Ecuaciones Mecánica de Fluidos, Capítulos White

Ecuaciones Generales de la Mecánica de Fluidos

• La bibliografía incluye "Fluid Mechanics" de F.M. White (6th ed., McGraw-Hill, 1979).
• Los capítulos relevantes de "Fluid Mechanics" son: Introducción, Relaciones Integrales para un Volumen de Control, Relaciones Diferenciales para una Partícula Fluida, Análisis Dimensional y Similitud.
• También incluye Pizarra + Presentaciones de Clase del Curso 2017-2018.
• El documento trata sobre ecuaciones generales de la mecánica de fluidos y análisis dimensional.

Índice de temas

• Ecuación de continuidad y principio de conservación de la masa
• Fuerzas sobre los fluidos y la ecuación de la cantidad de movimiento
• Trabajo y calor, incluyendo la ecuación de la energía
• Resumen de las ecuaciones generales de la mecánica de fluidos
• Tensión superficial
• Análisis dimensional y semejanza física

Ecuación de Continuidad y Conservación de la Masa

• La condición de conservación de la masa establece que la masa de un volumen fluido no cambia con el tiempo.
• Esta ecuación es válida incluso si el volumen fluido contiene dos fases distintas, ya sean líquidas o gaseosas.
• El teorema del transporte de Reynolds permite escribir la ecuación para un volumen de control arbitrario, representando un sistema abierto.
• La variación por unidad de tiempo de la masa en un volumen de control se debe al flujo convectivo de masa a través de sus paredes.
• Si el volumen de control contiene una sola fase fluida y la densidad es continua y derivable, la ecuación se simplifica.
• Usando el teorema de Gauss, se puede transformar la integral de superficie en una integral de volumen.
• Si la integral es nula para cualquier volumen de control, entonces el integrando debe ser cero en cada punto.
• La ecuación resultante es la ecuación de continuidad en forma diferencial.
• Formas alternativas de la ecuación de continuidad incluyen términos que relacionan la variación de la densidad con la velocidad y la divergencia del campo de velocidad.
• Se puede mostrar que la divergencia de la velocidad es la variación de volumen por unidad de volumen fluido por unidad de tiempo
• Para fluidos incompresibles la ecuación de continuidad se reduce a que la divergencia de la velocidad es igual a 0
• En movimientos estacionarios, la divergencia del producto de la densidad y la velocidad también es cero.
• Para un flujo másico constante, el flujo másico es el mismo a través de cualquier sección de un tubo de corriente sin singularidades.
• En fluidos de densidad constante, el flujo volumétrico es constante en cada instante.
• Los tubos de corriente no pueden terminar en el interior de un fluido; deben cerrarse sobre sí mismos, terminar en los límites o extenderse hasta el infinito.

Fuerzas sobre los Fluidos

• Se divide en: Fuerzas de largo alcance, fuerzas de superficie o de corto alcance, la ecuación de la cantidad de movimiento en forma integral, y la ecuación para la cantidad de movimiento en forma diferencial.

Fuerzas de Largo Alcance

• Estas fuerzas decrecen lentamente con la distancia y actúan sobre todas las partículas fluidas.
• La gravedad es un ejemplo importante, junto con las fuerzas de inercia debidas a la aceleración del sistema de referencia.
• Estas fuerzas son proporcionales al tamaño del volumen o a la masa que contiene y se conocen como fuerzas volumétricas o másicas.
• Las fuerzas másicas comunes incluyen la fuerza gravitatoria y las fuerzas de inercia.
• Las fuerzas de inercia se relacionan con la aceleración del origen y la velocidad angular del sistema de referencia, incluyendo aceleraciones centrífugas y de Coriolis.
• La fuerza por unidad de masa se denota f_m y se usa para calcular la fuerza total sobre un volumen.
• En muchos casos, estas fuerzas son conservativas y derivan de un potencial escalar.

Fuerzas de Superficie o de Corto Alcance

• Además de las fuerzas de largo alcance es importante considerar también aquellas que actúan a través de las superficies fluidas.
• Dichas fuerzas son las que actúan a través de las superficies fluidas, que son las fronteras ficticias entre partes macroscópicas adyacentes del fluido.
• En un gas neutro, las fuerzas superficiales son el resultado del transporte de cantidad de movimiento por el constante intercambio de moleculas de un lado a otro de la superficie.
• En líquidos, además de la agitación térmica, existe atracción entre las moléculas a ambos lados de la frontera, lo que causa polarización y una interacción mutua.
• En una superficie ficticia dentro de un fluido, las fuerzas de contacto solo actúan en una capa delgada alrededor de la superficie.
• Desde una perspectiva macroscópica, se pueden considerar como una fuerza superficial proporcional al área y dependiente de las condiciones locales.
• El esfuerzo es la fuerza por unidad de área, y varía con la orientación de la superficie, determinada por su normal.
• El esfuerzo que ejerce el fluido de un lado de la superficie es igual y opuesto al ejercido por el fluido del otro lado.
• En cada punto y instante, el esfuerzo en un punto se puede expresar en función de los esfuerzos sobre tres planos perpendiculares.
• Componentes cartesianas Tij representan la fuerza en la dirección i sobre un plano perpendicular a ej.
• El esfuerzo se puede expresar como Tj(n) = ni Tij donde Tij son las componentes cartesianas de un tensor de segundo orden llamado tensor de esfuerzos.
• Este tensor de esfuerzos (T) es simétrico.

