Test Cálculo I

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Questions and Answers

Sea f(x) = (x^2-4)^(2/) en el intervalo de x ]-3,3[. Selecciona la opción correcta

la derivada de la función no estña definida en x=2 y -2. Los límites por la derecha y por la izquierda de la derivada en estos puntos son finitos

La función tiene un total de 2 puntos críticos. Además f(x) tiene un máximo local en el punto (0.16^(1/3)).

La derivada de la función tiende a infinito en 2 puntos críticos y es cero en el tercer punto crítico del intervalo abierto ]-3,3[. (correct)

La función f(x) tiene 3 puntos críticos, todos ellos con derivada nula, correspondiendo a un máximo y dos mínimos.

Selecciona la opción verdadera

Para demostrar el teorema de Rolle en el caso no trivial es decir en el caso en el que f(x) no es constante en el intervalo [a,b], se utiliza primero el requisito de que f(x) situar el punto extremo global de f(x) en el abierto (a,b) y después se utiliza el requisito de que f(x) sea diferenciable para establecer que la función es derivable en dicho extremo global (x=c) y que de hecho f'(c ) =0 (correct)

El teorema del valor medio TVM solo se puede demostrar si a la función f(x ) que satisface las propriedades del enunciado del teorema , le restamos la recta secante los puntos f(a) y f(b). El TVM solo se puede demostrar si restamos a f(x) cualquier otra recta, ya tenga la misma pendiente que la arriba mencionada u otra distinta.

El teorema de Rolle requiere que f(x) satisfaga f(a) = f(b) = 0 en el intervalo cerrado [a,b] y no funciona para el caso más general f(a) = f(b) = d, donde d es un real no nulo. Para generalizar el teorema de Rolle a esta situación se emplea el teorema del valor medio.

La generalización de Cauchy al TVM, el llamado TVMC, resulta muy útil para demostrar la regla de l'Hôpital. Esta última se demuestra considerando un intervalo abierto que contiene al punto x=c, sobre el cual se estudia el límite de f(x)/g(x) cuando x tienda a c. La regla de l'Hôpital no resulta efectiva aplicada sobre límites laterales.

Hoy hemos visto en clase la demostración de la regla de l'Hopt¡ital para resolver indeterminaciones en el cociente de dos funciones en el punto = x= c es decir el cociente f(c )/g(c ). Selecciona, de entre las siguientes, la opción falsa y razona tu respuesta.

Hemos utilizado como punto de partida y de forma crucial el TVM de Cauchy aplicándolo sobre un abierto que contiene x =c como punto límite del mismo por un extremo

Para deducir la regla en el caso de las indeterminaciones del tipo inf/inf es necesario asumir que las funciones f(x) y g(x) tienden simultáneamente a inf en el punto de estudio. Con ello, la regla no aplica para casos en los f(c )/ g(c ) = a/inf sin a un número real (correct)

La demostración considera dos puntos x1 y x2 en (x0,c) tal que x1 es menor que x2 a su vez menor que c. La demostración se efectia en dos pasos primero se hace tender x2 a c y luego x1 a c. Con ello el punto intermedio entre x1 y x2 que satisface el TVMC tiende a c. De este modo la expresión inicial dad por el TVMC toma la forma de l´Hopital y el trorema queda demostrado

Para deducir la regla en el caso de las indeterminaciones del tipo 0/0 es necesario asumir que las funciones f(x) y g(x) tienden simultaneamente a 0 en el punto de estudio x =c

Calcula la derivada d(x)/dg(x), siendo f(x)=arcsin(cos(x)) y g(x) = log_b(tan(x)), y selecciona la respuesta correcta

df/dg = - ln(b) cos(x)|sin(x)| Signup and view all the answers

Dada la ecuación de una elipse, x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1, cuál es el rectángulo inscrito de área máxima?

Aquel cuyos lados miden asqrt(2) y bsqrt(2) Signup and view all the answers

La serie de potencias x+x^2/2x^3/3+...x^n/n+... presenta la siguiente convergencia (selecciona la correcta).

