Descompunerea L-U în Matematică Avansată

Podcast

Play an AI-generated podcast conversation about this lesson

Questions and Answers

Cum se calculează determinantul unei matrice A folosind descompunerea L-U prin triangularizare directă, unde A = L * U?

det(A) = det(L) * det(U) și, deoarece det(L) = 1, det(A) = produsul elementelor de pe diagonala principală a lui U (correct)

det(A) = suma elementelor de pe diagonala principală a lui U

det(A) = det(L) / det(U)

det(A) = det(L) + det(U)

În descompunerea L-U cu pivotare parțială, dacă P * A = L' * U, cum se calculează det(A)?

det(A) = (-1)^np * det(L') * det(U), unde np este numărul de permutări și det(L') este 1 (correct)

det(A) = det(P) * det(L') * det(U), unde det(P) este întotdeauna 1

det(A) = det(L') * det(U)

det(A) = det(L') * det(U) nu ține de matricea de permutare

Ce caracteristică are matricea L în descompunerea L-U prin triangularizare directă?

Este o matrice inferior triunghiulară unitate (correct)

Elementele de pe diagonala ei principală sunt 0

Este o matrice diagonală

Este o matrice superior triunghiulară

Cum este matricea U în descompunerea L-U?

Este o matrice superior triunghiulară Signup and view all the answers

Care este scopul descompunerii L-U a unei matrice A?

Să calculeze determinantul matricei A, dar și inversa acesteia. Signup and view all the answers

Care este relația fundamentală utilizată în metodele iterative pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare $A \cdot x = b$?

$N \cdot x^{[k+1]} = P \cdot x^{[k]} + b$, unde $N$ este o matrice nesingulară. Signup and view all the answers

Care este scopul factorizării L-U a unei matrice $A$ în contextul rezolvării ecuațiilor matriciale?

Descompunerea matricei $A$ în produsul dintre o matrice triunghiulară inferioară ($L$) și una superioră ($U$). Signup and view all the answers

Ce reprezintă vectorul $e_k$ în contextul rezolvării sistemelor $A \cdot x_k = e_k$, unde $k=1,n$?

Un vector coloană cu toate elementele egale cu 0, cu excepția celei de-a k-a poziție, care este 1. Signup and view all the answers

În cadrul factorizării cu pivotare parțială $P \cdot A = L' \cdot U$, ce rol are matricea $P$?

Matricea $P$ efectuează permutări de linii în matricea $A$ pentru a selecta pivotul corespunzător. Signup and view all the answers

De ce nu se recomandă, în practică, să se rezolve sistemele de ecuații liniare prin calculul explicit al inversei matricei sistemului?

Calculul inversei necesită un număr mare de operații în virgulă mobilă, făcând metoda ineficientă și susceptibilă la erori de rotunjire. Signup and view all the answers

Ce reprezintă șirul de vectori $x^{[k]}$ în metodele iterative de rezolvare a sistemelor liniare?

Un șir de aproximări succesive care converg către soluția sistemului $A \cdot x = b$. Signup and view all the answers

Care etapă urmează imediat după factorizarea $A = L \cdot U$ în metoda de rezolvare a sistemelor liniare prin triangularizare directă?

Rezolvarea sistemelor $A \cdot x_k = e_k$. Signup and view all the answers

Ce rol are substituția înainte în algoritmul de factorizare L-U aplicat sistemului $A \cdot x_k = e_k$?

Rezolvarea sistemului $L \cdot y_k=e_k$ pentru a obține $y_k$. Signup and view all the answers

Care dintre următoarele afirmații descrie corect raza spectrală a matricei G?

Este maximul modulelor valorilor proprii ale matricei G. Signup and view all the answers

Ce condiție este necesară și suficientă pentru ca șirul de vectori obținut printr-o metodă iterativă să fie convergent către soluția sistemului de ecuații?

Matricea G să aibă toate valorile proprii subunitare, în modul. Signup and view all the answers

Ce reprezintă matricea 'D' în descompunerea matricei 'A'?

O matrice diagonală având elementele de pe diagonala principală egale cu elementele de pe diagonala principală a matricei A. Signup and view all the answers

Cum este definită matricea 'P' în metoda Jacobi, în termeni de matricele 'L' și 'U'?

P = - (L + U) Signup and view all the answers

Ce condiție suficientă, care înlocuiește condiția necesară și suficientă, poate fi folosită pentru a asigura convergența metodei iterative?

Norma infinit a matricei G să fie mai mică decât 1. Signup and view all the answers

În metoda Jacobi, cum se calculează vectorul $x^{[k+1]}$ folosind matricea D, L, U, vectorul $x^{[k]}$, și vectorul b?

