Ecuaciones Diofanticas Lineales

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Questions and Answers

¿Cuál es la propiedad de las soluciones de la ecuación $x^2 + y^2 = z^2$ cuando se aplica un entero $a$?

  • No son soluciones válidas.
  • Aumentan en valor absoluto.
  • Se convierten en números negativos.
  • No cambian su validez. (correct)

Si $(x_0, y_0, z_0)$ es una solución de la ecuación pitagórica con $mcd(x_0, y_0, z_0) = 1$, ¿qué garantiza esta condición?

  • Que $z_0$ es mayor que $x_0$ y $y_0$.
  • Que $x_0$, $y_0$ y $z_0$ son primos entre sí. (correct)
  • Que $x_0$ y $y_0$ son ambos pares.
  • Que $z_0$ se puede expresar como suma de otros enteros.

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones sobre las ternas primitivas pitagóricas son correctas?

  • Son un conjunto limitado de valores enteros.
  • Se obtienen a partir de soluciones con mcd distinto de 1.
  • Son obtenidas multiplicando una solución base por un entero no nulo. (correct)
  • Son siempre números pares.

¿Cuál es el valor de $z$ en términos de $ heta$ y $ u$ para un conjunto de soluciones de la ecuación pitagórica?

<p>$ heta^2 + u^2$ (B)</p> Signup and view all the answers

Al resolver la ecuación $x^2 + y^2 = z^2$, ¿qué condición se necesita para los enteros $ heta$ y $ u$?

<p>Deben ser de distinta paridad. (A)</p> Signup and view all the answers

Si $x$ y $y$ son impares en la solución de la ecuación $x^2 + y^2 = z^2$, ¿qué se puede concluir sobre $z$?

<p>$z$ es impar. (B)</p> Signup and view all the answers

¿Qué sucede si un divisor natural $d$ se encuentra entre las soluciones $(x_0, y_0, z_0)$?

<p>La solución se reduce y es válida. (D)</p> Signup and view all the answers

Para encontrar las ternas primitivas pitagóricas, ¿qué condiciones deben cumplir los enteros $ heta$ y $ u$?

<p>Deben ser primos entre sí. (D)</p> Signup and view all the answers

¿Qué condición debe cumplirse para que un sistema de ecuaciones lineales AX = C tenga solución entera?

<p>c<sub>i</sub> debe ser un múltiplo de mcd(a<sub>i1</sub>, a<sub>i2</sub>,..., a<sub>in</sub>). (A)</p> Signup and view all the answers

En una ecuación diofántica lineal de la forma a1x1 + a2x2 = c, ¿cuándo tiene solución entera?

<p>Cuando el máximo común divisor de todos los coeficientes es igual a 1. (A)</p> Signup and view all the answers

¿Qué implica el teorema de Rouche en relación al sistema de ecuaciones lineales?

<p>La relación entre rangos permite determinar la existencia de soluciones. (C)</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es el primer paso para resolver una ecuación diofántica lineal con n incógnitas?

<p>Encontrar la solución de la ecuación correspondiente de dos incógnitas. (C)</p> Signup and view all the answers

En el contexto de las ecuaciones lineales diofánticas, ¿qué indica el mcd(a1, a2,..., an) = 1?

<p>La ecuación puede tener soluciones enteras. (A)</p> Signup and view all the answers

¿Qué sucede si las incógnitas en una ecuación diofántica tienen un mcd diferente de 1?

<p>Es posible que haya soluciones enteras para un subconjunto de incógnitas. (B)</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es la forma reducida del proceso de resolver una ecuación con n incógnitas?

<p>Reducir la ecuación de n-1 incógnitas si el mcd es diferente de 1. (A)</p> Signup and view all the answers

En un sistema de ecuaciones lineales recibió la condición de que rang(A) = rang(A|C). ¿Qué implica esto?

<p>El sistema tiene soluciones enteras. (C)</p> Signup and view all the answers

¿Qué condición se debe cumplir para que una ecuación diofántica lineal tenga soluciones enteras?

<p>El mcd de al menos dos coeficientes es igual a 1. (A)</p> Signup and view all the answers

Si la ecuación $a_1 x_1 + a_2 x_2 = c$ es una ecuación diofántica lineal, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas sobre las soluciones?

<p>Cualquier solución entera es de la forma dada por el teorema en función de $λ$ y $μ$. (D)</p> Signup and view all the answers

¿Cómo se puede expresar la solución general para $x_1$ en una ecuación diofántica lineal?

<p>$x_1 = a_1 (c - a_3 x_3 - ... - a_n x_n) + a_2 μ$ (A)</p> Signup and view all the answers

En el contexto de las ecuaciones diofánticas, ¿qué implica el hecho de que $mcd(a_1, a_2) = 1$?