Leyes y Esfuerzos Viscosos

• La ley de Navier-Poisson describe la relación entre el tensor de esfuerzos viscosos y la velocidad de deformación del fluido.
• El esfuerzo normal medio debido a la viscosidad es cero para fluidos incompresibles o donde la viscosidad volumétrica es cero.
• La teoría cinética de gases indica que la viscosidad volumétrica es cero para gases monoatómicos, constituyendo la ley de Stokes.

Ecuación de Cantidad de Movimiento en Forma Integral

• Describe cómo cambia la cantidad de movimiento en un volumen fluido debido a las fuerzas que actúan sobre él.
• Se puede escribir usando el teorema del transporte de Reynolds para un volumen de control arbitrario.

Ecuación de Cantidad de Movimiento en Forma Diferencial

• Se puede obtener tomando un volumen de control fijo y aplicando el teorema de la divergencia.
• La ecuación resultante relaciona la variación temporal de la cantidad de movimiento con las fuerzas de superficie y las fuerzas másicas.

Trabajo y Calor, Ecuación de la Energía

• Se tratan los temas de trabajo realizado sobre un volumen fluido, calor recibido sobre un volumen fluido, y el principio de conservación de la energía.

Trabajo Realizado sobre un Volumen Fluido

• Las fuerzas exteriores, tanto superficiales como volumétricas, realizan trabajo sobre el fluido.
• El trabajo de las fuerzas másicas es el producto de la fuerza másica por la velocidad por unidad de volumen y tiempo.
• El trabajo de las fuerzas de superficie se da como la normal por el tensor de tensiones por la velocidad por unidad de área y tiempo.

Calor Recibido sobre un Volumen Fluido

• Incluye la conducción de calor, calculada a través de la integral del flujo de calor por la normal sobre la superficie.
• Considera también el calor por radiación y el calor generado por reacciones químicas.

Principio de Conservación de la Energía

• La variación temporal de la energía total en un volumen fluido es igual al trabajo realizado por las fuerzas exteriores más el calor recibido del exterior.
• La energía total por unidad de masa es la suma de la energía interna y la energía cinética.
• Se puede escribir la ecuación de conservación de la energía en forma integral para un volumen fluido.
• El teorema del transporte de Reynolds permite reescribir la ecuación para un volumen de control arbitrario.

Ecuación de la Energía en Forma Diferencial

• Usando el teorema de Gauss, se puede transformar la ecuación integral en una ecuación diferencial.
• Esta ecuación relaciona la variación temporal de la energía con el trabajo de las fuerzas de superficie, las fuerzas másicas y el flujo de calor.

Otras Ecuaciones Derivadas

• Se puede obtener una ecuación para la energía mecánica multiplicando la ecuación de cantidad de movimiento por la velocidad.
• La ecuación de la energía total se combina con la de la energía mecánica para obtener una ecuación para la energía interna.
• La ecuación de la energía se puede expresar en función de la entalpía o de la entropía.
• En estas ecuaciones aparece la función de disipación de Rayleigh, que representa la conversión de energía mecánica en energía interna debido a la viscosidad.

Resumen de Ecuaciones Generales

• Se resumen las ecuaciones de la mecánica de fluidos, incluyendo la ecuación de continuidad, la ecuación de cantidad de movimiento y la ecuación de energía.
• Se incluye la ecuación de estado, que relaciona la presión con la densidad y la temperatura.
• Se presentan las condiciones iniciales y de contorno necesarias para resolver estas ecuaciones.

Condiciones Iniciales

• Se requiere especificar la velocidad, la densidad y la temperatura en un tiempo inicial.

Condiciones de Contorno

• Para fluidos que se extienden hasta el infinito, se deben conocer la velocidad y dos variables termodinámicas en el infinito.
• En la superficie de un sólido impermeable, la velocidad y la temperatura del fluido deben coincidir con las del sólido.
• En la superficie de separación entre dos fluidos inmiscibles, la velocidad y la temperatura deben ser continuas.

Ecuación de la Energía Mecánica para un Fluido Ideal

• Se menciona la Ecuación de Bernoulli.

Tensión Superficial

• Se define como una fuerza que actúa entre dos fluidos inmiscibles en la superficie de contacto, manteniéndola en tensión.
• El coeficiente de tensión superficial (σ) se mide en N/m en el Sistema Internacional y depende de la naturaleza del líquido, el medio circundante y la temperatura.
• La tensión superficial disminuye al aumentar la temperatura.

Balances y Direcciones de Equilibrio Relacionadas con la Tensión Superficial

• El documento analiza el balance de fuerzas en la superficie de separación entre dos fluidos inmiscibles sin cambio de fase.

• Discute el equilibrio en direcciones normal y tangencial.

• Se analiza el balance de energía en la superficie de separación entre dos fluidos inmiscibles sin cambio de fase.

Adhesión y Cohesión

• La adhesión es la propiedad que permite la unión de superficies de sustancias iguales o distintas por fuerzas intermoleculares.
• La cohesión es la fuerza de atracción entre partículas adyacentes dentro de un mismo cuerpo.
• La cohesión es la causa de la formación de gotas de agua, mientras que la tensión superficial las mantiene esféricas y la adhesión las mantiene en su lugar.

Tension Superficial: Aplicaciones

• Presión Capilar: Se refiere a la diferencia de presión a través de superficie que separa dos fluidos inmiscibles.
• Ángulo de Contacto: Es el que aparece cuando la interfase intersecta con una superficie sólida.
• Capilaridad: se define como la capacidad de un fluido a subir o bajar por un tubo capilar
  • En tubos de diámetro muy pequeño, los líquidos tienden a subir o bajar con respecto al nivel del líquido que los rodea.
  • A este fenómeno se le llama capilaridad y a los tubos delgados se les llama capilares.