$D x^{[k+1]} = -(L+U)x^{[k]} +b$ Signup and view all the answers

Ce se întâmplă cu viteza de convergență a șirului de vectori într-o metodă iterativă, dacă raza spectrală a matricei G devine mai mică?

Viteza de convergență crește. Signup and view all the answers

Ce reprezintă criteriul de oprire implementat în practică pentru calculele iterative?

Când norma diferenței dintre vectorul $x^{[s]}$ și vectorul $x^{[s-1]}$ este mai mică decât o toleranță impusă $ε$ Signup and view all the answers

Ce condiție asigură stabilitatea numerică a procedurii în contextul metodei iterative?

Matricea coeficienților să fie diagonal dominantă pe linii. Signup and view all the answers

În metoda Gauss-Seidel, cum este actualizată componenta $x_i$ la iterația $k+1$?

Folosind valorile $x_j$ actualizate până la $i-1$ de la iterația $k+1$ și valorile $x_j$ rămase de la iterația $k$. Signup and view all the answers

Care este relația aproximativă între razele spectrale ale metodei Jacobi și Gauss-Seidel conform textului?

$\rho_{\text{Jacobi}}^2 \cong \rho_{\text{Gauss-Seidel}}$ Signup and view all the answers

Ce implicație are relația dintre razele spectrale în contextul convergenței metodelor?

Metoda Gauss-Seidel converge mai repede decât metoda Jacobi. Signup and view all the answers

Care este condiția esențială pentru ca metoda Gauss-Seidel să fie convergentă?

Matricea coeficienților să fie diagonal dominantă pe linii. Signup and view all the answers

Care este forma generală a iterației pentru metoda Jacobi, unde $x[i^{k+1}]$ reprezintă componenta $i$ a vectorului soluție la iterația $k+1$?

$x[i^{k+1}] = (b_i / a_{i,i}) - \sum_{j=1, j\neq i}^{n} (a_{i,j} / a_{i,i}) \cdot x[j^k]$ Signup and view all the answers

Ce reprezintă $g_{i,j}$ în contextul matricei de iterație Jacobi $(G_{Jacobi})$?

Elementele matricei rezultate din $ -D^{-1} \cdot (L + U)$ Signup and view all the answers

Care este condiția suficientă pentru convergența metodei Jacobi?

Suma valorilor absolute ale elementelor de pe fiecare linie, excluzând elementul diagonal, împărțite la valoarea absolută a elementului diagonal, să fie mai mică decât 1. Signup and view all the answers

Ce înseamnă că matricea $A$ este 'diagonal dominantă pe linii'?

Valoarea absolută a fiecărui element diagonal este mai mare decât suma valorilor absolute ale celorlalte elemente de pe aceeași linie. Signup and view all the answers

Cum este legată proprietatea de diagonal dominanță pe linii a matricei $A$ de convergența metodei Jacobi?

Dacă $A$ este diagonal dominantă, metoda Jacobi este convergentă, indiferent de aproximarea inițială a soluției. Signup and view all the answers

Dacă $|a_{1,1}| = 5$, $|a_{1,2}| = 2$, și $|a_{1,3}| = 1$, ce se poate spune despre prima linie a matricei în contextul diagonal dominanței?

Linia este diagonal dominantă. Signup and view all the answers

În contextul metodei Jacobi, ce reprezintă $D$, $L$ și $U$?

$D$ este matricea diagonală, $L$ matricea inferior triunghiulară, $U$ matricea superior triunghiulară Signup and view all the answers

Ce implicație are utilizarea iterațiilor în metoda Jacobi?

Metoda Jacobi obține aproximații succesive ale soluției până la atingerea unei toleranțe date. Signup and view all the answers

Care este scopul principal al triangularizării cu pivotare parțială într-un sistem de ecuații liniare?

Descompunerea matricei coeficienților într-un produs de matrice inferior și superior triunghiulară, facilitând rezolvarea sistemului. Signup and view all the answers

În procesul de pivotare parțială, cum se selectează pivotul la pasul k?

Se alege elementul cu cea mai mare valoare absolută din coloana k, începând cu elementul de pe diagonală. Signup and view all the answers

Care este rolul matricei de permutare de linii $P_k$ în cadrul algoritmului de triangularizare cu pivotare parțială?

Permută liniile matricei curente pentru a aduce pivotul pe poziția diagonală, în cazul în care elementul inițial de pe diagonală nu este un pivot optim. Signup and view all the answers

Ce proprietate specială are determinantul unei matrice de permutare de linii $P_k$?

Determinantul este întotdeauna egal cu -1. Signup and view all the answers

Ce condiție trebuie să îndeplinească matricea A pentru a asigura existența descompunerii $P \cdot A = L' \cdot U$?

