Ecuaciones de Primer Grado

Ecuaciones de Primer Grado

• Una ecuación es una igualdad con números y letras (incógnitas) relacionados por operaciones matemáticas.
• Ejemplo de ecuación: $3x - 5 = 4x + 7$

Elementos de una Ecuación

• Miembros: Expresiones a cada lado del signo igual.
  • Primer miembro: Expresión a la izquierda del signo igual.
  • Segundo miembro: Expresión a la derecha del signo igual.
• Términos: Sumandos que componen los miembros.
• Incógnitas: Letras cuyo valor se busca.
• Soluciones: Valores que hacen cierta la igualdad al ser asignados a las incógnitas.
• Grado: Mayor exponente de la incógnita.

Tipos de Ecuaciones

• Compatible determinada: Tiene una única solución.
• Compatible indeterminada: Tiene infinitas soluciones.
• Incompatible: No tiene solución.

Ecuaciones Equivalentes

• Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Obtención de Ecuaciones Equivalentes

• Sumar o restar la misma expresión algebraica a ambos miembros.
• Multiplicar o dividir ambos miembros por el mismo número (distinto de cero).

Resolución de Ecuaciones de Primer Grado

• Eliminar denominadores multiplicando todos los términos por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

• Eliminar paréntesis aplicando la propiedad distributiva.

• Pasar los términos con la incógnita a un miembro y los términos independientes al otro.

• Agrupar términos semejantes en cada miembro.

• Despejar la incógnita dividiendo ambos miembros por su coeficiente.

• Ejemplo: Resolver $3x - 5 = x + 3$. Solución: $x = 4$.

Ecuaciones de Segundo Grado

• Una ecuación de segundo grado tiene la forma general $ax^2 + bx + c = 0$, donde $a \neq 0$. El mayor exponente de la incógnita es 2.

Tipos de Ecuaciones de Segundo Grado

• Completas: Tienen todos los términos ($a \neq 0$, $b \neq 0$, $c \neq 0$).
• Incompletas: Carecen del término lineal ($b = 0$) o del término independiente ($c = 0$).

Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado Completas

• Se utiliza la fórmula: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

• Ejemplo: Resolver $x^2 - 5x + 6 = 0$. Soluciones: $x_1 = 3$, $x_2 = 2$.

Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado Incompletas

• Caso 1: Si $b = 0$, la ecuación es $ax^2 + c = 0$. Se despeja $x^2$ y se obtiene: $x = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}$
  • Ejemplo: Resolver $x^2 - 9 = 0$. Soluciones: $x = \pm 3$.
• Caso 2: Si $c = 0$, la ecuación es $ax^2 + bx = 0$. Se factoriza: $x(ax + b) = 0$. Una solución es $x = 0$, la otra es $x = -\frac{b}{a}$.
  • Ejemplo: Resolver $x^2 + 5x = 0$. Soluciones: $x_1 = 0$, $x_2 = -5$.

Número de Soluciones de una Ecuación de Segundo Grado

• Depende del discriminante ($b^2 - 4ac$):
  • Si $b^2 - 4ac > 0$, dos soluciones reales distintas.
  • Si $b^2 - 4ac = 0$, una solución real doble.
  • Si $b^2 - 4ac < 0$, no tiene soluciones reales.

Propiedades de las Raíces de una Ecuación de Segundo Grado

• Para la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$, si $x_1$ y $x_2$ son las raíces:
  • Suma de raíces: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
  • Producto de raíces: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
• Estas propiedades sirven para verificar las soluciones.

Factorización de un Trinomio de Segundo Grado

• Si $x_1$ y $x_2$ son las raíces de $ax^2 + bx + c = 0$, entonces $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$. En particular, si $a = 1$, $x^2 + bx + c = (x - x_1)(x - x_2)$.
  • Ejemplo: Factorizar $x^2 - 5x + 6$. Factorización: $(x - 3)(x - 2)$.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

• Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales con las mismas incógnitas.
  • Ejemplo: $\begin{cases} 2x + y = 5 \ x - y = 1 \end{cases}$

Tipos de Sistemas de Ecuaciones

• Sistema compatible determinado: Tiene una única solución.
• Sistema compatible indeterminado: Tiene infinitas soluciones.
• Sistema incompatible: No tiene solución.

