Differentialrechnung in der Ökonomie

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Questions and Answers

Was beschreibt die Konvergenz einer Folge?

  • Alle Folgenglieder sind exakt gleich.
  • Die Abweichung zwischen den Folgengliedern bleibt konstant.
  • Die Folgenglieder nähern sich einem bestimmten Grenzwert. (correct)
  • Die Summe aller Elemente einer Folge geht gegen unendlich.

Was ist notwendig, um die Regel von L'Hôpital anzuwenden?

  • Der Zähler muss größer als der Nenner sein.
  • Sowohl Zähler als auch Nenner müssen gegen unendlich gehen.
  • Zähler und Nenner müssen gegen Null gehen. (correct)
  • Der Grenzwert muss einen positiven Wert ergeben.

Welches der folgenden Beispiele könnte eine unbestimmte Form darstellen?

  • $ rac{1}{x}$ wenn $x$ gegen $0$ tendiert.
  • $ rac{0}{0}$ beim Einsetzen von $x=0$. (correct)
  • $ rac{x^2}{x}$ wenn $x$ gegen $1$ tendiert.
  • $ rac{e^x}{x^2}$ für große Werte von $x$.

Was ist die Hauptaussage aus Beispiel 3 zur Anwendung von L'Hôpital?

<p>Die Regel kann unbegrenzt oft angewendet werden. (B)</p> Signup and view all the answers

Wie wird der Grenzwert eines Quotienten bestimmt, wenn Zähler und Nenner gegen Null laufen?

<p>Indem man die Ableitungen des Zählers und des Nenners bildet. (A)</p> Signup and view all the answers

Was beschreibt ein einseitiger Grenzwert?

<p>Die Annäherung einer Funktion von einer Seite an einen bestimmten Wert. (A)</p> Signup and view all the answers

Welche Aussage ist über uneigentliche Grenzwerte korrekt?

<p>Sie können im Unendlichen liegen oder sich unendlich nähern. (C)</p> Signup and view all the answers

Was ist eine wichtige Eigenschaft einer stetigen Funktion?

<p>Sie hat an keiner Stelle Sprünge. (D)</p> Signup and view all the answers

Was bedeutet es, dass eine Funktion nicht differenzierbar ist an einer bestimmten Stelle?

<p>Der Grenzwert der Ableitung existiert nicht oder ist unendlich. (A)</p> Signup and view all the answers

Was ist der Zwischenwertsatz?

<p>Er sagt, dass eine stetige Funktion zwischen zwei Werten mindestens einen Punkt annimmt. (B)</p> Signup and view all the answers

Welches Verhalten zeigt die Betragsfunktion an der Stelle x = 0?

<p>Die Funktion hat einen Knick und ist daher nicht differenzierbar. (D)</p> Signup and view all the answers

Was passiert mit den Grenzwerten einer Funktion, wenn x gegen Unendlich geht?

<p>Die Funktionswerte gehen gegen einen festen Wert. (C)</p> Signup and view all the answers

Was beschreibt der Begriff 'vertikale Asymptote' für eine Funktion?

<p>Die Funktion divergiere, wenn x sich einem bestimmten Wert nähert. (C)</p> Signup and view all the answers

Bei der Untersuchung der Grenzwerte für x gegen Unendlich, was bedeutet 'wachsen' oder 'fallen der Funktion'?

<p>Die Funktionswerte bewegen sich in eine positive oder negative Richtung. (D)</p> Signup and view all the answers

Was ist das Ziel der Methode des impliziten Differenzierens?

<p>Die Bestimmung der Tangentensteigung an bestimmten Punkten (A)</p> Signup and view all the answers

Welche der folgenden Aussagen über die Ableitung der inversen Funktion ist korrekt?

<p>Die Ableitung der inversen Funktion ist der Kehrwert der Ableitung der Funktion. (B)</p> Signup and view all the answers

Was beschreibt die geometrische Interpretation des Differentials?

