Derivadas: Introducción y Reglas de Diferenciación

Derivatives

Introduction

• A derivative measures the rate of change of a function with respect to its input.
• Derivatives are used to study the behavior of functions, including their maxima and minima, and the shape of their graphs.

Notation

• The derivative of a function f(x) is denoted as f'(x) or (d/dx)f(x).
• The derivative of a function y = f(x) with respect to x is denoted as dy/dx.

Rules of Differentiation

• Power Rule: If f(x) = x^n, then f'(x) = nx^(n-1).
• Product Rule: If f(x) = u(x)v(x), then f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).
• Quotient Rule: If f(x) = u(x)/v(x), then f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / v(x)^2.
• Chain Rule: If f(x) = g(h(x)), then f'(x) = g'(h(x)) * h'(x).

Geometric Interpretation

• The derivative of a function at a point represents the slope of the tangent line to the graph of the function at that point.
• A positive derivative indicates an increasing function, while a negative derivative indicates a decreasing function.

Higher-Order Derivatives

• The second derivative, f''(x), represents the rate of change of the first derivative.
• Higher-order derivatives can be used to study the concavity and inflection points of a function.

Applications

• Optimization: Derivatives are used to find the maximum and minimum values of a function.
• Physics: Derivatives are used to model the motion of objects, including the acceleration and velocity of particles.
• Economics: Derivatives are used to model the behavior of economic systems, including the rate of change of economic variables.

Derivadas

Introducción

• La derivada mide la tasa de cambio de una función con respecto a su entrada.
• Las derivadas se utilizan para estudiar el comportamiento de funciones, incluyendo sus máximos y mínimos, y la forma de sus gráficas.

Notación

• La derivada de una función f(x) se denota como f'(x) o (d/dx)f(x).
• La derivada de una función y = f(x) con respecto a x se denota como dy/dx.

Reglas de Diferenciación

• Regla de Potencia: Si f(x) = x^n, entonces f'(x) = nx^(n-1).
• Regla de Producto: Si f(x) = u(x)v(x), entonces f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).
• Regla de Cociente: Si f(x) = u(x)/v(x), entonces f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / v(x)^2.
• Regla de Cadenas: Si f(x) = g(h(x)), entonces f'(x) = g'(h(x)) * h'(x).

Interpretación Geométrica

• La derivada de una función en un punto representa la pendiente de la línea tangente a la gráfica de la función en ese punto.
• Una derivada positiva indica una función creciente, mientras que una derivada negativa indica una función decreciente.

Derivadas de Orden Superior

• La segunda derivada, f''(x), representa la tasa de cambio de la primera derivada.
• Las derivadas de orden superior se utilizan para estudiar la concavidad y los puntos de inflexión de una función.

Aplicaciones

• Optimización: Las derivadas se utilizan para encontrar los valores máximos y mínimos de una función.
• Física: Las derivadas se utilizan para modelar el movimiento de objetos, incluyendo la aceleración y la velocidad de partículas.
• Economía: Las derivadas se utilizan para modelar el comportamiento de sistemas económicos, incluyendo la tasa de cambio de variables económicas.

Aprende sobre la definición y notación de derivadas, así como las reglas de diferenciación como la regla de potencias. Evalúa tu comprensión de los conceptos básicos de cálculo diferencial.