Ecuaciones Diofanticas Lineales

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Questions and Answers

¿Cuál es la propiedad de las soluciones de la ecuación $x^2 + y^2 = z^2$ cuando se aplica un entero $a$?

No son soluciones válidas.

Aumentan en valor absoluto.

Se convierten en números negativos.

No cambian su validez. (correct)

Si $(x_0, y_0, z_0)$ es una solución de la ecuación pitagórica con $mcd(x_0, y_0, z_0) = 1$, ¿qué garantiza esta condición?

Que $z_0$ es mayor que $x_0$ y $y_0$.

Que $x_0$, $y_0$ y $z_0$ son primos entre sí. (correct)

Que $x_0$ y $y_0$ son ambos pares.

Que $z_0$ se puede expresar como suma de otros enteros.

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones sobre las ternas primitivas pitagóricas son correctas?

Son un conjunto limitado de valores enteros.

Se obtienen a partir de soluciones con mcd distinto de 1.

Son obtenidas multiplicando una solución base por un entero no nulo. (correct)

Son siempre números pares.

¿Cuál es el valor de $z$ en términos de $ heta$ y $ u$ para un conjunto de soluciones de la ecuación pitagórica?

$ heta^2 + u^2$ Signup and view all the answers

Al resolver la ecuación $x^2 + y^2 = z^2$, ¿qué condición se necesita para los enteros $ heta$ y $ u$?

Deben ser de distinta paridad. Signup and view all the answers

Si $x$ y $y$ son impares en la solución de la ecuación $x^2 + y^2 = z^2$, ¿qué se puede concluir sobre $z$?

$z$ es impar. Signup and view all the answers

¿Qué sucede si un divisor natural $d$ se encuentra entre las soluciones $(x_0, y_0, z_0)$?

La solución se reduce y es válida. Signup and view all the answers

Para encontrar las ternas primitivas pitagóricas, ¿qué condiciones deben cumplir los enteros $ heta$ y $ u$?

Deben ser primos entre sí. Signup and view all the answers

¿Qué condición debe cumplirse para que un sistema de ecuaciones lineales AX = C tenga solución entera?

ci debe ser un múltiplo de mcd(ai1, ai2,..., ain). Signup and view all the answers

En una ecuación diofántica lineal de la forma a₁x₁ + a₂x₂ = c, ¿cuándo tiene solución entera?

Cuando el máximo común divisor de todos los coeficientes es igual a 1. Signup and view all the answers

¿Qué implica el teorema de Rouche en relación al sistema de ecuaciones lineales?

La relación entre rangos permite determinar la existencia de soluciones. Signup and view all the answers

¿Cuál es el primer paso para resolver una ecuación diofántica lineal con n incógnitas?

Encontrar la solución de la ecuación correspondiente de dos incógnitas. Signup and view all the answers

En el contexto de las ecuaciones lineales diofánticas, ¿qué indica el mcd(a₁, a₂,..., a_n) = 1?

La ecuación puede tener soluciones enteras. Signup and view all the answers

¿Qué sucede si las incógnitas en una ecuación diofántica tienen un mcd diferente de 1?

Es posible que haya soluciones enteras para un subconjunto de incógnitas. Signup and view all the answers

¿Cuál es la forma reducida del proceso de resolver una ecuación con n incógnitas?

Reducir la ecuación de n-1 incógnitas si el mcd es diferente de 1. Signup and view all the answers

En un sistema de ecuaciones lineales recibió la condición de que rang(A) = rang(A|C). ¿Qué implica esto?

El sistema tiene soluciones enteras. Signup and view all the answers

¿Qué condición se debe cumplir para que una ecuación diofántica lineal tenga soluciones enteras?

El mcd de al menos dos coeficientes es igual a 1. Signup and view all the answers

Si la ecuación $a_1 x_1 + a_2 x_2 = c$ es una ecuación diofántica lineal, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas sobre las soluciones?

Cualquier solución entera es de la forma dada por el teorema en función de $λ$ y $μ$. Signup and view all the answers

¿Cómo se puede expresar la solución general para $x_1$ en una ecuación diofántica lineal?

$x_1 = a_1 (c - a_3 x_3 - ... - a_n x_n) + a_2 μ$ Signup and view all the answers

En el contexto de las ecuaciones diofánticas, ¿qué implica el hecho de que $mcd(a_1, a_2) = 1$?

Los coeficientes $a_1$ y $a_2$ son primos entre sí. Signup and view all the answers

¿Cuál de las siguientes expresiones describe correctamente $x_2$ en términos de una solución particular de una ecuación diofántica lineal?

