Équations de Maxwell : Concepts clés

• En 1873, Maxwell a proposé quatre équations régissant les phénomènes électromagnétiques.
• Ces équations expriment le comportement spatio-temporel du champ électromagnétique en relation avec ses sources.
• Elles contiennent toutes les informations nécessaires pour résoudre les problèmes d'électromagnétisme.
• Cette section explique ces équations dans le vide, considéré comme dépourvu de particules matérielles.
• Les particules chargées, dont les propriétés liées à la matière sont négligées, peuvent exister.
• L'approximation est acceptable pour les électrons, dont la masse est négligeable.
• L'air est également assimilé au vide par rapport au champ magnétique.

Rappels sur les grandeurs fondamentales en électromagnétisme

• Le champ électromagnétique est l'ensemble des champs électriques et magnétiques.
• Dans le vide, ses propriétés sont définies par les vecteurs champs électriques E(r, t) et magnétiques H(r, t).
• La relation entre le vecteur champ magnétique B(r,t) et le vecteur excitation magnétique H(r,t) est définie par l'expression B(r,t) = μ₀H(r,t), où μ₀ est la perméabilité du vide.

Densité de charge électrique

• La densité de charges volumique est définie comme la charge par unité de volume.
• Elle dépend de l'espace et du temps.
• Elle est donnée par la relation ρ(r, t) = dq/dτ, où dq est la charge élémentaire et dτ le volume élémentaire.
• Si n est le nombre de particules par unité de volume et q la charge élémentaire, alors ρ(r,t) = q.n(r, t).
• Les particules chargées en mouvement constituent un courant électrique, caractérisé par sa densité et son intensité.

Vecteur densité de courant - Intensité du courant

• Pour un volume élémentaire dτ, dans lequel les particules chargées possèdent une vitesse moyenne (v), le vecteur densité de courant j(r, t) est défini par la relation j(r, t) = ρ(r, t). v.
• L'intensité du courant électrique est le flux du vecteur densité de courant à travers une surface S.
• L'équation est I = ∫∫ j . ds sur la surface S.
• Si dQ est la charge traversant la surface S pendant un temps élémentaire dt, alors I = dQ/dt.

Formes locales des EM

• Dans le vide, les formes locales des équations de Maxwell sont :

• rotE = -∂B/∂t (1.1)

• divB = 0 (1.2)

• rotB = μ₀(j + ε₀ ∂E/∂t) (1.3)

• Dans l'équation (1.3), j est le courant de conduction et ε₀ ∂E/∂t est le courant de déplacement.

• Dans ces équations, toutes les variables dépendent de l'espace et du temps.

• Les deux premières équations concernent uniquement le champ électromagnétique (équations intrinsèques).

• Les deux suivantes relient le champ électromagnétique à ses sources.

• Deux constantes du vide apparaissent dans ces équations.

• La permittivité du vide est notée ε₀, une constante qui caractérise électriquement le vide.

• Sa valeur dans le système international (USI) est ε₀ = 1 / (36π * 10^9) USI.

• La perméabilité du vide est notée μ₀, caractérisant le vide d'un point de vue magnétique.

• Sa valeur est μ₀ = 4π * 10^-7 USI.

Equation de conservation de la charge

• Le principe de conservation de la charge est contenu dans les équations de Maxwell.
• En prenant la divergence de l'équation (I.3), on obtient div(rotB) = μ₀ div(j) + μ₀ ε₀ div(∂E/∂t).
• Ceci implique μ₀ div(j) + μ₀ ε₀ div(∂E/∂t) = 0, car div(rotB) = 0.
• En simplifiant, μ₀ div(j) + μ₀ [ε₀ div(∂E/∂t)] = 0.
• Comme ε₀ div(E) = ρ, alors div(j) + ∂/∂t (ρ) = 0.
• Cette équation est appelée équation locale de conservation de la charge.
• En utilisant la forme intégrale, pour un volume V contenant une densité de charges variables dans le temps et limité par une surface S :
• L'équation locale est valable en chaque point du volume, donc ∫∫∫ᵥ [div(j) + ∂/∂t (ρ)] dτ = 0.
• Les coordonnées d'espace et de temps étant indépendantes et le volume (V) étant fixe dans le temps, on obtient ∫∫∫ᵥ div(j) dτ = -d/dt ∫∫∫ᵥ ρ dτ.
• Selon la relation de Green Ostrograski, ∫∫∫ᵥ div(j) dτ = ∮∮ₛ j · ds, alors ∮∮ₛ j · ds = -d/dt ∫∫∫ᵥ ρ dτ.
• L'interprétation est que le flux sortant du vecteur densité de courant est égal à la diminution de la charge totale contenue dans le volume (V) par unité de temps.