Métodos de Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Método de Sustitución

• Despejar una incógnita en una ecuación.
• Sustituir la expresión en la otra ecuación.
• Resolver la ecuación resultante.
• Sustituir el valor obtenido en la ecuación donde se despejó la incógnita.
• Obtener la solución.
  • Ejemplo: Resolver el sistema $\begin{cases} 2x + y = 5 \ x - y = 1 \end{cases}$. Solución: $x = 2$, $y = 1$.

Método de Igualación

• Despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones.
• Igualar las expresiones obtenidas.
• Resolver la ecuación resultante.
• Sustituir el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas.
• Obtener la solución.
  • Ejemplo: Resolver el sistema $\begin{cases} 2x + y = 5 \ x - y = 1 \end{cases}$. Solución: $x = 2$, $y = 1$.

Método de Reducción

• Multiplicar las ecuaciones por números para que los coeficientes de una incógnita sean iguales u opuestos.
• Sumar o restar las ecuaciones para eliminar la incógnita.
• Resolver la ecuación resultante.
• Sustituir el valor obtenido en una ecuación original.
• Obtener la solución.

Inecuaciones de Primer Grado

• Una inecuación es una desigualdad entre números y letras (incógnitas) relacionados por operaciones matemáticas.
  • Ejemplo: $3x - 5 < 4x + 7$

Propiedades de las Desigualdades

• Sumar o restar el mismo número a ambos miembros no cambia la desigualdad.
• Multiplicar o dividir por un número positivo no cambia la desigualdad.
• Multiplicar o dividir por un número negativo invierte la desigualdad.

Resolución de Inecuaciones de Primer Grado

• Similar a las ecuaciones, pero con las propiedades de las desigualdades en cuenta.
  • Ejemplo: Resolver $3x - 5 < x + 3$. Solución: $x < 4$, expresado como $(-\infty, 4)$.

Inecuaciones Equivalentes

• Dos inecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Obtención de Inecuaciones Equivalentes

• Sumar o restar la misma expresión algebraica.
• Multiplicar o dividir por un número positivo.
• Multiplicar o dividir por un número negativo y cambiar el sentido de la desigualdad.

Sistemas de Inecuaciones de Primer Grado

• Un sistema de inecuaciones de primer grado es un conjunto de dos o más inecuaciones de primer grado con las mismas incógnitas.
  • Ejemplo: $\begin{cases} 2x + y < 5 \ x - y > 1 \end{cases}$

Resolución de Sistemas de Inecuaciones de Primer Grado

• Resolver cada inecuación por separado.
• Representar las soluciones en la recta real.
• Determinar la intersección de las soluciones.
  • Ejemplo: Resolver el sistema $\begin{cases} x + 1 > 0 \ x - 2 < 0 \end{cases}$. Solución: $(-1, 2)$.

Transformada de Fourier

Motivación

• Resolver y comprender ecuaciones diferenciales.
• Diseñar sistemas con comportamientos específicos ante entradas.
• A menudo, la respuesta implica comprender el contenido de frecuencia de una señal.

Ejemplo: Suspensión Activa

• Coche sobre una carretera con baches: $y(t)$
• Sistema de suspensión: $H$
• Movimiento vertical del asiento: $z(t)$
• Se busca que el coche filtre las vibraciones de alta frecuencia de una carretera con baches denotadas como señal $y(t)$. El objetivo es que el movimiento vertical del asiento $z(t)$ contenga solo componentes de baja frecuencia de $y(t)$. $|H(j\omega)| \approx 0$ para $\omega$ grandes, y $|H(j\omega)| \approx 1$ para $\omega$ pequeñas.

Transformada de Fourier

• Permite comprender el contenido de frecuencia de una señal y convertirla entre el dominio del tiempo y el de la frecuencia.
• Existen cuatro versiones:
  • Señales aperiódicas de tiempo continuo (Transformada de Fourier, el tema de este estudio).
  • Señales periódicas de tiempo continuo (Serie de Fourier).
  • Señales aperiódicas de tiempo discreto (Transformada de Fourier de Tiempo Discreto o DTFT).
  • Señales periódicas de tiempo discreto (Transformada de Fourier Discreta o DFT).

Definición de la Transformada de Fourier

• La función $X(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t} dt$ define la transformada de Fourier.
  • $x(t)$ es una señal en el dominio del tiempo.
  • $X(j\omega)$ es la representación de $x(t)$ en el dominio de la frecuencia.
  • En general, $X(j\omega)$ es de valor complejo.
  • $\omega$ es la frecuencia en radianes por segundo.

