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Questions and Answers
Was beschreibt die Konvergenz einer Folge?
Was beschreibt die Konvergenz einer Folge?
- Alle Folgenglieder sind exakt gleich.
- Die Abweichung zwischen den Folgengliedern bleibt konstant.
- Die Folgenglieder nähern sich einem bestimmten Grenzwert. (correct)
- Die Summe aller Elemente einer Folge geht gegen unendlich.
Was ist notwendig, um die Regel von L'Hôpital anzuwenden?
Was ist notwendig, um die Regel von L'Hôpital anzuwenden?
- Der Zähler muss größer als der Nenner sein.
- Sowohl Zähler als auch Nenner müssen gegen unendlich gehen.
- Zähler und Nenner müssen gegen Null gehen. (correct)
- Der Grenzwert muss einen positiven Wert ergeben.
Welches der folgenden Beispiele könnte eine unbestimmte Form darstellen?
Welches der folgenden Beispiele könnte eine unbestimmte Form darstellen?
- $rac{1}{x}$ wenn $x$ gegen $0$ tendiert.
- $rac{0}{0}$ beim Einsetzen von $x=0$. (correct)
- $rac{x^2}{x}$ wenn $x$ gegen $1$ tendiert.
- $rac{e^x}{x^2}$ für große Werte von $x$.
Was ist die Hauptaussage aus Beispiel 3 zur Anwendung von L'Hôpital?
Was ist die Hauptaussage aus Beispiel 3 zur Anwendung von L'Hôpital?
Wie wird der Grenzwert eines Quotienten bestimmt, wenn Zähler und Nenner gegen Null laufen?
Wie wird der Grenzwert eines Quotienten bestimmt, wenn Zähler und Nenner gegen Null laufen?
Was beschreibt ein einseitiger Grenzwert?
Was beschreibt ein einseitiger Grenzwert?
Welche Aussage ist über uneigentliche Grenzwerte korrekt?
Welche Aussage ist über uneigentliche Grenzwerte korrekt?
Was ist eine wichtige Eigenschaft einer stetigen Funktion?
Was ist eine wichtige Eigenschaft einer stetigen Funktion?
Was bedeutet es, dass eine Funktion nicht differenzierbar ist an einer bestimmten Stelle?
Was bedeutet es, dass eine Funktion nicht differenzierbar ist an einer bestimmten Stelle?
Was ist der Zwischenwertsatz?
Was ist der Zwischenwertsatz?
Welches Verhalten zeigt die Betragsfunktion an der Stelle x = 0?
Welches Verhalten zeigt die Betragsfunktion an der Stelle x = 0?
Was passiert mit den Grenzwerten einer Funktion, wenn x gegen Unendlich geht?
Was passiert mit den Grenzwerten einer Funktion, wenn x gegen Unendlich geht?
Was beschreibt der Begriff 'vertikale Asymptote' für eine Funktion?
Was beschreibt der Begriff 'vertikale Asymptote' für eine Funktion?
Bei der Untersuchung der Grenzwerte für x gegen Unendlich, was bedeutet 'wachsen' oder 'fallen der Funktion'?
Bei der Untersuchung der Grenzwerte für x gegen Unendlich, was bedeutet 'wachsen' oder 'fallen der Funktion'?
Was ist das Ziel der Methode des impliziten Differenzierens?
Was ist das Ziel der Methode des impliziten Differenzierens?
Welche der folgenden Aussagen über die Ableitung der inversen Funktion ist korrekt?
Welche der folgenden Aussagen über die Ableitung der inversen Funktion ist korrekt?
Was beschreibt die geometrische Interpretation des Differentials?
Was beschreibt die geometrische Interpretation des Differentials?
Was ist die Hauptanwendung der linearen Approximation?
Was ist die Hauptanwendung der linearen Approximation?
Was ist eine quadratische Approximation?
Was ist eine quadratische Approximation?
Welche der folgenden Aussagen über die zweite Ableitung implizit definierter Funktionen ist korrekt?
Welche der folgenden Aussagen über die zweite Ableitung implizit definierter Funktionen ist korrekt?
Was beschreibt die Motivation für die Einführung der linearen Approximation?
Was beschreibt die Motivation für die Einführung der linearen Approximation?