<p>Die Änderung des Funktionswerts bei infinitesimal kleinen Veränderungen (C)</p> Signup and view all the answers

Was ist die Hauptanwendung der linearen Approximation?

<p>Die Schätzung von Funktionswerten in der Nähe eines bestimmten Punktes (A)</p> Signup and view all the answers

Was ist eine quadratische Approximation?

<p>Die Näherung einer Funktion durch ein Polynom zweiten Grades (D)</p> Signup and view all the answers

Welche der folgenden Aussagen über die zweite Ableitung implizit definierter Funktionen ist korrekt?

<p>Sie beschreibt die Krümmung der Funktion. (A)</p> Signup and view all the answers

Was beschreibt die Motivation für die Einführung der linearen Approximation?

<p>Die Schwierigkeit, exakte Werte zu berechnen (C)</p> Signup and view all the answers

Wie verhält sich die quadratische Approximation im Vergleich zur linearen Approximation?

<p>Sie berücksichtigt die Krümmung der Funktion zusätzlich zur Steigung. (D)</p> Signup and view all the answers

Welche Methode wird verwendet, um die Ableitung einer Funktion an einem Punkt approximativ zu bestimmen?

<p>Lineare Approximation (A)</p> Signup and view all the answers

Was beschreibt das Restglied in der Taylor-Formel?

<p>Den Fehler der Approximation (D)</p> Signup and view all the answers

Welches Konzept wird verwendet, um die Preisänderung im Kontext der Nachfrage zu analysieren?

<p>Preiselastizität (C)</p> Signup and view all the answers

Wie wird die elastische Nachfrage beschrieben?

<p>Nachfrage reagiert stark auf Preisänderungen (A)</p> Signup and view all the answers

Was ist eine der Eigenschaften stetiger Funktionen?

<p>Der Grenzwert an einem Punkt entspricht dem Funktionswert (A)</p> Signup and view all the answers

Wie wird die logarithmische Ableitung in der Elastizität verwendet?

<p>Um die Stärke der Elasticität zu veranschaulichen (D)</p> Signup and view all the answers

Was beschreibt die Motivation hinter der Nutzung von Elastizitäten in der Ökonomie?

<p>Marktverhalten in Reaktion auf Preisänderungen zu verstehen (D)</p> Signup and view all the answers

Welche Art von Unstetigkeit beschreibt eine Funktion, die keine definierten Grenzwerte besitzt?

<p>Entsprungene Unstetigkeit (B)</p> Signup and view all the answers

Welche Formel beschreibt den Fehler bei der Approximation durch das Restglied?

<p>Restglied = Funktion - Taylor-Approximation (C)</p> Signup and view all the answers

Welche Bedingung ist erforderlich, damit eine Funktion an einem Punkt stetig ist?

<p>Der Grenzwert muss gleich dem Funktionswert sein (D)</p> Signup and view all the answers

Was ist der Hauptvorteil der Verwendung der Taylor-Approximation?

<p>Sie ermöglicht die Approximation komplexer Funktionen durch Polynome (B)</p> Signup and view all the answers

Flashcards

Implizites Differenzieren

Das implizite Differenzieren ist eine Methode, um die Ableitung einer implizit definierten Funktion zu bestimmen. Bei impliziten Funktionen ist die abhängige Variable nicht explizit als Funktion der unabhängigen Variable dargestellt, sondern durch eine Gleichung, die beide Variablen miteinander verbindet.

Steigung der Tangente implizit definierter Funktionen

Um die Steigung der Tangente an den Graphen einer implizit definierten Funktion an einem bestimmten Punkt zu bestimmen, wird die Gleichung der Funktion implizit nach der abhängigen Variablen differenziert. Anschließend werden die Koordinaten des Punktes in die Ableitung eingesetzt, um die Steigung der Tangente zu erhalten.