Transformada de Fourier Inversa

• La ecuación $x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(j\omega)e^{j\omega t} d\omega$ determina la transformada inversa de Fourier.

Ejemplo de Transformada de Fourier

• Para $x(t) = e^{-at}u(t)$, con $a > 0$, la transformada es $X(j\omega) = \frac{1}{a + j\omega}$.

Convergencia

• La Transformada de Fourier existe si $x(t)$ cumple las condiciones de Dirichlet:
  • $x(t)$ es absolutamente integrable, $\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)| dt < \infty$
  • $x(t)$ tiene un número finito de discontinuidades en cualquier intervalo finito.
  • $x(t)$ tiene un número finito de máximos y mínimos en cualquier intervalo finito.
• Estas condiciones son suficientes pero no necesarias.

Ejemplos de No Existencia

• $x(t) = e^{t}u(t)$. Crece sin límite, no es absolutamente integrable.
• $x(t) = A, \quad -\infty < t < \infty$. No es absolutamente integrable.

Pares Comunes de Transformada de Fourier

• $\Re{a} > 0$ implica que la parte real de $a$ es mayor que cero.

Propiedades de la Transformada de Fourier

• Linealidad: Si $x(t) \stackrel{FT}{\longleftrightarrow} X(j\omega)$ y $y(t) \stackrel{FT}{\longleftrightarrow} Y(j\omega)$, entonces $ax(t) + by(t) \stackrel{FT}{\longleftrightarrow} aX(j\omega) + bY(j\omega)$.
• Desplazamiento Temporal: Si $x(t) \stackrel{FT}{\longleftrightarrow} X(j\omega)$, entonces $x(t - t_{0}) \stackrel{FT}{\longleftrightarrow} e^{-j\omega t_{0}}X(j\omega)$.
• Desplazamiento de Frecuencia: Si $x(t) \stackrel{FT}{\longleftrightarrow} X(j\omega)$, entonces $e^{j\omega_{0}t}x(t) \stackrel{FT}{\longleftrightarrow} X(j(\omega - \omega_{0}))$.

Dualidad

• Si $x(t) \stackrel{FT}{\longleftrightarrow} X(j\omega)$, entonces $X(jt) \stackrel{FT}{\longleftrightarrow} 2\pi x(-\omega)$.

• Ejemplo: $x(t) = \frac{1}{a + jt} \stackrel{FT}{\longleftrightarrow} 2\pi e^{a\omega}u(-\omega)$

Escala de Tiempo

• Si $x(t) \stackrel{FT}{\longleftrightarrow} X(j\omega)$, entonces $x(at) \stackrel{FT}{\longleftrightarrow} \frac{1}{|a|}X(\frac{j\omega}{a})$.
• $0 < a < 1$: $x(at)$ es una versión estirada de $x(t)$.
• $a > 1$: $x(at)$ es una versión comprimida de $x(t)$.

Derivación

• Si $x(t) \stackrel{FT}{\longleftrightarrow} X(j\omega)$, entonces $\frac{dx(t)}{dt} \stackrel{FT}{\longleftrightarrow} j\omega X(j\omega)$.

• Ejemplo:

  • $x(t) = e^{-at}u(t) \stackrel{FT}{\longleftrightarrow} X(j\omega) = \frac{1}{a + j\omega} $
  • $\frac{dx(t)}{dt} = -ae^{-at}u(t) + e^{-at}\delta(t) = -ae^{-at}u(t) + \delta(t)$
  • $\frac{dx(t)}{dt} \stackrel{FT}{\longleftrightarrow} \frac{-a}{a + j\omega} + 1 = \frac{j\omega}{a + j\omega} = j\omega X(j\omega)$

Integración

• Si $x(t) \stackrel{FT}{\longleftrightarrow} X(j\omega)$, entonces $\int_{-\infty}^{t} x(\tau)d\tau \stackrel{FT}{\longleftrightarrow} \frac{1}{j\omega}X(j\omega) + \pi X(0)\delta(\omega)$.