Wie verhält sich die quadratische Approximation im Vergleich zur linearen Approximation?
Wie verhält sich die quadratische Approximation im Vergleich zur linearen Approximation?
Welche Methode wird verwendet, um die Ableitung einer Funktion an einem Punkt approximativ zu bestimmen?
Welche Methode wird verwendet, um die Ableitung einer Funktion an einem Punkt approximativ zu bestimmen?
Was beschreibt das Restglied in der Taylor-Formel?
Was beschreibt das Restglied in der Taylor-Formel?
Welches Konzept wird verwendet, um die Preisänderung im Kontext der Nachfrage zu analysieren?
Welches Konzept wird verwendet, um die Preisänderung im Kontext der Nachfrage zu analysieren?
Wie wird die elastische Nachfrage beschrieben?
Wie wird die elastische Nachfrage beschrieben?
Was ist eine der Eigenschaften stetiger Funktionen?
Was ist eine der Eigenschaften stetiger Funktionen?
Wie wird die logarithmische Ableitung in der Elastizität verwendet?
Wie wird die logarithmische Ableitung in der Elastizität verwendet?
Was beschreibt die Motivation hinter der Nutzung von Elastizitäten in der Ökonomie?
Was beschreibt die Motivation hinter der Nutzung von Elastizitäten in der Ökonomie?
Welche Art von Unstetigkeit beschreibt eine Funktion, die keine definierten Grenzwerte besitzt?
Welche Art von Unstetigkeit beschreibt eine Funktion, die keine definierten Grenzwerte besitzt?
Welche Formel beschreibt den Fehler bei der Approximation durch das Restglied?
Welche Formel beschreibt den Fehler bei der Approximation durch das Restglied?
Welche Bedingung ist erforderlich, damit eine Funktion an einem Punkt stetig ist?
Welche Bedingung ist erforderlich, damit eine Funktion an einem Punkt stetig ist?
Was ist der Hauptvorteil der Verwendung der Taylor-Approximation?
Was ist der Hauptvorteil der Verwendung der Taylor-Approximation?
Flashcards
Implizites Differenzieren
Implizites Differenzieren
Das implizite Differenzieren ist eine Methode, um die Ableitung einer implizit definierten Funktion zu bestimmen. Bei impliziten Funktionen ist die abhängige Variable nicht explizit als Funktion der unabhängigen Variable dargestellt, sondern durch eine Gleichung, die beide Variablen miteinander verbindet.
Steigung der Tangente implizit definierter Funktionen
Steigung der Tangente implizit definierter Funktionen
Um die Steigung der Tangente an den Graphen einer implizit definierten Funktion an einem bestimmten Punkt zu bestimmen, wird die Gleichung der Funktion implizit nach der abhängigen Variablen differenziert. Anschließend werden die Koordinaten des Punktes in die Ableitung eingesetzt, um die Steigung der Tangente zu erhalten.
Zweite Ableitung implizit definierter Funktionen
Zweite Ableitung implizit definierter Funktionen
Um die zweite Ableitung einer implizit definierten Funktion zu bestimmen, wird die Gleichung der Funktion zweimal implizit nach der abhängigen Variablen differenziert. Anschließend werden die Koordinaten des Punktes in die zweite Ableitung eingesetzt.
Ableitung der inversen Funktion
Ableitung der inversen Funktion
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Lineare Approximation
Lineare Approximation
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Formel der linearen Approximation
Formel der linearen Approximation
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Differential einer Funktion
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Quadratische Approximation
Quadratische Approximation
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Taylor-Polynom
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Taylor-Reihe
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Taylor-Formel
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Lagrange´sche Form des Restgliedes
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Restglied bei linearer Approximation
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Anwendung des Restgliedes
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Preiselastizität der Nachfrage
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Allgemeine Definition der Elastizität
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Stetigkeit
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Möglichkeiten der Unstetigkeit
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Rechenregeln für Grenzwerte aus Kap. 6.5
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Eigenschaften von stetigen Funktionen
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Konvergenz einer Folge
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Regel von L´Hôspital
Regel von L´Hôspital
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Ein wichtiger Grenzwert
Ein wichtiger Grenzwert
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Regel von L´Hôspital - Anwendung
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Einschränkung der Regel von L´Hôspital
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Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle
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Grenzwert einer Funktion
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Einseitiger Grenzwert
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Zusammenhang zwischen einseitigen und normalen Grenzwerten
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Grenzwert im Unendlichen
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Einseitige Stetigkeit
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Stetigkeit auf einem Intervall
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Zwischenwertsatz
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Newton-Verfahren
Newton-Verfahren
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Study Notes
Überblick über das Kapitel
- Das Kapitel behandelt verschiedene Anwendungen der Differentialrechnung in der Ökonomie.
