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Questions and Answers
¿Cuál es la propiedad de las soluciones de la ecuación $x^2 + y^2 = z^2$ cuando se aplica un entero $a$?
¿Cuál es la propiedad de las soluciones de la ecuación $x^2 + y^2 = z^2$ cuando se aplica un entero $a$?
- No son soluciones válidas.
- Aumentan en valor absoluto.
- Se convierten en números negativos.
- No cambian su validez. (correct)
Si $(x_0, y_0, z_0)$ es una solución de la ecuación pitagórica con $mcd(x_0, y_0, z_0) = 1$, ¿qué garantiza esta condición?
Si $(x_0, y_0, z_0)$ es una solución de la ecuación pitagórica con $mcd(x_0, y_0, z_0) = 1$, ¿qué garantiza esta condición?
- Que $z_0$ es mayor que $x_0$ y $y_0$.
- Que $x_0$, $y_0$ y $z_0$ son primos entre sí. (correct)
- Que $x_0$ y $y_0$ son ambos pares.
- Que $z_0$ se puede expresar como suma de otros enteros.
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones sobre las ternas primitivas pitagóricas son correctas?
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones sobre las ternas primitivas pitagóricas son correctas?
- Son un conjunto limitado de valores enteros.
- Se obtienen a partir de soluciones con mcd distinto de 1.
- Son obtenidas multiplicando una solución base por un entero no nulo. (correct)
- Son siempre números pares.
¿Cuál es el valor de $z$ en términos de $ heta$ y $
u$ para un conjunto de soluciones de la ecuación pitagórica?
¿Cuál es el valor de $z$ en términos de $ heta$ y $ u$ para un conjunto de soluciones de la ecuación pitagórica?
Al resolver la ecuación $x^2 + y^2 = z^2$, ¿qué condición se necesita para los enteros $ heta$ y $
u$?
Al resolver la ecuación $x^2 + y^2 = z^2$, ¿qué condición se necesita para los enteros $ heta$ y $ u$?
Si $x$ y $y$ son impares en la solución de la ecuación $x^2 + y^2 = z^2$, ¿qué se puede concluir sobre $z$?
Si $x$ y $y$ son impares en la solución de la ecuación $x^2 + y^2 = z^2$, ¿qué se puede concluir sobre $z$?
¿Qué sucede si un divisor natural $d$ se encuentra entre las soluciones $(x_0, y_0, z_0)$?
¿Qué sucede si un divisor natural $d$ se encuentra entre las soluciones $(x_0, y_0, z_0)$?
Para encontrar las ternas primitivas pitagóricas, ¿qué condiciones deben cumplir los enteros $ heta$ y $
u$?
Para encontrar las ternas primitivas pitagóricas, ¿qué condiciones deben cumplir los enteros $ heta$ y $ u$?
¿Qué condición debe cumplirse para que un sistema de ecuaciones lineales AX = C tenga solución entera?
¿Qué condición debe cumplirse para que un sistema de ecuaciones lineales AX = C tenga solución entera?
En una ecuación diofántica lineal de la forma a1x1 + a2x2 = c, ¿cuándo tiene solución entera?
En una ecuación diofántica lineal de la forma a1x1 + a2x2 = c, ¿cuándo tiene solución entera?
¿Qué implica el teorema de Rouche en relación al sistema de ecuaciones lineales?
¿Qué implica el teorema de Rouche en relación al sistema de ecuaciones lineales?
¿Cuál es el primer paso para resolver una ecuación diofántica lineal con n incógnitas?
¿Cuál es el primer paso para resolver una ecuación diofántica lineal con n incógnitas?
En el contexto de las ecuaciones lineales diofánticas, ¿qué indica el mcd(a1, a2,..., an) = 1?
En el contexto de las ecuaciones lineales diofánticas, ¿qué indica el mcd(a1, a2,..., an) = 1?
¿Qué sucede si las incógnitas en una ecuación diofántica tienen un mcd diferente de 1?
¿Qué sucede si las incógnitas en una ecuación diofántica tienen un mcd diferente de 1?
¿Cuál es la forma reducida del proceso de resolver una ecuación con n incógnitas?
¿Cuál es la forma reducida del proceso de resolver una ecuación con n incógnitas?
En un sistema de ecuaciones lineales recibió la condición de que rang(A) = rang(A|C). ¿Qué implica esto?
En un sistema de ecuaciones lineales recibió la condición de que rang(A) = rang(A|C). ¿Qué implica esto?
¿Qué condición se debe cumplir para que una ecuación diofántica lineal tenga soluciones enteras?
¿Qué condición se debe cumplir para que una ecuación diofántica lineal tenga soluciones enteras?
Si la ecuación $a_1 x_1 + a_2 x_2 = c$ es una ecuación diofántica lineal, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas sobre las soluciones?
Si la ecuación $a_1 x_1 + a_2 x_2 = c$ es una ecuación diofántica lineal, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas sobre las soluciones?
