Diferenciación: Derivadas de Funciones Elementales

Claro, aquí están las notas de estudio en español sobre la diferenciación:

Derivadas de Funciones Elementales

• La diferenciación es un proceso fundamental en cálculo que calcula la tasa de cambio instantánea de una función.

Derivada de una Función Constante

• La derivada de una función constante siempre es cero.
• Si f(x) = c , entonces f'(x) = 0.

Derivada de una Función Potencial

• Para una función potencial, la derivada se encuentra multiplicando por el exponente y restando 1 al exponente original.
• Si f(x) = x^n , entonces f'(x) = nx^(n-1) .

Derivada de una Función Exponencial

• La derivada de una función exponencial implica la función original multiplicada por el logaritmo natural de la base.
• Si f(x) = a^x , entonces f'(x) = a^x ln a .
• Caso particular: Si f(x) = e^x , entonces f'(x) = e^x .

Derivada de una Función Logarítmica

• La derivada de una función logarítmica implica el recíproco del valor de entrada multiplicado por el logaritmo de la base.
• Si f(x) = logₐx , entonces f'(x) = (1/x)logₐe .
• Caso particular: Si f(x) = ln x , entonces f'(x) = 1/x .

Derivadas de Funciones Trigonométricas

• f(x) = sen x , entonces f'(x) = cos x
• f(x) = cos x , entonces f'(x) = -sen x
• f(x) = tan x , entonces f'(x) = 1/cos² x = 1 + tan² x
• f(x) = cot x , entonces f'(x) = -1/sen² x = -(1 + cot² x)

Derivadas de Funciones Trigonométricas Inversas

• Derivada de arcoseno: f(x) = arcsen x , entonces f'(x) = 1/√(1-x²)
• Derivada de arcocoseno: f(x) = arccos x , entonces f'(x) = -1/√(1-x²)
• Derivada de arcotangente: f(x) = arctag x , entonces f'(x) = 1/(1+x²)
• Derivada de arcocotangente: f(x) = arccot x , entonces f'(x) = -1/(1+x²)

Reglas de Diferenciación

• Estas son un conjunto de reglas que te permiten tomar la derivada de una función que es una combinación de otras funciones que ya conoces sus derivadas.

Derivada de la Función por una Constante

• La derivada de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada por la derivada de la función.
• (cf(x))' = cf'(x)

Derivada de la Suma

• La derivada de una suma de funciones es la suma de sus derivadas.
• (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)

Derivada del Producto

• La derivada del producto de dos funciones se halla sumando el producto de la derivada de la primera función por la segunda función sin derivar y el producto de la primera función sin derivar por la derivada de la segunda función.
• (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Derivada del Cociente

• La derivada del cociente de dos funciones se calcula restando el producto de la derivada del numerador por el denominador sin derivar y el producto del numerador sin derivar por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador.
• (f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/(g(x))²

Regla de la Cadena

• La regla de la cadena se utiliza para hallar la derivada de una función compuesta.
• (f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)

Derivación Implícita

• Cuando una función no está dada explícitamente como y = f(x), sino implícitamente como F(x, y) = 0, la derivación implícita se utiliza para encontrar y'.
• Esto implica derivar cada término de la ecuación con respecto a x, considerando y como una función de x, y luego despejar y'.
• Ejemplo: Encontrar y' si x² + y² = 1:
  • Se deriva cada término con respecto a x: 2x + 2yy' = 0
  • Se despeja y':
    • 2yy' = -2x
    • y' = -x/y
• Ejemplo: Encontrar y' si y + x cos y = cos x:
  • Se deriva cada término con respecto a x: y' + cos y - x sen y y' = -sen x
  • Se despeja y':
    • y' - x sen y y' = -sen x - cos y
    • y'(1 - x sen y) = -sen x - cos y
  • Por lo tanto: y' = (-sen x - cos y) / (1 - x sen y)