Matricea A trebuie să fie o matrice nesingulară. Signup and view all the answers

În descompunerea $P \cdot A = L' \cdot U$, ce proprietate are matricea $L'$?

Este o matrice inferior triunghiulară unitate cu elementele sub diagonala principală având valori în modul mai mici sau egale cu 1. Signup and view all the answers

Ce reprezintă matricea $U$ în descompunerea $P \cdot A = L' \cdot U$?

O matrice superior triunghiulară Signup and view all the answers

Care este prima etapă în rezolvarea unui sistem de ecuații liniare 𝐴 ∙ 𝑥 = 𝑏 folosind triangularizarea cu pivotare parțială?

Factorizarea $L'U$ a matricei A. Signup and view all the answers

Ce semnificație are vectorul $c$ în contextul rezolvării sistemului $A \cdot x = b$, după descompunerea $P \cdot A = L' \cdot U$?

Reprezintă rezultatul permutării vectorului b cu ajutorul matricei de permutare P. Signup and view all the answers

După factorizarea $P \cdot A = L' \cdot U$ și calculul $c=P \cdot b$, care este următorul pas în rezolvarea sistemului $A \cdot x = b$?

Rezolvarea sistemului $L'y=c$ prin substituție înainte. Signup and view all the answers

În soluționarea sistemului $A \cdot x = b$, după rezolvarea sistemului $L'y = c$, care este pasul următor?

Rezolvarea sistemului $Ux = y$ prin substituție inversă. Signup and view all the answers

Ce se întâmplă dacă algoritmul de triangularizare cu pivotare parțială eșuează, găsind un pivot nul sau foarte mic în modul?

Matricea A este singulară sau apropiată de a fi singulară. Signup and view all the answers

Cum este obținută matricea A_k+1, la pasul k, în algoritmul de triangularizare cu pivotare parțială?

Prin înmulțirea matricii A_k cu matricea de permutare P_k, urmată de înmulțirea cu matricea Mk, unde Mk este o matrice de eliminare Gauss. Signup and view all the answers

Care este relația dintre matricea de permutare 𝑃𝑘 și inversa sa?

$P_k$ = $P_k^{-1}$ Signup and view all the answers

Care este rolul matricelor $M_k$ în triangularizarea cu pivotare parțială?

Sunt folosite pentru a anula elementele de sub pivot în coloana k. Signup and view all the answers

Study Notes

Metode numerice - Curs 4

Rezolvarea sistemelor prin triangularizare cu pivotare parţială: Un sistem de n ecuaţii algebrice liniare cu n necunoscute, A·x = b, este rezolvat prin triangularizare cu pivotare parţială.
Principiu: La fiecare pas k, se caută pivotul (elementul din coloana k, de pe sau sub diagonala principală, cu cea mai mare valoare absolută). Dacă pivotul nu este pe diagonala principală, se fac permutări între linii pentru a-l plasa acolo.
Matrice de permutare: Matricea Pk este folosită pentru a efectua permutări între linii.
Matricea triangularizată: Se aplică transformări de tipului matricial pentru a obţine o matrice superior triunghiulară
A = L·U: Este descompunerea matricii A într-o matrice inferioară triunghiulară (L) plus o matrice superior triunghiulară (U).
Calcul det(A): Determinantul unei matrici poate fi calculat prin factorizarea L-U a matricei A și se calculează determinantul matricii rezultate.
Calcul inversul matricii: Pentru a calcula inversa unei matrice, se poate folosi factorizarea L-U.

Metoda Jacobi și Gauss-Seidel

Metoda iterativă: Se construiește un şir de vectori (x[k]) care converge către soluţia sistemului A·x = b.
Relația de recurență: x[k+1] = N⁻¹•P•x[k] + N⁻¹•b
Matrice G: Definită ca G=N⁻¹•P; convergența metodei depinde de raza spectrală a matricei G, p(G)
Condiția de convergență: Pentru a asigura convergența, raza spectrală trebuie să fie subunitară: p(G) < 1.
Dominare diagonală: Matricea A este diagonal dominantă dacă suma valorilor absolute a elementelor de pe o linie, în afară de diagonală, este strict mai mică decât valoarea elementului diagonal, în modul.
Convergență Gauss-Seidel: Metoda Gauss-Seidel este o versiune îmbunătățită a metodei Jacobi, unde valorile calculate recent ale componentelor vectorului sunt utilizate imediat în iterația următoare. Teoretic, convergența este mai rapidă.

Studying That Suits You

Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.

Description

Acest quiz se concentrează pe conceptele esențiale ale descompunerii L-U și aplicațiile sale în rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Vei explora cum se calculează determinantul unei matrice și caracteristicile matricelor L și U. De asemenea, se discută despre rolul pivotării parțiale și despre implicațiile metodei în practică.