quale la variabile compare ad un solo esponente (es. 2x+3=5).

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Equazione

Uguaglianza tra due espressioni algebriche che contengono incognite, verificata da uno o più valori.

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Equazione di primo grado

Equazione con l'incognita elevata alla prima potenza (es. 3x + 5 = 2x - 8).

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Equazione di secondo grado

Equazione con l'incognita elevata alla seconda potenza (es. ax² + bx + c = 0).

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Risolvere un'equazione

Trovare l'insieme dei valori delle incognite che rendono vera l'uguaglianza.

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Discriminante (Δ)

Espressione (b² - 4ac) che indica il numero e la natura delle soluzioni di un'equazione di secondo grado.

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Soluzioni

Valori dell'incognita che soddisfano l'equazione.

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Incognita

Simbolo che rappresenta un valore sconosciuto in un'equazione.

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Polinomiale

Equazione ridotta a un polinomio uguagliato a zero.

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Primo membro

Parte dell'equazione a sinistra dell'uguale.

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Secondo membro

Parte dell'equazione a destra dell'uguale.

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Grado dell'equazione

Potenza più alta dell'incognita nell'equazione.

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Study Notes

Strumenti di base: equazioni

  • Le equazioni sono uguaglianze tra due espressioni algebriche contenenti una o più incognite, verificate da uno o più valori.

  • Un esempio di equazione è 6x - 26 = 4.

  • Un altro esempio è x/(2x-1) = 6x - 3.

  • Un altro esempio è x² + 3x + 5 = (x - 2)y.

  • Risolvere un'equazione significa trovare tutti i valori delle incognite che rendono vera l'uguaglianza.

  • Un esempio di equazione con una incognita è 3x + 5 = 2x - 8.

  • Le equazioni più semplici sono le equazioni di primo grado con una incognita.

    • Queste equazioni possono essere ridotte a un'espressione polinomiale uguagliata a zero.
    • L'esempio 6x - 26 = 4 mostra queste equazioni.
    • L'esempio x² + 3x + 5 = (x-2)x fa parte di equazioni di grado più elevato dove la variabile appare più volte.

  • Per risolvere un'equazione bisogna isolare l'incognita.

  • Un esempio di come isolare l'incognita è 3x - 4x = -8 - 5.

  • Prima si devono raggruppare i termini con la x da un lato e i numeri dall'altro lato.

  • Quindi si divide per il coefficiente dell'incognita.

  • Un esempio di soluzione è x = -13 / -1 = 13.

Equazioni di secondo grado con una incognita

  • Le equazioni di secondo grado hanno la forma ax² + bx + c = 0.

  • Un esempio è 2x² + 3x = 0

  • Per trovare le soluzioni, si usa il discriminante (Δ): Δ = b² - 4ac.

  • Se Δ è negativo, non ci sono soluzioni reali.

  • Se Δ è uguale a 0, esiste una sola soluzione reale.

    • La formula per trovare la soluzione è x = -b / 2a.

  • Se Δ è positivo, ci sono due soluzioni reali distinte.

    • Le formule per trovare le soluzioni sono x₁ = (-b - √Δ)/2a e x₂ = (-b + √Δ)/2a.

  • Un esempio di calcolo del discriminante e delle soluzioni è 2x² + 3x = 0.

    • In questo caso, a=2, b=3, e c=0.
    • Δ = 3² - 4(2)(0) = 9.
    • Poiché Δ è positivo, ci sono due soluzioni reali.
    • Le soluzioni sono x₁ = (-3-√9)/4 = -6/4 = -3/2 e x₂ = (-3+√9)/4 = 0.

  • Esempio diverso: x(2x² + 3x + 8) = 0

    • x = 0
    • Questo esempio mostra equazioni con incognite in più posizioni.
    • 2x² + 3x + 8 = 0
    • Il suo discriminante è Δ = 3² - 4 * 2 * 8 = 9 - 64 = -55
    • Non ci sono soluzioni reali per questa seconda equazione, dato che il discriminante è minore di 0, quindi la soluzione è solo x = 0

Equazioni fratte con una incognita

  • Le equazioni fratte hanno un'incognita al denominatore.
  • Bisogna assicurarsi che il denominatore non sia zero.
  • Un esempio di equazione fratta è x / (x + 1) = 3 / (x + 2).
  • Prima di continuare bisogna tenere a mente che il denominatore non deve essere zero.
  • Le soluzioni possibili sono x ≠ -1 e x ≠ -2.
  • Poi si deve trovare il minimo comune multiplo dei denominatori.
  • Si procede poi con la risoluzione dell'equazione eliminando i denominatori.
  • Si ottiene x² - x - 3 = 0.
  • Si applica la formula del discriminante per calcolare il risultato per ottenere le eventuali soluzioni.

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