Convolución

• Si $x(t) \stackrel{FT}{\longleftrightarrow} X(j\omega)$ y $y(t) \stackrel{FT}{\longleftrightarrow} Y(j\omega)$, entonces $x(t) * y(t) \stackrel{FT}{\longleftrightarrow} X(j\omega)Y(j\omega)$.
• La convolución en el dominio del tiempo corresponde a la multiplicación en el dominio de la frecuencia.
• Convolución en tiempo es multiplicación en frecuencia. Es una propiedad muy importante.

Multiplicación

• Si $x(t) \stackrel{FT}{\longleftrightarrow} X(j\omega)$ y $y(t) \stackrel{FT}{\longleftrightarrow} Y(j\omega)$, entonces $x(t)y(t) \stackrel{FT}{\longleftrightarrow} \frac{1}{2\pi}X(j\omega) * Y(j\omega)$.
• La multiplicación en el dominio del tiempo corresponde a la convolución en el dominio de la frecuencia.

Relación de Parseval

• Si $x(t) \stackrel{FT}{\longleftrightarrow} X(j\omega)$, entonces $\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^{2} dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |X(j\omega)|^{2} d\omega$.
• Relaciona la energía de la señal en el dominio del tiempo con la energía en el dominio de la frecuencia.

Tabla de Propiedades de la Transformada de Fourier

Algoritmo 1: Generación de Datos de Entrenamiento

• Los datos de entrenamiento son generados al recoger parámetros aleatorios, y usar estos para generar una imagen, vectorizando esta imagen y usar los parámetros originales para construir la etiqueta de entrenamiento.
• Entrada:* $n, K, \sigma, r_{\text{max}}, T , \alpha_{\text{max}}$
• Salida:* $\mathcal{D} = {(\mathbf{x}i, y_i)}{i=1}^n$
• $\mathcal{D}$ es la recopilación de data vectorializada ($\mathbf{x}_i$) con sus etiquetas ($y_i$).
• n: número de sample.
• K, sigma: propiedades de la data.
• Los parámetros rmax, T, y alphamax, son rangos.
• Pasos:*
• Inicialización de $\mathcal{D}$ a conjunto vacío.
• Para cada $\mathbf{i}$ desde 1 hasta n:
  • Generar parámetros aleatorios:
    • $\mathbf{k}$: Vector aleatorio de tres elementos, tomados del conjunto de 0 hasta $K$.
    • $\boldsymbol{\sigma}$: Vector aleatorio de tres elementos, tomados del conjunto de 0 hasta $\sigma$.
    • $r$: Número aleatorio del conjunto de 0 hasta $r_{\text{max}}$.
    • $t$: Número aleatorio del conjunto de 0 hasta $T$.
    • $\alpha$: Número aleatorio del conjunto de 0 hasta $\alpha_{\text{max}}$.
  • $\mathbf{x}_i$: Vectorización de la imagen $\mathcal{I}$ generada con los parámetros aleatorios.
  • $y_i$: Vector de parámetros verdaderos $(\mathbf{k}, \boldsymbol{\sigma}, r, t, \alpha)$
  • Anexar a $\mathcal{D}$ el par $(\mathbf{x}_i, y_i)$
• Regresar $\mathcal{D}$

Algoritmo 2: Registro de Imágenes Basado en Pérdida

• El registro de imágenes basado en pérdida hace que una imagen de entrada se parezca más a una imagen de referencia modificando los parámetros de esta imagen basado en el gradiente de la función de pérdida.

• Entrada:* $\mathcal{I}{\text{ref}}$, $\mathcal{I}{\text{in}}$, $\theta$, $\nabla \mathcal{L}$, $\alpha$

• Salida:* $\mathcal{I}_{\text{reg}}$

• $\mathcal{I}_{\text{ref}}$: Imagen de referencia.

• $\mathcal{I}_{\text{in}}$: Imagen de entrada .

• $\theta$: parámetros transformacionales.

• $\nabla \mathcal{L}$: el gradiente de la pérdida.

• $\alpha$ : Factor de aprendizaje.

• Pasos*

• Actualizar el parámetro $\theta$ restándole $\alpha$ por el producto de la función de perdida gradiente evaluada en la imagen de referencia, la imagen de entrada y los parámetros $\theta$.

• La imagen registrada $\mathcal{I}{\text{reg}}$ es una transformación de $\mathcal{I}{\text{in}}$ usando el parámetro $\theta$.

