Distribuzioni di Frequenza

Study Notes

Per organizzare dati elementari si utilizza una distribuzione o tabella di frequenza.
La frequenza è un concetto fondamentale per la costruzione di tabelle di frequenza.
n rappresenta il numero totale di unità statistiche.
xi rappresenta le modalità distinte.
ni rappresenta le frequenze assolute.
k rappresenta il numero di modalità differenti.
n e k sono solitamente diversi.
ni > 0 e sono numeri interi.
La sommatoria di ni è uguale a n.
La frequenza relativa (fi) è il numero di unità statistiche sul totale che presentano una data modalità.
fi è calcolato come ni/n.
fi è un numero compreso tra 0 e 1.
La sommatoria di fi è uguale a 1.
La frequenza cumulata è il numero o la frazione di unità statistiche che presentano una data modalità "minore o uguale" alla corrente.
Ni rappresenta le frequenze assolute cumulate.
Fi rappresenta le frequenze relative cumulate.
N1 = n1 e Nk = n.
F1 = f1 e Fk = 1.
Le frequenze cumulate hanno senso solo per caratteri ordinabili.
Per caratteri quantitativi con molte modalità distinte, si può optare per il raggruppamento in classi.
Le classi sono intervalli di valori chiusi o aperti che devono essere disgiunte e esaustive.
Le classi sono solitamente chiuse a destra.
La densità di frequenza è la frequenza assoluta o relativa rapportata all'ampiezza dell'intervallo.

L'indice di connessione è il Chi-quadrato (𝜒2).
𝜒2 si basa sui valori delle contingenze e delle frequenze teoriche.
Nel caso limite di minima connessione, le frequenze osservate sono uguali a quelle teoriche e 𝜒2 = 0.
Ciò indica indipendenza stocastica.
Nel caso limite di massima connessione, si ha dipendenza funzionale.
𝜒2 max = n × min [(h − 1),(k − 1)], dove h è il numero di righe e k il numero di colonne.
L'indice di connessione normalizzato (𝜒2N) è compreso tra 0 e 1.
𝜒2N = 0 indica indipendenza stocastica.
𝜒2N = 1 indica dipendenza funzionale.
L'indice simmetrico 𝜒2 si calcola come 𝜒2(X|y) = 𝜒2(Y|x).

Indipendenza in media si verifica quando almeno uno dei caratteri della variabile statistica ha ηY2 = 1.
Dipendenza funzionale (di X da Y) si verifica quando ad ogni Y corrisponde una e una sola X.
Sia l'indipendenza in media che la dipendenza funzionale sono non simmetriche.
ηY2 ≠ ηX2 ad eccezione di casi particolari come l'indipendenza stocastica o la perfetta dipendenza funzionale biunivoca.

La teoria della probabilità descrive l'incertezza come una componente fondamentale sia in ambiti pratici che teorici.
La teoria della probabilità si occupa di analizzare situazioni con esito incerto chiamate eventi.
I concetti primitivi della teoria della probabilità sono:
- La prova o esperimento aleatorio: un esperimento con almeno due possibili esiti incerti.
- L'evento: l'oggetto di studio della probabilità.
- La probabilità: la misura associata alla probabilità di un evento.
Un evento A si verifica con probabilità P(A).

L'evento elementare (ωi) è il singolo esito della prova.
Gli eventi elementari sono incompatibili, ovvero se uno si verifica, gli altri non possono verificarsi.
L'approccio soggetivista è utile per risolvere problemi relativi a esperimenti non ripetibili.

La probabilità condizionata si applica quando il risultato di un evento è parzialmente noto.
A|B significa "evento A condizionato a B", ovvero la probabilità di A dato che B si è già verificato.
La probabilità condizionata di A dato B è P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B), dove P(B) ≠ 0.
La probabilità condizionata consente di calcolare la probabilità dell'intersezione tra due eventi: P(A ∩ B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A).

Due eventi A e B sono stocasticamente indipendenti se la probabilità di ciascuno di essi non varia a seconda del verificarsi dell'altro.
In caso di indipendenza, P(A|B) = P(A) o P(B|A) = P(B).
In caso di indipendenza, la probabilità dell'intersezione tra A e B è P(A ∩ B) = P(A)P(B).
Se A e B sono disgiunti, allora P(A ∩ B) = 0.

Gli schemi d'urna sono utili per rappresentare esperimenti aleatori.
Si distinguono due tipi di estrazioni :
- Estrazione con reimmissione: la composizione dell'urna rimane identica ad ogni estrazione, gli eventi sono indipendenti.
- Estrazione senza reimmissione: la composizione dell'urna cambia ad ogni estrazione, gli eventi sono dipendenti.

Il teorema di Bayes si basa sulla partizione dello spazio campionario Ω.
Una partizione è una suddivisione di Ω in sottoinsiemi Ai disgiunti la cui unione è Ω.
Il teorema della probabilità totale afferma che P(B) = Σi(P(B | Ai)P(Ai)) dove ∪iAi = Ω e Ai ∩ Aj = Ø.
Il teorema di Bayes consente di calcolare la probabilità che un effetto B sia stato generato da una particolare causa Ai.
P(Ai | B) = (P(B | Ai)P(Ai)) / Σi P(B | Ai)P(Ai).