Zweite Ableitung implizit definierter Funktionen

Um die zweite Ableitung einer implizit definierten Funktion zu bestimmen, wird die Gleichung der Funktion zweimal implizit nach der abhängigen Variablen differenziert. Anschließend werden die Koordinaten des Punktes in die zweite Ableitung eingesetzt.

Ableitung der inversen Funktion

Die Ableitung der inversen Funktion ist der Kehrwert der Ableitung der ursprünglichen Funktion an der Stelle, an der die inverse Funktion ausgewertet wird. Diese Formel ist besonders nützlich, um die Ableitung von inversen Funktionen zu finden, ohne die Funktion explizit ausdrücken zu müssen.

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Lineare Approximation

Die lineare Approximation einer Funktion an einer bestimmten Stelle ist eine Tangente an den Graphen der Funktion an dieser Stelle. Sie stellt eine gute Näherung der Funktion in der Nähe des Approximationspunkts dar.

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Formel der linearen Approximation

Die lineare Approximation einer Funktion f(x) an der Stelle x = a ist gegeben durch die Gleichung L(x) = f(a) + f'(a)(x-a). Sie gibt die bestmögliche lineare Approximation der Funktion in der Nähe von x = a an.

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Differential einer Funktion

Das Differential einer Funktion stellt die infinitesimale Änderung der Funktion dar, wenn sich die unabhängige Variable um eine infinitesimale Größe ändert. Es wird oft verwendet, um die Änderung einer Funktion in der Nähe einer bestimmten Stelle zu approximieren.

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Quadratische Approximation

Eine quadratische Approximation ist eine polynomiale Approximation zweiten Grades, die eine Funktion in der Nähe einer bestimmten Stelle genauer approximiert als eine lineare Approximation. Sie enthält sowohl die erste Ableitung als auch die zweite Ableitung der Funktion an dem Approximationspunkt.

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Taylor-Polynom

Taylor-Polynome sind eine Verallgemeinerung der linearen und quadratischen Approximation. Sie stellen eine Approximation einer Funktion mit einem Polynom höheren Grades dar, wobei die ersten n Ableitungen der Funktion an dem Approximationspunkt berücksichtigt werden.

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Taylor-Reihe

Die Taylor-Reihe einer Funktion ist eine unendliche Summe von Termen, die die Funktion in der Nähe einer bestimmten Stelle approximiert. Sie kann als Verallgemeinerung des Taylor-Polynoms auf unendlich viele Terme betrachtet werden.

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Taylor-Formel

Die Taylor-Formel liefert eine Näherung einer Funktion durch ein Polynom. Das Restglied gibt den Fehler dieser Approximation an.

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Lagrange´sche Form des Restgliedes

Das Restglied in der Taylor-Formel kann in der Lagrange´schen Form dargestellt werden. Diese Form gibt den Fehler als den Wert der Ableitung der Funktion an einem unbekannten Punkt zwischen dem Entwicklungspunkt und dem Punkt, an dem die Funktion approximiert wird.

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Restglied bei linearer Approximation

Das Restglied bei linearer Approximation ist der Unterschied zwischen dem tatsächlichen Funktionswert und dem Wert, der durch die Tangente an der Funktion am Entwicklungspunkt ermittelt wird.

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Anwendung des Restgliedes

Das Restglied kann verwendet werden, um die Genauigkeit der Taylor-Approximation zu beurteilen. Je kleiner das Restglied, desto genauer ist die Approximation.

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Preiselastizität der Nachfrage

Die Preiselastizität der Nachfrage misst die Empfindlichkeit der nachgefragten Menge auf Preisänderungen.

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Allgemeine Definition der Elastizität

Die Elastizität einer Funktion gibt an, wie stark sich der Funktionswert ändert, wenn sich die unabhängige Variable um ein bestimmtes Prozent verändert.

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Stetigkeit

Stetigkeit bedeutet, dass eine Funktion ohne Sprünge oder Lücken verläuft. An jedem Punkt der Funktion existiert ein Funktionswert, der dem Grenzwert der Funktion an diesem Punkt entspricht.