- Es werden verschiedene Techniken wie implizites Differenzieren, Ableitung der Inversen, Lineare Approximation, Polynomiale Approximationen und die Taylor-Formel vorgestellt.
- Des Weiteren werden ökonomische Konzepte wie Elastizitäten und Grenzwerte eingehender betrachtet.
- Themen wie unendliche Folgen, unbestimmte Formen und die Regel von L'Hospital werden ebenfalls behandelt.
Implizites Differenzieren
- Implizites Differenzieren ist eine Methode, um die Ableitung einer implizit definierten Funktion zu bestimmen.
- Bei impliziten Funktionen ist y nicht explizit als Funktion von x gegeben.
- Die Methode beruht darauf, beide Seiten der Gleichung nach x abzuleiten, wobei y als Funktion von x betrachtet wird.
Ökonomische Beispiele
- Ökonomische Beispiele illustrieren die Anwendung von Ableitungen in der Wirtschaft.
- Die Beispiele helfen, das Verständnis der Konzepte zu vertiefen.
Ableitung der Inversen Funktion
- Wenn f eine umkehrbar eindeutige Funktion ist, dann hat f eine inverse Funktion g.
- Die Ableitung der inversen Funktion g lässt sich mit der Formel g'(f(x)) = 1/f'(x) berechnen.
Lineare Approximation
- Die lineare Approximation verwendet die Tangente an einen Graphen, um die Funktion in der Nähe eines bestimmten Punktes zu approximieren.
- Die Formel für die lineare Approximation ist f(x) ≈ f(xo) + f'(xo)(x - xo).
Polynomiale Approximationen
- Polynomiale Approximationen verwenden Polynome höherer Ordnung, um Funktionen zu approximieren, wenn die lineare Approximation ungenau ist.
- Quadratische Approximationen sind Beispiele für polynomiale Approximationen.
- Die quadratische Approximation hat die Form p(x) = A + B(x-xo) + C(x-xo)²
Taylor-Formel
- Die Taylor-Formel liefert eine Approximation einer differenzierbaren Funktion durch eine Potenzreihe um einen bestimmten Punkt.
- Das Taylor-Polynom n-ten Grades basiert auf den Ableitungen der Funktion an dem Punkt.
Unendliche Folgen
- Eine unendliche Folge ist eine Sequenz von Zahlen, die durch eine Funktion definiert wird.
- Beispiele für unendliche Folgen sind Folgen mit 1/n , und rekursive Folgen.
- Die Konvergenz von Folgen wird erläutert.
Unbestimmte Formen und Regeln von L'Hospital
- Die Regel von L'Hospital dient zur Berechnung von Grenzwerten, wenn sowohl Zähler als auch Nenner gegen Null oder Unendlich gehen.
- Die Methode beinhaltet das Differenzieren von Zähler und Nenner, um einen neuen Grenzwert zu finden.
Elastizitäten
- Elastizitäten quantifizieren die relative Änderung einer Variablen als Antwort auf eine relative Änderung einer anderen Variablen.
- Die Preiselastizität der Nachfrage misst die prozentuale Änderung der nachgefragten Menge aufgrund einer prozentualen Änderung des Preises.
Stetigkeit
- Eine Funktion ist stetig, wenn man ihren Graphen ohne abzusetzen zeichnen kann.
- Es existiert ein Grenzwert der Funktion an der Stelle.
- Es werden verschiedene Arten von Unstetigkeiten aufgezeigt.
Grenzwerte
- Grenzwerte beschreiben das Verhalten einer Funktion, wenn die unabhängige Variable einem bestimmten Wert zustrebt.
- Die exakte Definition von Grenzwerten (auch einseitige Grenzwerte) wird erläutert.
- Auch uneigentliche Grenzwerte und horizontale Asymptoten werden behandelt.
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