<p>Los coeficientes $a_1$ y $a_2$ son primos entre sí. (D)</p> Signup and view all the answers

¿Cuál de las siguientes expresiones describe correctamente $x_2$ en términos de una solución particular de una ecuación diofántica lineal?

<p>$x_2 = a_2 (c - a_3 x_3 - ... - a_n x_n) - a_1 μ$ (D)</p> Signup and view all the answers

¿Qué significa que la solución de la ecuación $a_1 x_1 + a_2 x_2 = c$ esté en la forma $x_k = x_k$, para $k ≥ 3$?

<p>Los valores de $x_k$ son variables libres que no afectan la solución de la ecuación. (D)</p> Signup and view all the answers

¿Qué debe cumplirse para que $(x_1, x_2)$ sea una solución de la ecuación $a_1 x_1 + a_2 x_2 = c - a_3 x_3 - ... - a_n x_n$?

<p>Los valores de $x_3, ..., x_n$ deben ser conocidos y enteros. (B)</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es la importancia de encontrar una solución particular de la equación $a_1 x_1 + a_2 x_2 = 1$?

<p>Es el primer paso para construir todas las soluciones enteras de la ecuación original. (C)</p> Signup and view all the answers

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Study Notes

Resolución de Ecuaciones Diofánticas Lineales

  • Se establece un método para resolver ecuaciones lineales diofánticas donde el máximo común divisor (mcd) de los coeficientes es 1, pero el mcd de dos coeficientes cualesquiera no es 1.
  • Se transforma la ecuación original en una ecuación con dos incógnitas con mcd igual a 1.
  • Se resuelve la ecuación con dos incógnitas, obteniendo soluciones (u,xn).
  • Se resuelve la ecuación lineal con n-1 incógnitas, x1+...+xn-1 = u.
  • Si la ecuación con n-1 incógnitas cumple con las condiciones del teorema 15.2.2, se resuelve según dicho teorema.
  • Si no cumple con las condiciones, se reduce la ecuación a n-2 incógnitas y se repite el proceso.
  • Se llega a una ecuación con dos incógnitas con solución conocida.

Sistemas de Ecuaciones Lineales Diofánticas

  • Se define un sistema de ecuaciones lineales diofánticas en forma matricial: AX = C, donde A es una matriz mxn de coeficientes enteros y C es un vector columna de mx1 de constantes enteras.
  • Se establecen dos condiciones necesarias para que el sistema tenga solución:
    • El rango de la matriz A debe ser igual al rango de la matriz ampliada (A|C).
    • Cada constante ci debe ser múltiplo del mcd de los coeficientes de la fila i-ésima de la matriz A.

Teorema 15.3.2: Solución de Ecuaciones Diofánticas Lineales con mcd (a1, a2) = 1

  • Se presenta una fórmula general para obtener las soluciones enteras de la ecuación diofántica lineal a1x1 + a2x2 + ...+ anxn = c, donde mcd(a1,a2,...,an) = 1 y mcd(a1, a2) = 1.
  • La solución general se expresa en términos de una solución particular de la ecuación a1x1 + a2x2 = 1 y de parámetros libres (μ, x3,...,xn).

Terna Pitagórica Primitiva

  • Se reconoce que cualquier terna pitagórica (x0, y0, z0) que satisface la ecuación x0² + y0² = z0² también satisface la ecuación (ax0)² + (ay0)² = (az0)², para cualquier entero a.
  • También se observa que si d es el mcd de (x0, y0, z0), entonces (x0/d, y0/d, z0/d) también es solución y además tiene mcd = 1.
  • Se define el concepto de "terna primitiva pitagórica" como una solución natural (x,y,z) con mcd(x,y,z) = 1.
  • Para resolver el problema de encontrar todas las ternas pitagóricas, es suficiente encontrar todas las ternas primitivas pitagóricas.

Teorema 15.5.1: Fórmula General para Terna Pitagórica Primitiva

  • Se da una fórmula para generar todas las ternas primitivas pitagóricas:
    • x = 2λμ
    • y = λ² - μ²
    • z = λ² + μ²
  • donde λ y μ son dos números naturales de distinta paridad, λ > μ, y mcd(λ, μ) = 1.
  • Se demuestra que todas las ternas primitivas pitagóricas pueden ser generadas por esta fórmula.
  • Se prueba que si x e y son impares, no se puede obtener la ecuación x² + y² = z², lo que implica que x debe ser par.
  • Se deduce que z debe ser impar y se utiliza la factorización de la ecuación para obtener la relación (z + y)(z - y) = z², donde z + y y z - y son números pares.

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