Converge solo para x en el intervalo (-1,1) y diverge para x fuera del intervalo anterior Signup and view all the answers

Selecciona la frase incorrecta

La expresión analítica del resto, R(x), es única y se obtiene mediante del Teorema del Valor de Lagrange (TVML). Esta función debe ser única puesto que de lo contrario diferentes expresiones de R(x) darían diferentes valores del error cuando esta se evalúa en en R(el punto que satisface el TVML). Signup and view all the answers

Considere la integral de f(x)=4x/(1+2x^2)^3. Al resolverla (selecciona la opción correcta)

Has usado la regla (x^n)'=n*x^(n-1) y has obtenido, como resultado, una función racional cuyo denominador es un polinomio de orden 4 Signup and view all the answers

Escoje la afirmación verdadera de entre las siguientes acerca de los Teoremas Funcamentales del Cálculo (TFC) y II trabajados en clase. F(x) es la antiderivada de f(x).

La demostración del segundo TFC hace uso del TVM para integrales y establece que F'(x)=f(x), demostrando así que la derivación e integración son operaciones inversas. Signup and view all the answers

Imagina que hay una funcion f(x) que es muy dificil de intergrar (como el arcsec(x)) y que solo sabemos integrarla una vez. Entonces:

mediante el metodo de integracion por partes, si elegimos la substitucion u= x y dv = f(x)dx. Pero nada nos garantiza que podamos obtener la integral x^2f(x) para n = 2,3,4,5...etc. De ello se desprende que podremos entonces conocer la integral de f(x)p(x)donde p(x) es un polinomio de grado n Signup and view all the answers

Study Notes

L'Hopital's Rule

L'Hopital's Rule is used to solve indeterminate forms in the quotient of two functions at a point x = c, meaning f(c)/g(c).
The rule applies when both f(x) and g(x) approach 0 or infinity as x approaches c.

Derivatives

The derivative of arcsin(cos(x)) with respect to log_b(tan(x)) is a complex expression involving trigonometric and logarithmic functions.

Ellipse

The rectangle inscribed in an ellipse with the maximum area has its sides parallel to the axes of the ellipse.

Power Series

The power series x + x^2/2 + x^3/3 + ... + x^n/n + ... converges for values of x within a specific interval, determined by the convergence tests.

Integration

The integral of f(x) = 4x/(1 + 2x^2)^3 can be solved using a substitution method, where u = 1 + 2x^2, and du = 4x dx.

Fundamental Theorem of Calculus

The Fundamental Theorem of Calculus (FTC) establishes a connection between differentiation and integration.
FTC I states that the derivative of the definite integral of a function is the function itself.
FTC II states that the definite integral of the derivative of a function is the difference between the function evaluated at the upper and lower limits of integration.

Difficult to Integrate Functions

Examples of functions that are difficult to integrate include:
- Functions involving transcendental functions (e.g., exponential, logarithmic, trigonometric)
- Functions involving multiple variables
- Functions with complex expressions or combinations of functions

Integration Implications

Knowing the integration of a function can be used for subsequent integrations involving the same function or its derivatives.

Integration Methods

For functions that are difficult to integrate directly, methods like:
- Integration by parts
- Substitution
- Partial fractions
- Using tables of integrals

Characteristics of Difficult-to-Integrate Functions

Common characteristics of functions that are difficult to integrate:
- Involve multiple variables
- Involve complex expressions or combinations of functions
- Involve transcendental functions

Facing Integration Challenges

When encountering a challenging integration:
- Identify the type of function
- Explore different integration techniques
- Use tables of integrals or computer algebra systems

L'Hopital's Rule

The rule is used to resolve indeterminate forms in the quotient of two functions at a point x = c, where f(c)/g(c) is indeterminate.

Derivatives

To calculate the derivative of f(x)/g(x), where f(x) = arcsin(cos(x)) and g(x) = log_b(tan(x)), use the quotient rule and chain rule for differentiation.

Ellipses

Given an ellipse equation x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1, the inscribed rectangle of maximum area occurs when the sides of the rectangle are parallel to the axes of the ellipse.

Power Series

The power series x + x^2/2 + x^3/3 + ... + x^n/n + ... converges for values of x within a specific interval.

Calculus Theorems

The Fundamental Theorems of Calculus (FTC I and II) relate differentiation and integration.
FTC I states that the derivative of the integral of a function is the original function.
FTC II states that the definite integral of a function can be calculated by finding the difference between the antiderivatives at the upper and lower limits of integration.

Integration

The difficulty in integrating a function f(x) can stem from its complexity, leading to challenges in finding an antiderivative.

Strategies for Integration

When f(x) is difficult to integrate directly, a common approach is to use a combination of techniques such as substitution, integration by parts, or partial fractions to simplify the integral.
Approximating the area under the curve using numerical methods like Riemann sums can be helpful.
Understanding the behavior of the function f(x), particularly its continuity and differentiability, is essential when dealing with complex integrals.

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