Differentialrechnung in der Ökonomie

Das implizite Differenzieren ist eine Methode, um die Ableitung einer implizit definierten Funktion zu bestimmen. Bei impliziten Funktionen ist die abhängige Variable nicht explizit als Funktion der unabhängigen Variable dargestellt, sondern durch eine Gleichung, die beide Variablen miteinander verbindet.

Um die Steigung der Tangente an den Graphen einer implizit definierten Funktion an einem bestimmten Punkt zu bestimmen, wird die Gleichung der Funktion implizit nach der abhängigen Variablen differenziert. Anschließend werden die Koordinaten des Punktes in die Ableitung eingesetzt, um die Steigung der Tangente zu erhalten.

Um die zweite Ableitung einer implizit definierten Funktion zu bestimmen, wird die Gleichung der Funktion zweimal implizit nach der abhängigen Variablen differenziert. Anschließend werden die Koordinaten des Punktes in die zweite Ableitung eingesetzt.

Die Ableitung der inversen Funktion ist der Kehrwert der Ableitung der ursprünglichen Funktion an der Stelle, an der die inverse Funktion ausgewertet wird. Diese Formel ist besonders nützlich, um die Ableitung von inversen Funktionen zu finden, ohne die Funktion explizit ausdrücken zu müssen.

Die lineare Approximation einer Funktion an einer bestimmten Stelle ist eine Tangente an den Graphen der Funktion an dieser Stelle. Sie stellt eine gute Näherung der Funktion in der Nähe des Approximationspunkts dar.

Die lineare Approximation einer Funktion f(x) an der Stelle x = a ist gegeben durch die Gleichung L(x) = f(a) + f'(a)(x-a). Sie gibt die bestmögliche lineare Approximation der Funktion in der Nähe von x = a an.

Das Differential einer Funktion stellt die infinitesimale Änderung der Funktion dar, wenn sich die unabhängige Variable um eine infinitesimale Größe ändert. Es wird oft verwendet, um die Änderung einer Funktion in der Nähe einer bestimmten Stelle zu approximieren.

Eine quadratische Approximation ist eine polynomiale Approximation zweiten Grades, die eine Funktion in der Nähe einer bestimmten Stelle genauer approximiert als eine lineare Approximation. Sie enthält sowohl die erste Ableitung als auch die zweite Ableitung der Funktion an dem Approximationspunkt.

Taylor-Polynome sind eine Verallgemeinerung der linearen und quadratischen Approximation. Sie stellen eine Approximation einer Funktion mit einem Polynom höheren Grades dar, wobei die ersten n Ableitungen der Funktion an dem Approximationspunkt berücksichtigt werden.

Die Taylor-Reihe einer Funktion ist eine unendliche Summe von Termen, die die Funktion in der Nähe einer bestimmten Stelle approximiert. Sie kann als Verallgemeinerung des Taylor-Polynoms auf unendlich viele Terme betrachtet werden.

Die Taylor-Formel liefert eine Näherung einer Funktion durch ein Polynom. Das Restglied gibt den Fehler dieser Approximation an.

Das Restglied in der Taylor-Formel kann in der Lagrange´schen Form dargestellt werden. Diese Form gibt den Fehler als den Wert der Ableitung der Funktion an einem unbekannten Punkt zwischen dem Entwicklungspunkt und dem Punkt, an dem die Funktion approximiert wird.

Das Restglied bei linearer Approximation ist der Unterschied zwischen dem tatsächlichen Funktionswert und dem Wert, der durch die Tangente an der Funktion am Entwicklungspunkt ermittelt wird.

Das Restglied kann verwendet werden, um die Genauigkeit der Taylor-Approximation zu beurteilen. Je kleiner das Restglied, desto genauer ist die Approximation.

Die Preiselastizität der Nachfrage misst die Empfindlichkeit der nachgefragten Menge auf Preisänderungen.

Die Elastizität einer Funktion gibt an, wie stark sich der Funktionswert ändert, wenn sich die unabhängige Variable um ein bestimmtes Prozent verändert.

Stetigkeit bedeutet, dass eine Funktion ohne Sprünge oder Lücken verläuft. An jedem Punkt der Funktion existiert ein Funktionswert, der dem Grenzwert der Funktion an diesem Punkt entspricht.

Eine Funktion ist unstetig, wenn an einem Punkt ein Sprung oder eine Lücke auftritt, d.h. der Grenzwert der Funktion an diesem Punkt existiert nicht oder ist nicht gleich dem Funktionswert an diesem Punkt.

Die Regeln für Grenzwerte aus Kapitel 6.5 können verwendet werden, um die Stetigkeit von Funktionen zu überprüfen.

Stetige Funktionen haben bestimmte Eigenschaften, z.B. können sie über einen bestimmten Intervall integriert werden, oder sie nehmen in diesem Intervall Maximum und Minimum an.

Eine Folge a_n konvergiert gegen einen Grenzwert L, wenn die Folgenglieder a_n sich für n gegen unendlich beliebig nahe an L annähern.

Die Regel von L´Hôspital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von zwei Funktionen, der in der Form 0/0 oder ∞/∞ ist, durch den Grenzwert des Quotienten der Ableitungen dieser Funktionen bestimmt werden kann, sofern die Voraussetzungen erfüllt sind.

Der Grenzwert von (1 + 1/n)ⁿ für n gegen unendlich ist gleich der Eulerschen Zahl e.

Die Regel von L´Hôspital kann verwendet werden, um den Grenzwert von Quotienten zu berechnen, die in der Form 0/0 oder ∞/∞ sind. Dazu werden Zähler und Nenner des Quotienten getrennt voneinander differenziert. Der Grenzwert des ursprünglichen Quotienten ist dann gleich dem Grenzwert des Quotienten der Ableitungen.

Die Regel von L´Hôspital kann nicht angewendet werden, wenn der Grenzwert des Quotienten der Ableitungen ebenfalls die Form 0/0 oder ∞/∞ hat. In diesem Fall muss eine andere Methode verwendet werden, um den Grenzwert zu bestimmen.

Eine Funktion ist an einer Stelle x = a stetig, wenn der Grenzwert der Funktion für x gegen a gleich dem Funktionswert an der Stelle a ist.

Der Grenzwert einer Funktion f(x) für x gegen a beschreibt das Verhalten der Funktion, wenn x sich dem Wert a nähert, ohne diesen Wert jedoch unbedingt anzunehmen.

Ein einseitiger Grenzwert beschreibt das Verhalten einer Funktion, wenn x sich von einer bestimmten Seite dem Grenzwert a nähert.

Wenn beide einseitigen Grenzwerte existieren und gleich sind, existiert der normale Grenzwert.

Der Grenzwert im Unendlichen beschreibt das Verhalten einer Funktion, wenn x beliebig groß oder klein wird.

Eine Funktion ist an einer Stelle x = a stetig, wenn sowohl der linksseitige als auch der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle a existieren und dem Funktionswert an der Stelle a entsprechen.

Eine Funktion ist stetig auf einem Intervall, wenn sie an jeder Stelle des Intervalls stetig ist.

Der Zwischenwertsatz besagt, dass eine stetige Funktion alle Werte zwischen den Werten an zwei beliebigen Stellen x1 und x2 annimmt.

Das Newton-Verfahren ist ein iterativer Algorithmus, um Nullstellen einer stetigen Funktion zu approximieren.