• Regresar $\mathcal{I}_{\text{reg}}$

Prueba de Hipótesis II

Prueba de Hipótesis para la Media

Caso 1: $\sigma$ Conocido

• Configuración:*

• Población: $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ (distribución normal con media $\mu$ y varianza $\sigma^2$).

• Muestra: $X_1,..., X_n$ son i.i.d. (independientes e idénticamente distribuidas).

• Prueba:

  • $H_0: \mu = \mu_0$ (hipótesis nula).
  • $H_1: \mu \neq \mu_0$ (prueba de dos colas).
  • $H_1: \mu > \mu_0$ (prueba de cola derecha).
  • $H_1: \mu < \mu_0$ (prueba de cola izquierda).

• Estadístico de prueba: $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$ (distribución normal estándar). $\bar{X}$ es la media muestral.

• Regla de Decisión:*

• Prueba de dos colas: Se rechaza $H_0$ si $|Z| > z_{\alpha/2}$.

• Prueba de cola derecha: Se rechaza $H_0$ si $Z > z_{\alpha}$.

• Prueba de cola izquierda: Se rechaza $H_0$ si $Z < -z_{\alpha}$.

Donde:

• $\alpha$ es el nivel de significancia.

• $z_{\alpha/2}$ y $z_{\alpha}$ son los valores críticos de la distribución normal estándar.

• Valor P:*

• Prueba de dos colas: $P = 2P(Z > |z|)$.

• Prueba de cola derecha: $P = P(Z > z)$.

• Prueba de cola izquierda: $P = P(Z < z)$.

Donde:

• $z$ es el valor observado del estadístico de prueba.
• $P$ es la probabilidad de observar un valor tan extremo o más que $z$ bajo $H_0$.

Caso 2: $\sigma$ Desconocido

• Configuración:*

• Población: $X \sim N(\mu, \sigma^2)$.

• Muestra: $X_1,..., X_n$ son i.i.d.

• Prueba:

  • $H_0: \mu = \mu_0$.
  • $H_1: \mu \neq \mu_0$ (prueba de dos colas).
  • $H_1: \mu > \mu_0$ (prueba de cola derecha).
  • $H_1: \mu < \mu_0$ (prueba de cola izquierda).

• Estadístico de prueba: $T = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}} \sim t_{n-1}$ (distribución t de Student con n-1 grados de libertad). $S$ es la desviación estándar muestral.

• Regla de Decisión:*

• Prueba de dos colas: Se rechaza $H_0$ si $|T| > t_{\alpha/2, n-1}$.

• Prueba de cola derecha: Se rechaza $H_0$ si $T > t_{\alpha, n-1}$.

• Prueba de cola izquierda: Se rechaza $H_0$ si $T < -t_{\alpha, n-1}$.

Donde:

• $\alpha$ es el nivel de significancia.
• $t_{\alpha/2, n-1}$ y $t_{\alpha, n-1}$ son los valores críticos de la distribución t con n-1 grados de libertad.
• Valor P:*
• Prueba de dos colas: $P = 2P(T > |t|)$.
• Prueba de cola derecha: $P = P(T > t)$.
• Prueba de cola izquierda: $P = P(T < t)$.

Donde:

• $t$ es el valor observado del estadístico de prueba.
• $P$ es la probabilidad de observar un valor tan extremo o más que $t$ bajo $H_0$.

Ejemplo: Presión de Neumáticos

• Afirmación: La presión promedio de los neumáticos es de 30 psi.
• Muestra de 16 neumáticos: $\bar{x} = 31.5$ psi, $s = 3$ psi.
• Probar la afirmación con $\alpha = 0.05$.

1. Hipótesis:
   • $H_0: \mu = 30$.
   • $H_1: \mu \neq 30$.
2. Estadístico de Prueba:
   • $T = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} = \frac{31.5 - 30}{3 / \sqrt{16}} = \frac{1.5}{0.75} = 2$.
3. Regla de Decisión:
   • $t_{\alpha/2, n-1} = t_{0.025, 15} = 2.131$.
   • Se rechaza $H_0$ si $|T| > 2.131$.
4. Conclusión:
   • Como $|2| < 2.131$, no se rechaza $H_0$. No hay suficiente evidencia para rechazar la afirmación de que la presión promedio de los neumáticos es de 30 psi.
5. Valor P:
   • $P = 2P(T > 2) = 2(0.032) = 0.064$.
   • Como $P > \alpha$, no se rechaza $H_0$.