Descompunerea L-U în Matematică Avansată

Calculul determinantului unei matrice A se poate realiza folosind factorizarea L-U a matricei. Se înmulțesc elementele diagonale ale matricei U obținute din factorizarea L-U.

Inversarea unei matrice A cu ajutorul factorizării L-U implică rezolvarea sistemelor de ecuații liniare cu matricea A ca matrice de coeficienți și vectori coloană ai matricei identitate ca vectori termeni liberi. Soluțiile sunt coloanele matricei inverse A^-1.

Pentru matricea A se deduce factorizarea L-U, iar pentru fiecare coloană a matricei identitate se rezolvă sistemul de ecuații linie cu matricea L ca matrice a coeficienților. Apoi se rezolvă sistemul de ecuații linie cu matricea U ca matrice a coeficienților, soluțiile fiind coloanele matricei inverse A^-1.

Factorizarea L-U cu pivotare parțială implică permutarea rândurilor matricei originale pentru a obține o factorizare stabilă numeric. Factorizarea L-U cu pivotare parțială este o tehnică mai complexă, dar mai stabilă din punct de vedere numeric decât factorizarea L-U standard.

Determinantul matricei A se calculează prin înmulțirea elementelor diagonale ale matricei U, obținute prin factorizarea L-U cu pivotare parțială. Se ia în considerare și semnul determinantului, dependent de numărul de permutări de rânduri realizate.

Un set de n ecuații algebrice liniare, unde numărul ecuațiilor este egal cu numărul necunoscutelor.

Determinarea unei soluții care satisface simultan toate ecuațiile din sistem.

O metodă matematică de a rezolva sisteme de ecuații liniare prin transformarea matricei sistemului într-o matrice triunghiulară.

Alege elementul cu cea mai mare valoare absolută din coloana curentă, începând de la diagonala principală.

Permutarea a două linii din matrice, cu ajutorul unei matrice de permutare de linii (Pk).

O matrice care schimbă liniile unei alte matrice, având elementele de pe diagonala principală egale cu 1, restul fiind 0.

O matrice inferior triunghiulară cu elementele de pe diagonala principală egale cu 1.

Transformarea matricei sistemului în două matrici, una inferior triunghiulară (L') și alta superior triunghiulară (U), prin multiplicare cu o matrice de permutare de linii.

Transformarea sistemului liniar în 𝐿′ ∙ 𝑦 = 𝑐, unde 𝑐 = 𝑃 ∙ 𝑏.

Rezolvarea sistemului liniar 𝑈 ∙ 𝑥 = 𝑦 prin substituție inversă.

O situație în care pivotul găsit la o anumită etapă este nul sau foarte mic în modul, ceea ce indică dependenta liniară a coloanelor matricei A.

O submatrice obținută din matricea A prin eliminarea primelor k - 1 linii și coloane.

O matrice diagonală cu elementele de pe diagonala principală egale cu 1, restul fiind 0.

O matrice care transformă matricea originală (Ak) într-o matrice cu elementele de pe coloana k sub diagonala principală egale cu 0.

Un vector care reprezintă o soluție la sistemul de ecuații, determinat prin înmulțirea matricei de permutare de linii (P) cu vectorul termenilor liberi (b).

O metodă de a găsi inversa unei matrice prin descompunerea ei în două matrice triunghiulare, L și U, urmată de rezolvarea unor sisteme liniare.

O metodă similară cu factorizarea L-U, dar cu pivotare parțială, ceea ce o face mai stabilă numeric.

O metodă iterativă de a rezolva sisteme liniare, construind un șir de vectori care converg către soluția exactă.

O descompunere a matricei sistemului A în două matrice, N (nesingulară) și P, pentru a putea aplica metoda iterativă.

Reprezintă o formulă de recurență care se folosește pentru a calcula succesiv vectorii soluției aproximative în metoda iterativă.

Un factor important în alegerea metodei de rezolvare a unui sistem: dacă este necesar un rezultat precis sau o soluție rapidă.

O metodă de rezolvare a sistemelor liniare care se bazează pe inversarea matricei sistemului.

Inversarea unei matrice este o operație complexă, consumatoare de resurse computaționale, de aceea se evită în practică.

Metoda iterativă de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare, unde se calculează iterativ o aproximare a soluției, folosind o formulă recursivă.

Formula recursivă folosită pentru a calcula iterativ o aproximare a soluției unui sistem de ecuații liniare.

O matrice care definește relația dintre vectorul aproximației la iterația curentă și vectorul aproximației la iterația precedentă.

Valoarea maximă a modulelor valorilor proprii ale unei matrice.

O condiție necesară și suficientă pentru convergența metodei iterative, care spune că toate valorile proprii ale matricei de iterare trebuie să fie subunitară.

Norma infinită a unei matrice, care este egală cu valoarea maximă a sumei modulelor elementelor de pe o linie.

O metodă iterativă de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare, unde se folosește o matrice diagonală pentru N și o matrice care cuprinde elementele de pe diagonala principală a A pentru D.

O metodă iterativă de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare, unde se folosește o matrice inferior triunghiulară pentru L, o matrice diagonală pentru D și o matrice superior triunghiulară pentru U.

Metoda Gauss-Seidel este convergentă dacă matricea coeficienților A este diagonal dominantă pe linii. Această proprietate asigură stabilitatea numerică a algoritmului.

Raza spectrală a matricei de iterație Gauss-Seidel este aproximativ egală cu pătratul razei spectrale a matricei de iterație Jacobi. Această relație indică o convergență mai rapidă a metodei Gauss-Seidel în comparație cu metoda Jacobi, sub condiția ca ambele să fie convergente.

Metoda Gauss-Seidel prezintă adesea o viteză de convergență mai mare decât metoda Jacobi, datorită utilizării valorilor calculate la iterațiile anterioare pentru a îmbunătăți aproximarea soluției la următoarea iterație.

În cazul metodei Gauss-Seidel, componentele calculate la iterațiile anterioare sunt multiplicate cu coeficienții care se află pe diagonala principală a matricei. Aceste componente sunt utilizate pentru a îmbunătăți aproximarea soluției la iterația curentă.

O matrice în care suma valorilor absolute ale elementelor de pe o anumită linie, excluzând elementul diagonal, este mai mică decât valoarea absolută a elementului diagonal din acea linie. \n\nAceastă proprietate este crucială pentru convergența metodei Jacobi.

Condiția necesară și suficientă pentru ca metoda Jacobi să converge către soluția sistemului de ecuații liniare \n\nGaranția ca metoda Jacobi să găsească o soluție corectă.

Un vector care conține o primă aproximare a soluției sistemului de ecuații liniare. \n\nEste un punct de plecare pentru metoda Jacobi.

O matrice cu valori de -1 și 0, obținută din matricea sistemului de ecuații liniare. \n\nAceastă matrice re prezintă relația dintre elementele sistemului

Partea din matricea sistemului de ecuații care corespunde elementelor de sub diagonala principală. \n\nAceastă parte este manipulată în metoda Jacobi

Partea din matricea sistemului de ecuații care corespunde elementelor de deasupra diagonalei principale. \n\nAceastă parte este manipulată în metoda Jacobi

O parte a sistemului de ecuații care corespunde elementelor de pe diagonala principală. \n\n Această parte este importantă pentru regulile de convergență a metodei Jacobi.