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Möglichkeiten der Unstetigkeit

Eine Funktion ist unstetig, wenn an einem Punkt ein Sprung oder eine Lücke auftritt, d.h. der Grenzwert der Funktion an diesem Punkt existiert nicht oder ist nicht gleich dem Funktionswert an diesem Punkt.

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Rechenregeln für Grenzwerte aus Kap. 6.5

Die Regeln für Grenzwerte aus Kapitel 6.5 können verwendet werden, um die Stetigkeit von Funktionen zu überprüfen.

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Eigenschaften von stetigen Funktionen

Stetige Funktionen haben bestimmte Eigenschaften, z.B. können sie über einen bestimmten Intervall integriert werden, oder sie nehmen in diesem Intervall Maximum und Minimum an.

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Konvergenz einer Folge

Eine Folge an konvergiert gegen einen Grenzwert L, wenn die Folgenglieder an sich für n gegen unendlich beliebig nahe an L annähern.

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Regel von L´Hôspital

Die Regel von L´Hôspital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von zwei Funktionen, der in der Form 0/0 oder ∞/∞ ist, durch den Grenzwert des Quotienten der Ableitungen dieser Funktionen bestimmt werden kann, sofern die Voraussetzungen erfüllt sind.

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Ein wichtiger Grenzwert

Der Grenzwert von (1 + 1/n)n für n gegen unendlich ist gleich der Eulerschen Zahl e.

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Regel von L´Hôspital - Anwendung

Die Regel von L´Hôspital kann verwendet werden, um den Grenzwert von Quotienten zu berechnen, die in der Form 0/0 oder ∞/∞ sind. Dazu werden Zähler und Nenner des Quotienten getrennt voneinander differenziert. Der Grenzwert des ursprünglichen Quotienten ist dann gleich dem Grenzwert des Quotienten der Ableitungen.

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Einschränkung der Regel von L´Hôspital

Die Regel von L´Hôspital kann nicht angewendet werden, wenn der Grenzwert des Quotienten der Ableitungen ebenfalls die Form 0/0 oder ∞/∞ hat. In diesem Fall muss eine andere Methode verwendet werden, um den Grenzwert zu bestimmen.

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Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle

Eine Funktion ist an einer Stelle x = a stetig, wenn der Grenzwert der Funktion für x gegen a gleich dem Funktionswert an der Stelle a ist.

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Grenzwert einer Funktion

Der Grenzwert einer Funktion f(x) für x gegen a beschreibt das Verhalten der Funktion, wenn x sich dem Wert a nähert, ohne diesen Wert jedoch unbedingt anzunehmen.

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Einseitiger Grenzwert

Ein einseitiger Grenzwert beschreibt das Verhalten einer Funktion, wenn x sich von einer bestimmten Seite dem Grenzwert a nähert.

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Zusammenhang zwischen einseitigen und normalen Grenzwerten

Wenn beide einseitigen Grenzwerte existieren und gleich sind, existiert der normale Grenzwert.

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Grenzwert im Unendlichen

Der Grenzwert im Unendlichen beschreibt das Verhalten einer Funktion, wenn x beliebig groß oder klein wird.

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Einseitige Stetigkeit

Eine Funktion ist an einer Stelle x = a stetig, wenn sowohl der linksseitige als auch der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle a existieren und dem Funktionswert an der Stelle a entsprechen.

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Stetigkeit auf einem Intervall

Eine Funktion ist stetig auf einem Intervall, wenn sie an jeder Stelle des Intervalls stetig ist.

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Zwischenwertsatz

Der Zwischenwertsatz besagt, dass eine stetige Funktion alle Werte zwischen den Werten an zwei beliebigen Stellen x1 und x2 annimmt.

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Newton-Verfahren

Das Newton-Verfahren ist ein iterativer Algorithmus, um Nullstellen einer stetigen Funktion zu approximieren.

