Test Cálculo I

la derivada de la función no estña definida en x=2 y -2. Los límites por la derecha y por la izquierda de la derivada en estos puntos son finitos

La función tiene un total de 2 puntos críticos. Además f(x) tiene un máximo local en el punto (0.16^(1/3)).

La derivada de la función tiende a infinito en 2 puntos críticos y es cero en el tercer punto crítico del intervalo abierto ]-3,3[. (correct)

La función f(x) tiene 3 puntos críticos, todos ellos con derivada nula, correspondiendo a un máximo y dos mínimos.

Para demostrar el teorema de Rolle en el caso no trivial es decir en el caso en el que f(x) no es constante en el intervalo [a,b], se utiliza primero el requisito de que f(x) situar el punto extremo global de f(x) en el abierto (a,b) y después se utiliza el requisito de que f(x) sea diferenciable para establecer que la función es derivable en dicho extremo global (x=c) y que de hecho f'(c ) =0 (correct)

El teorema del valor medio TVM solo se puede demostrar si a la función f(x ) que satisface las propriedades del enunciado del teorema , le restamos la recta secante los puntos f(a) y f(b). El TVM solo se puede demostrar si restamos a f(x) cualquier otra recta, ya tenga la misma pendiente que la arriba mencionada u otra distinta.

El teorema de Rolle requiere que f(x) satisfaga f(a) = f(b) = 0 en el intervalo cerrado [a,b] y no funciona para el caso más general f(a) = f(b) = d, donde d es un real no nulo. Para generalizar el teorema de Rolle a esta situación se emplea el teorema del valor medio.

La generalización de Cauchy al TVM, el llamado TVMC, resulta muy útil para demostrar la regla de l'Hôpital. Esta última se demuestra considerando un intervalo abierto que contiene al punto x=c, sobre el cual se estudia el límite de f(x)/g(x) cuando x tienda a c. La regla de l'Hôpital no resulta efectiva aplicada sobre límites laterales.

Hemos utilizado como punto de partida y de forma crucial el TVM de Cauchy aplicándolo sobre un abierto que contiene x =c como punto límite del mismo por un extremo

Para deducir la regla en el caso de las indeterminaciones del tipo inf/inf es necesario asumir que las funciones f(x) y g(x) tienden simultáneamente a inf en el punto de estudio. Con ello, la regla no aplica para casos en los f(c )/ g(c ) = a/inf sin a un número real (correct)

La demostración considera dos puntos x1 y x2 en (x0,c) tal que x1 es menor que x2 a su vez menor que c. La demostración se efectia en dos pasos primero se hace tender x2 a c y luego x1 a c. Con ello el punto intermedio entre x1 y x2 que satisface el TVMC tiende a c. De este modo la expresión inicial dad por el TVMC toma la forma de l´Hopital y el trorema queda demostrado

Para deducir la regla en el caso de las indeterminaciones del tipo 0/0 es necesario asumir que las funciones f(x) y g(x) tienden simultaneamente a 0 en el punto de estudio x =c