¿Cómo se puede expresar la solución general para $x_1$ en una ecuación diofántica lineal?
¿Cómo se puede expresar la solución general para $x_1$ en una ecuación diofántica lineal?
En el contexto de las ecuaciones diofánticas, ¿qué implica el hecho de que $mcd(a_1, a_2) = 1$?
En el contexto de las ecuaciones diofánticas, ¿qué implica el hecho de que $mcd(a_1, a_2) = 1$?
¿Cuál de las siguientes expresiones describe correctamente $x_2$ en términos de una solución particular de una ecuación diofántica lineal?
¿Cuál de las siguientes expresiones describe correctamente $x_2$ en términos de una solución particular de una ecuación diofántica lineal?
¿Qué significa que la solución de la ecuación $a_1 x_1 + a_2 x_2 = c$ esté en la forma $x_k = x_k$, para $k ≥ 3$?
¿Qué significa que la solución de la ecuación $a_1 x_1 + a_2 x_2 = c$ esté en la forma $x_k = x_k$, para $k ≥ 3$?
¿Qué debe cumplirse para que $(x_1, x_2)$ sea una solución de la ecuación $a_1 x_1 + a_2 x_2 = c - a_3 x_3 - ... - a_n x_n$?
¿Qué debe cumplirse para que $(x_1, x_2)$ sea una solución de la ecuación $a_1 x_1 + a_2 x_2 = c - a_3 x_3 - ... - a_n x_n$?
¿Cuál es la importancia de encontrar una solución particular de la equación $a_1 x_1 + a_2 x_2 = 1$?
¿Cuál es la importancia de encontrar una solución particular de la equación $a_1 x_1 + a_2 x_2 = 1$?
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Study Notes
Resolución de Ecuaciones Diofánticas Lineales
- Se establece un método para resolver ecuaciones lineales diofánticas donde el máximo común divisor (mcd) de los coeficientes es 1, pero el mcd de dos coeficientes cualesquiera no es 1.
- Se transforma la ecuación original en una ecuación con dos incógnitas con mcd igual a 1.
- Se resuelve la ecuación con dos incógnitas, obteniendo soluciones (u,xn).
- Se resuelve la ecuación lineal con n-1 incógnitas, x1+...+xn-1 = u.
- Si la ecuación con n-1 incógnitas cumple con las condiciones del teorema 15.2.2, se resuelve según dicho teorema.
- Si no cumple con las condiciones, se reduce la ecuación a n-2 incógnitas y se repite el proceso.
- Se llega a una ecuación con dos incógnitas con solución conocida.
Sistemas de Ecuaciones Lineales Diofánticas
- Se define un sistema de ecuaciones lineales diofánticas en forma matricial: AX = C, donde A es una matriz mxn de coeficientes enteros y C es un vector columna de mx1 de constantes enteras.
- Se establecen dos condiciones necesarias para que el sistema tenga solución:
- El rango de la matriz A debe ser igual al rango de la matriz ampliada (A|C).
- Cada constante ci debe ser múltiplo del mcd de los coeficientes de la fila i-ésima de la matriz A.
Teorema 15.3.2: Solución de Ecuaciones Diofánticas Lineales con mcd (a1, a2) = 1
- Se presenta una fórmula general para obtener las soluciones enteras de la ecuación diofántica lineal a1x1 + a2x2 + ...+ anxn = c, donde mcd(a1,a2,...,an) = 1 y mcd(a1, a2) = 1.
- La solución general se expresa en términos de una solución particular de la ecuación a1x1 + a2x2 = 1 y de parámetros libres (μ, x3,...,xn).
Terna Pitagórica Primitiva
- Se reconoce que cualquier terna pitagórica (x0, y0, z0) que satisface la ecuación x0² + y0² = z0² también satisface la ecuación (ax0)² + (ay0)² = (az0)², para cualquier entero a.
- También se observa que si d es el mcd de (x0, y0, z0), entonces (x0/d, y0/d, z0/d) también es solución y además tiene mcd = 1.
- Se define el concepto de "terna primitiva pitagórica" como una solución natural (x,y,z) con mcd(x,y,z) = 1.
- Para resolver el problema de encontrar todas las ternas pitagóricas, es suficiente encontrar todas las ternas primitivas pitagóricas.
Teorema 15.5.1: Fórmula General para Terna Pitagórica Primitiva
- Se da una fórmula para generar todas las ternas primitivas pitagóricas:
- x = 2λμ
- y = λ² - μ²
- z = λ² + μ²
- donde λ y μ son dos números naturales de distinta paridad, λ > μ, y mcd(λ, μ) = 1.
- Se demuestra que todas las ternas primitivas pitagóricas pueden ser generadas por esta fórmula.
- Se prueba que si x e y son impares, no se puede obtener la ecuación x² + y² = z², lo que implica que x debe ser par.
- Se deduce que z debe ser impar y se utiliza la factorización de la ecuación para obtener la relación (z + y)(z - y) = z², donde z + y y z - y son números pares.
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