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Study Notes

Überblick über das Kapitel

  • Das Kapitel behandelt verschiedene Anwendungen der Differentialrechnung in der Ökonomie.
  • Es werden verschiedene Techniken wie implizites Differenzieren, Ableitung der Inversen, Lineare Approximation, Polynomiale Approximationen und die Taylor-Formel vorgestellt.
  • Des Weiteren werden ökonomische Konzepte wie Elastizitäten und Grenzwerte eingehender betrachtet.
  • Themen wie unendliche Folgen, unbestimmte Formen und die Regel von L'Hospital werden ebenfalls behandelt.

Implizites Differenzieren

  • Implizites Differenzieren ist eine Methode, um die Ableitung einer implizit definierten Funktion zu bestimmen.
  • Bei impliziten Funktionen ist y nicht explizit als Funktion von x gegeben.
  • Die Methode beruht darauf, beide Seiten der Gleichung nach x abzuleiten, wobei y als Funktion von x betrachtet wird.

Ökonomische Beispiele

  • Ökonomische Beispiele illustrieren die Anwendung von Ableitungen in der Wirtschaft.
  • Die Beispiele helfen, das Verständnis der Konzepte zu vertiefen.

Ableitung der Inversen Funktion

  • Wenn f eine umkehrbar eindeutige Funktion ist, dann hat f eine inverse Funktion g.
  • Die Ableitung der inversen Funktion g lässt sich mit der Formel g'(f(x)) = 1/f'(x) berechnen.

Lineare Approximation

  • Die lineare Approximation verwendet die Tangente an einen Graphen, um die Funktion in der Nähe eines bestimmten Punktes zu approximieren.
  • Die Formel für die lineare Approximation ist f(x) ≈ f(xo) + f'(xo)(x - xo).

Polynomiale Approximationen

  • Polynomiale Approximationen verwenden Polynome höherer Ordnung, um Funktionen zu approximieren, wenn die lineare Approximation ungenau ist.
  • Quadratische Approximationen sind Beispiele für polynomiale Approximationen.
  • Die quadratische Approximation hat die Form p(x) = A + B(x-xo) + C(x-xo)²

Taylor-Formel

  • Die Taylor-Formel liefert eine Approximation einer differenzierbaren Funktion durch eine Potenzreihe um einen bestimmten Punkt.
  • Das Taylor-Polynom n-ten Grades basiert auf den Ableitungen der Funktion an dem Punkt.

Unendliche Folgen

  • Eine unendliche Folge ist eine Sequenz von Zahlen, die durch eine Funktion definiert wird.
  • Beispiele für unendliche Folgen sind Folgen mit 1/n , und rekursive Folgen.
  • Die Konvergenz von Folgen wird erläutert.

Unbestimmte Formen und Regeln von L'Hospital

  • Die Regel von L'Hospital dient zur Berechnung von Grenzwerten, wenn sowohl Zähler als auch Nenner gegen Null oder Unendlich gehen.
  • Die Methode beinhaltet das Differenzieren von Zähler und Nenner, um einen neuen Grenzwert zu finden.

Elastizitäten

  • Elastizitäten quantifizieren die relative Änderung einer Variablen als Antwort auf eine relative Änderung einer anderen Variablen.
  • Die Preiselastizität der Nachfrage misst die prozentuale Änderung der nachgefragten Menge aufgrund einer prozentualen Änderung des Preises.

Stetigkeit

  • Eine Funktion ist stetig, wenn man ihren Graphen ohne abzusetzen zeichnen kann.
  • Es existiert ein Grenzwert der Funktion an der Stelle.
  • Es werden verschiedene Arten von Unstetigkeiten aufgezeigt.

Grenzwerte

  • Grenzwerte beschreiben das Verhalten einer Funktion, wenn die unabhängige Variable einem bestimmten Wert zustrebt.
  • Die exakte Definition von Grenzwerten (auch einseitige Grenzwerte) wird erläutert.
  • Auch uneigentliche Grenzwerte und horizontale Asymptoten werden behandelt.

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