Divisibilité en Arithmétique et Algebra

Divisibilité en Arithmétique et en Algèbre

• Définition générale: Un entier a est divisible par un entier b s'il existe un entier k tel que a = bk. a est un multiple de b, et b est un diviseur de a.
• Notation: La divisibilité se note b|a. Ceci est différent de la division a/b.
• Généralisation: La notion de divisibilité s'applique à tout anneau commutatif, incluant les anneaux de polynômes.
• Lien avec la division euclidienne: Pour des entiers naturels non nuls, a est divisible par b si la division euclidienne de a par b est exacte (reste 0).
• Propriétés dans les entiers naturels: La relation « divise » est une relation d'ordre partiel dans les entiers naturels.
  • 1 est le plus petit élément.
  • 0 est le plus grand élément.
  • Tout couple d'entiers naturels a un plus grand commun diviseur (pgcd) et un plus petit commun multiple (ppcm).
  • L'ensemble des entiers naturels avec la divisibilité, le pgcd et le ppcm forme un treillis.
• Stabilité avec les opérations: La divisibilité est stable par addition, soustraction, multiplication et simplification.
• Nombres premiers entre eux: La divisibilité a des liens avec les nombres premiers entre eux, notamment via le lemme de Gauss.
• Entiers relatifs: La définition s'étend aux entiers relatifs. a|b si et seulement si |a| divise |b|.
• Propriétés dans les entiers relatifs: La relation « divise » est réflexive et transitive, mais n'est pas antisymétrique dans les entiers relatifs ( à moins d'a=b ou a=-b).
• Détermination de la divisibilité: On peut utiliser la division euclidienne ou des critères (ex: divisibilité par 2, 3, 5).
• Généralisation à un anneau quelconque: Dans un anneau commutatif unitaire, b divise a si et seulement s'il existe un élément c de l'anneau tel que a = bc.
• Lien avec les idéaux: b divise a si et seulement si l'idéal engendré par b contient l'idéal engendré par a.
• Unités: Les éléments inversibles (unités) divisent tous les éléments de l'anneau.
• Associés: Deux éléments a et b sont associés (a ~ b) si a|b et b|a (équivaut à (a)=(b) ).
• Divisiveurs de zéro: Dans un anneau non intègre, il existe des éléments non nuls qui multipliés donnent 0. Ces éléments sont appelés diviseurs de zéro.
• Importance en algèbre commutative: La notion de divisibilité est fondamentale pour l'étude et la classification des anneaux commutatifs.

Ce quiz explore les concepts de divisibilité dans les entiers, incluant la notation et les propriétés fondamentales. Vous apprendrez comment la divisibilité se relie à la division euclidienne et son application dans les anneaux commutatifs. Testez vos connaissances sur le pgcd et le ppcm dans les entiers naturels.