Calculus Chapter 3: Derivatives

Definition and Notation

• A derivative is a measure of how a function changes as its input changes.
• It is denoted as f'(x) or (d/dx)f(x) and read as "f prime of x" or "d by d x of f of x".
• The derivative of a function f at a point x is geometrically interpreted as the slope of the tangent line to the graph of f at x.

Rules of Differentiation

• Power Rule: If f(x) = x^n, then f'(x) = nx^(n-1)
• Product Rule: If f(x) = u(x)v(x), then f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
• Quotient Rule: If f(x) = u(x)/v(x), then f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / v(x)^2
• Chain Rule: If f(x) = g(h(x)), then f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)

Derivative of Common Functions

• Constant Multiple: If f(x) = k, where k is a constant, then f'(x) = 0
• Exponential Function: If f(x) = a^x, then f'(x) = a^x * ln(a)
• Trigonometric Functions:
  • If f(x) = sin(x), then f'(x) = cos(x)
  • If f(x) = cos(x), then f'(x) = -sin(x)

Geometric Interpretation

• Tangent Line: The derivative of a function at a point represents the slope of the tangent line to the graph of the function at that point.
• Rate of Change: The derivative of a function represents the rate of change of the function with respect to its input.

Applications of Derivatives

• Optimization: Derivatives are used to find the maximum or minimum values of a function.
• Motion Along a Line: Derivatives are used to model the motion of an object moving along a line.
• Related Rates: Derivatives are used to find the rate at which one quantity changes with respect to another quantity.

Türev Tanımı ve Notasyonu

• Türev, bir fonksiyonun girdisinin değişmesi sonucunda nasıl değiştiğini ölçer.
• f'(x) veya (d/dx)f(x) olarak gösterilir ve "f çarpı x" veya "x'e göre f'nın türevi" olarak okunur.
• Bir fonksiyonun x noktasındaki türevi, o noktadaki grafikteki teğet çizgisinin eğimi olarak yorumlanabilir.

Türev Kuralları

• Üs Kuralı: Eğer f(x) = x^n ise, o zaman f'(x) = nx^(n-1)
• Çarpım Kuralı: Eğer f(x) = u(x)v(x) ise, o zaman f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
• Oran Kuralı: Eğer f(x) = u(x)/v(x) ise, o zaman f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / v(x)^2
• Zincir Kuralı: Eğer f(x) = g(h(x)) ise, o zaman f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)

Sık Kullanılan Fonksiyonların Türevleri

• Sabit Çoklu: Eğer f(x) = k, burada k bir sabit ise, o zaman f'(x) = 0
• Üslü Fonksiyon: Eğer f(x) = a^x ise, o zaman f'(x) = a^x * ln(a)
• Trigonometrik Fonksiyonlar:
  • Eğer f(x) = sin(x) ise, o zaman f'(x) = cos(x)
  • Eğer f(x) = cos(x) ise, o zaman f'(x) = -sin(x)

Geometrik Yorum

• Teğet Çizgi: Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, o noktadaki grafikteki teğet çizgisinin eğimini temsil eder.
• Değişim Hızı: Bir fonksiyonun türevi, girdisinin değişim hızını temsil eder.

Türevlerin Uygulamaları

• Optimizasyon: Türevler, bir fonksiyonun maksimum veya minimum değerlerini bulmak için kullanılır.
• Çizgi Üzerindeki Hareket: Türevler, bir çizgi üzerinde hareket eden bir nesnenin hareketini modellemek için kullanılır.
• İlgili Hızlar: Türevler, bir miktarın başka bir miktarına göre değişim hızını bulmak için kullanılır.