Divisibilité en Arithmétique et Algebra

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Questions and Answers

Que signifie dire qu'un entier a est divisible par un entier b ?

Il existe un entier k tel que a = b + k.

Il existe un entier k tel que a = b - k.

Il existe un entier k tel que a = k / b.

Il existe un entier k tel que a = b * k. (correct)

Comment est notée la relation de divisibilité entre deux entiers ?

a / b

b divise a

b | a (correct)

a ≥ b

Pourquoi dit-on que 1 est le plus petit élément dans l'ensemble des entiers naturels concernant la divisibilité ?

Il ne peut pas diviser 0.

Il est le seul nombre premier.

C'est le nombre le plus petit dans l'ensemble des entiers naturels.

Il divise tous les entiers naturels. (correct)

Quelle est la relation entre le pgcd(a, b) et la divisibilité ?

pgcd(a, b) divise a et b. Signup and view all the answers

Quelle propriété la relation de divisibilité possède-t-elle dans les entiers naturels ?

C'est une relation d'ordre partiel. Signup and view all the answers

Dans quel cas a divise b dans l'ensemble des entiers relatifs ?

Lorsque |a| divise |b|. Signup and view all the answers

Qu'est-ce qui différencie la relation de divisibilité dans les entiers relatifs et dans les entiers naturels ?

La relation de préordre. Signup and view all the answers

Quelle est la définition de la divisibilité dans un anneau de polynômes ?

La notion de divisibilité s'applique de la même manière qu'aux entiers. Signup and view all the answers

Qu'est-ce qui indique qu'un nombre est divisible par 2 ?

Son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 Signup and view all the answers

Quel énoncé décrit correctement la relation d'équivalence associée au préordre « divise » ?

a est associé à b si a|b et b|a, équivalent à (a) = (b) Signup and view all the answers

Pourquoi tous les éléments d'un anneau A divisent 0A ?

Car a × 0A = 0A pour tout a dans A Signup and view all the answers

Quel énoncé est vrai concernant les éléments inversibles dans un anneau ?

Ils divisent tous les éléments de l'anneau Signup and view all the answers

Quelle est la définition d'un diviseur dans un anneau commutatif ?

Un élément a divise b si et seulement si il existe un c tel que a = bc Signup and view all the answers

Dans un anneau non intègre, quel phénomène peut se produire ?

Il existe des diviseurs de zéro Signup and view all the answers

Comment peut-on déterminer si un nombre a est divisible par 3 ?

Si la somme de ses chiffres est divisible par 3 Signup and view all the answers

Quelle propriété la relation « divise » n'a-t-elle pas généralement ?

Antisymétrie Signup and view all the answers

Study Notes

Divisibilité en Arithmétique et en Algèbre

Définition générale: Un entier a est divisible par un entier b s'il existe un entier k tel que a = bk. a est un multiple de b, et b est un diviseur de a.
Notation: La divisibilité se note b|a. Ceci est différent de la division a/b.
Généralisation: La notion de divisibilité s'applique à tout anneau commutatif, incluant les anneaux de polynômes.
Lien avec la division euclidienne: Pour des entiers naturels non nuls, a est divisible par b si la division euclidienne de a par b est exacte (reste 0).
Propriétés dans les entiers naturels: La relation « divise » est une relation d'ordre partiel dans les entiers naturels.
- 1 est le plus petit élément.
- 0 est le plus grand élément.
- Tout couple d'entiers naturels a un plus grand commun diviseur (pgcd) et un plus petit commun multiple (ppcm).
- L'ensemble des entiers naturels avec la divisibilité, le pgcd et le ppcm forme un treillis.
Stabilité avec les opérations: La divisibilité est stable par addition, soustraction, multiplication et simplification.
Nombres premiers entre eux: La divisibilité a des liens avec les nombres premiers entre eux, notamment via le lemme de Gauss.
Entiers relatifs: La définition s'étend aux entiers relatifs. a|b si et seulement si |a| divise |b|.
Propriétés dans les entiers relatifs: La relation « divise » est réflexive et transitive, mais n'est pas antisymétrique dans les entiers relatifs ( à moins d'a=b ou a=-b).
Détermination de la divisibilité: On peut utiliser la division euclidienne ou des critères (ex: divisibilité par 2, 3, 5).
Généralisation à un anneau quelconque: Dans un anneau commutatif unitaire, b divise a si et seulement s'il existe un élément c de l'anneau tel que a = bc.
Lien avec les idéaux: b divise a si et seulement si l'idéal engendré par b contient l'idéal engendré par a.
Unités: Les éléments inversibles (unités) divisent tous les éléments de l'anneau.
Associés: Deux éléments a et b sont associés (a ~ b) si a|b et b|a (équivaut à (a)=(b) ).
Divisiveurs de zéro: Dans un anneau non intègre, il existe des éléments non nuls qui multipliés donnent 0. Ces éléments sont appelés diviseurs de zéro.
Importance en algèbre commutative: La notion de divisibilité est fondamentale pour l'étude et la classification des anneaux commutatifs.

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Description

Ce quiz explore les concepts de divisibilité dans les entiers, incluant la notation et les propriétés fondamentales. Vous apprendrez comment la divisibilité se relie à la division euclidienne et son application dans les anneaux commutatifs. Testez vos connaissances sur le pgcd et le ppcm dans les entiers naturels.