Formes intégrales des équations de Maxwell

• Chaque équation de Maxwell a une forme intégrale qui permet son interprétation physique.
• Cette section établit leur forme intégrale à partir des équations locales de Maxwell.

Equation du flux magnétique (Mф)

• Pour une surface fermée (S) quelconque limitant un volume (V), l'expression du flux magnétique sortant de (S) à l'instant t peut être transformée à l'aide de la formule d'Ostrogradski.
• La formule est Φ = ∮∮ₛ B · ds = ∫∫∫ᵥ (∇ · B) dτ = 0, car (∇ · B = 0).
• ∮∮ₛ B · ds = 0, ce qui signifie que l'équation Mф exprime le caractère conservatif du flux magnétique ∇ · B = 0 ⇔ ∮∮ₛ B · ds = 0 ∀ (S).
• L'équation du flux magnétique (Mф) indique que le flux magnétique est nul à travers n'importe quelle surface fermée, signifiant qu'il n'existe pas de monopôles magnétiques.

Equation de Maxwell-Faraday (MF)

• La signification physique de MF apparaît en examinant la circulation à l'instant t du champ électrique E le long d'un contour C fixe.
• La formule de Stokes montre que ∮c E · dl = ∫∫ₛ (∇ × E) · ds = ∫∫ₛ (-∂B/∂t) · ds = -d/dt ∫∫ₛ B · ds.
• Cette dernière expression représente la dérivée par rapport au temps du flux magnétique qui traverse (C).
• L'équation de Maxwell-Faraday exprime la relation connue sous le nom de théorème de Faraday: ∮c E · dl = -dΦ/dt.
• Cette relation exprime qu'un champ magnétique dépendant du temps donne naissance à un champ électrique à circulation non conservative.
• L'équation de Maxwell-Faraday rend compte du phénomène d'induction électromagnétique.
• La relation ∇ × E = 0 s'applique au champ électrique en régime permanent (∂B/∂t = 0).

Equation de Maxwell-Gauss (MG)

• En utilisant MG, on peut déterminer le flux électrique sortant à l'instant t d'une surface fermée (S) limitant un volume V à l'aide de la formule d'Ostrogradski: Ψ = ∮∮ₛ E · dS = ∫∫∫ᵥ (∇ · E) dτ = 1/ε₀ ∫∫∫ᵥ ρ dτ.
• En notant Q la charge totale contenue à l'instant t à l'intérieur de (S), on aura ∇ · E = Q/ε₀.
• Cette relation exprime le fait que le flux du champ électrique à travers une surface fermée est lié à la charge électrique contenue à l'intérieur de cette surface.

Equation de Maxwell-Ampère (MA)

• En régime permanent, on a ∇ × B = μ₀j.
• En régime non permanent, on calcule la circulation à l'instant t du champ magnétique B le long d'un contour (C) en utilisant la formule de Stokes et la forme générale de l'équation (MA).
• (S) étant une surface quelconque s'appuyant sur (C) : ∮c B · dl = ∫∫ₛ (∇ × B) · ds avec ∇ × B = μ₀[j + ε₀ ∂E/∂t] (MA), d'où ∫∫ₛ (∇ × B) · ds = μ₀[∫∫ₛ j · ds + ∫∫ₛ ε₀ ∂E/∂t · ds].
• En notant iₛ l'intensité qui traverse (S) à l'instant t et en introduisant la notation jD = ε₀ ∂E/∂t, on voit que l'équation de Maxwell-Ampère exprime la forme générale du théorème d'Ampère: ∇ × B = μ₀[j + jD] ↔ ∮c B · dl = μ₀[iₛ + ∫∫ₛ jD · ds].
• Elle donne la relation entre la circulation du champ magnétique sur un contour fermé et le flux de courant à travers une surface s'appuyant sur ce contour.

Ce quiz explore les fondements des équations de Maxwell, en mettant en lumière la permittivité du vide, l'importance des équations intrinsèques, et le lien avec la conservation de la charge. Évaluez votre compréhension du courant de déplacement et de sa signification physique dans la généralisation du théorème d'Ampère.