Equacions de Primer Grau

Equations of the First Degree

• Equacions de primer grau, també conegudes com equacions lineals, són equacions algebraiques on la potència més alta de la variable és 1.
• Forma general: ax + b = 0, on 'a' i 'b' són constants i 'x' és la variable.
• Per resoldre una equació lineal, aïlla la variable 'x' realitzant les mateixes operacions a ambdós costats de l'equació per eliminar les constants i els coeficients.
• Exemple: 2x + 5 = 9 (Restem 5 als dos costats) -> 2x = 4 (Dividim els dos costats per 2) -> x = 2
• Les solucions poden ser valors numèrics.

Systems of First-Degree Equations

• Un sistema d'equacions de primer grau consta de dues o més equacions lineals amb les mateixes variables.
• Resoldre un sistema implica trobar valors per a les variables que satisfan totes les equacions del sistema simultàniament.
• Mètodes comuns per resoldre sistemes inclouen:
  • Substitució: Expressa una variable d'una equació en termes de l'altra i substitueix-la a la segona equació.
  • Eliminació: Suma o resta equacions per eliminar una variable, i després resol per la variable restant.
  • Mètode gràfic: Representa les equacions en un gràfic i troba el punt d'intersecció.
• Exemple: x + y = 5 i 2x - y = 4. Usant l'eliminació, suma les equacions per eliminar la 'y': 3x = 9, el que dona x = 3. Llavors substitueix x = 3 a qualsevol de les dues equacions per trobar y.
• Les solucions poden ser valors numèrics que representen punts de coordenades.

Equations of the Second Degree

• Equacions de segon grau, també conegudes com equacions quadràtiques, són equacions algebraiques on la potència més alta de la variable és 2.
• Forma general: ax² + bx + c = 0, on 'a', 'b', i 'c' són constants i 'x' és la variable.
• La clau per resoldre-les és trobar els valors de 'x' que fan que l'equació sigui igual a zero.
• Mètodes comuns per resoldre equacions quadràtiques:
  • Factorització: Si l'equació es pot factoritzar, resol les equacions binomials resultants.
  • Fórmula quadràtica: Aquesta fórmula proporciona un mètode per trobar les solucions per a qualsevol equació quadràtica: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a.
  • Completar el quadrat: Manipula l'equació per crear un trinomi quadrat perfecte per resoldre per x.
• Exemple: x² + 3x + 2 = 0. La factorització dona (x + 1)(x + 2) = 0, per tant x = -1 o x = -2.
• Les solucions poden ser valors numèrics. Cal destacar que pot haver dues solucions, una solució o cap solució real. El discriminant (b² - 4ac) ajuda a determinar la naturalesa de les arrels.