$x_2 = a_2 (c - a_3 x_3 - ... - a_n x_n) - a_1 μ$ Signup and view all the answers

¿Qué significa que la solución de la ecuación $a_1 x_1 + a_2 x_2 = c$ esté en la forma $x_k = x_k$, para $k ≥ 3$?

Los valores de $x_k$ son variables libres que no afectan la solución de la ecuación. Signup and view all the answers

¿Qué debe cumplirse para que $(x_1, x_2)$ sea una solución de la ecuación $a_1 x_1 + a_2 x_2 = c - a_3 x_3 - ... - a_n x_n$?

Los valores de $x_3, ..., x_n$ deben ser conocidos y enteros. Signup and view all the answers

¿Cuál es la importancia de encontrar una solución particular de la equación $a_1 x_1 + a_2 x_2 = 1$?

Es el primer paso para construir todas las soluciones enteras de la ecuación original. Signup and view all the answers

Study Notes

Resolución de Ecuaciones Diofánticas Lineales

Se establece un método para resolver ecuaciones lineales diofánticas donde el máximo común divisor (mcd) de los coeficientes es 1, pero el mcd de dos coeficientes cualesquiera no es 1.
Se transforma la ecuación original en una ecuación con dos incógnitas con mcd igual a 1.
Se resuelve la ecuación con dos incógnitas, obteniendo soluciones (u,x_n).
Se resuelve la ecuación lineal con n-1 incógnitas, x₁+...+x_n-1 = u.
Si la ecuación con n-1 incógnitas cumple con las condiciones del teorema 15.2.2, se resuelve según dicho teorema.
Si no cumple con las condiciones, se reduce la ecuación a n-2 incógnitas y se repite el proceso.
Se llega a una ecuación con dos incógnitas con solución conocida.

Sistemas de Ecuaciones Lineales Diofánticas

Se define un sistema de ecuaciones lineales diofánticas en forma matricial: AX = C, donde A es una matriz mxn de coeficientes enteros y C es un vector columna de mx1 de constantes enteras.
Se establecen dos condiciones necesarias para que el sistema tenga solución:
- El rango de la matriz A debe ser igual al rango de la matriz ampliada (A|C).
- Cada constante c_i debe ser múltiplo del mcd de los coeficientes de la fila i-ésima de la matriz A.

Teorema 15.3.2: Solución de Ecuaciones Diofánticas Lineales con mcd (a₁, a₂) = 1

Se presenta una fórmula general para obtener las soluciones enteras de la ecuación diofántica lineal a₁x₁ + a₂x₂ + ...+ a_nx_n = c, donde mcd(a₁,a₂,...,an) = 1 y mcd(a₁, a₂) = 1.
La solución general se expresa en términos de una solución particular de la ecuación a₁x₁ + a₂x₂ = 1 y de parámetros libres (μ, x₃,...,x_n).

Terna Pitagórica Primitiva

Se reconoce que cualquier terna pitagórica (x₀, y₀, z₀) que satisface la ecuación x₀² + y₀² = z₀² también satisface la ecuación (ax₀)² + (ay₀)² = (az₀)², para cualquier entero a.
También se observa que si d es el mcd de (x₀, y₀, z₀), entonces (^x₀/_d, ^y₀/_d, ^z₀/_d) también es solución y además tiene mcd = 1.
Se define el concepto de "terna primitiva pitagórica" como una solución natural (x,y,z) con mcd(x,y,z) = 1.
Para resolver el problema de encontrar todas las ternas pitagóricas, es suficiente encontrar todas las ternas primitivas pitagóricas.

Teorema 15.5.1: Fórmula General para Terna Pitagórica Primitiva

Se da una fórmula para generar todas las ternas primitivas pitagóricas:
- x = 2λμ
- y = λ² - μ²
- z = λ² + μ²
donde λ y μ son dos números naturales de distinta paridad, λ > μ, y mcd(λ, μ) = 1.
Se demuestra que todas las ternas primitivas pitagóricas pueden ser generadas por esta fórmula.
Se prueba que si x e y son impares, no se puede obtener la ecuación x² + y² = z², lo que implica que x debe ser par.
Se deduce que z debe ser impar y se utiliza la factorización de la ecuación para obtener la relación (z + y)(z - y) = z², donde z + y y z - y son números pares.

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Description

Este cuestionario aborda la resolución de ecuaciones diofánticas lineales y sistemas de ecuaciones en forma matricial. Se exploran métodos para encontrar soluciones y simplificar ecuaciones utilizando el teorema 15.2.2. Ideal para estudiantes que deseen profundizar en esta temática matemática.