Hållbar utveckling

Den Definitiva Integralen

• Definita integraler används för att beräkna arean under en kurva.

Idén bakom den Definita Integralen

• Arean mellan grafen för f(x) och x-axeln, från x = a till x = b.

Dela Upp Arean

• Arean kan approximeras genom att dela upp den i smala rektanglar.

Riemannsummor

• Δx representerar bredden på varje rektangel.
• f(xi) är höjden på den i-te rektangeln.
• Arean av den i-te rektangeln är f(xi)Δx.
• Riemannsumman summerar alla rektanglars areor: ∑i=1n f(xi)Δx.
• Riemannsumman är en approximation av arean under kurvan.

Den Definita Integralen

• Den definita integralen erhålls genom att låta bredden på rektanglarna gå mot noll.
• Detta representeras som: limΔx→0 ∑i=1n f(xi)Δx = ∫ab f(x) dx.
• Den definita integralen ger den exakta arean under kurvan.

Tolkning av den Definita Integralen

• Om f(x) ≥ 0 på intervallet [a, b] representerar ∫ab f(x) dx arean under kurvan f(x) från a till b.
• Om f(x) antar både positiva och negativa värden är ∫ab f(x) dx summan av areorna ovanför x-axeln minus summan av areorna under x-axeln.

Notation för den Definita Integralen: ∫ab f(x) dx

• ∫ är integraltecknet.
• a är den nedre integrationsgränsen.
• b är den övre integrationsgränsen.
• f(x) är integranden.
• dx indikerar integrationsvariabeln.

Analysens Fundamentalsats

• Kopplar samman derivering och integrering.

Fundamentalsatsen

• Om F'(x) = f(x) är ∫ab f(x) dx = F(b) - F(a).
• Den definita integralen av en funktion erhålls genom att hitta en antiderivata och utvärdera den vid integrationsgränserna.

Den Obestämda Integralen

• Den obestämda integralen av f(x) är den mest allmänna antiderivatan av f(x).
• Den skrivs som ∫ f(x) dx.

Egenskaper hos den Definita Integralen

• ∫aa f(x) dx = 0
• ∫ba f(x) dx = -∫ab f(x) dx
• ∫ab c f(x) dx = c ∫ab f(x) dx
• ∫ab [f(x) ± g(x)] dx = ∫ab f(x) dx ± ∫ab g(x) dx
• ∫ac f(x) dx + ∫cb f(x) dx = ∫ab f(x) dx

Exempel på Integralberäkningar

• ∫01 x2 dx = [x3/3]01 = 1/3 - 0 = 1/3
• ∫12 (x2 + 1) dx = [x3/3 + x]12 = (8/3 + 2) - (1/3 + 1) = 10/3

Tillämpningar av den Definita Integralen

• Inkluderar beräkning av medelvärde, area mellan kurvor, båglängd och volymer.

Medelvärde av en Funktion

• Medelvärdet av en funktion f(x) på intervallet [a, b] ges av: fave = 1/(b-a) ∫ab f(x) dx

Arean Mellan Kurvor

• Arean mellan två kurvor f(x) och g(x) på intervallet [a, b] ges av: ∫ab |f(x) - g(x)| dx.
• Om f(x) ≥ g(x) på intervallet [a, b], är arean: ∫ab [f(x) - g(x)] dx.

Båglängd

• Båglängden av kurvan y = f(x) på intervallet [a, b] ges av: ∫ab √{1 + [f'(x)]2} dx

Rotationsvolymer

• Volymen av en rotationskropp som bildas genom att rotera området under kurvan y = f(x) från x = a till x = b runt x-axeln ges av: V = π ∫ab [f(x)]2 dx

Exempelapplikationer

• Medelvärdet av f(x) = x2 på intervallet [0, 2] är 4/3.
• Arean mellan kurvorna f(x) = x2 och g(x) = x på intervallet [0, 1] är 1/6.

Linjär Algebra och Vektor Geometri

Kapitel 1: Vektorer i ℝn

Introduktion

• Vektorer i det reella n-dimensionella rummet ℝn.
• Vektorer har både magnitud och riktning.

Vektorer i ℝn

• En vektor är en ordnad lista med n reella tal.
• En vektor skrivs som en kolumn: v = (v1, v2, ..., vn)T, där v1, v2, ..., vn är komponenterna.

Operationer på Vektorer

Vektoraddition

• Addition av två vektorer u och v i ℝn definieras komponentvis: u + v = (u1 + v1, u2 + v2, ..., un + vn)T.

Skalär Multiplikation

• Multiplikation av en vektor v i ℝn med en skalär c (reellt tal) definieras som: cv = (cv1, cv2, ..., cvn)T.

Egenskaper hos Vektoroperationer

• Kommutativitet: u + v = v + u
• Associativitet: (u + v) + w = u + (v + w)
• Nullelement: Det finns en nollvektor 0 sådan att u + 0 = u, där 0 = (0, 0, ..., 0)T.
• Invers: För varje vektor u finns en additiv invers -u sådan att u + (-u) = 0, där -u = (-u1, -u2, ..., -un)T.
• Distributivitet (skalär över vektoraddition): c(u + v) = cu + cv
• Distributivitet (skalär över skaläraddition): (c + d)u = cu + du
• Associativitet (skalär multiplikation): c(du) = (cd)u
• Identitet (skalär multiplikation): 1u = u

Linjärkombinationer

• En linjärkombination av vektorer v1, v2, ..., vk är ett uttryck på formen: c1v1 + c2v2 + ... + ckvk, där c1, c2, ..., ck är skalärer.

Vektor Rum

• En delmängd W av ℝn är ett underrum om:
  • Nollvektorn 0 är i W.
  • Om u och v är i W, så är u + v i W.
  • Om u är i W och c är en skalär, så är cu i W.

Spänning

• Spannet av en mängd vektorer är mängden av alla möjliga linjärkombinationer av dessa vektorer

Linjär Oberoende

• En mängd vektorer är linjärt oberoende om den enda linjärkombination som ger nollvektorn är den där alla skalärer är noll.
• Annars är vektormängden linjärt beroende.

Bas och Dimension

• En bas för ett vektorrum är en linjärt oberoende mängd som spänner upp hela rummet.
• Dimensionen är antalet vektorer i basen.

Skalärprodukt

• Skalärprodukten av u och v är summan av produkterna av motsvarande komponenter.

Norm av en Vektor

• Normen är den kvadratiska roten ur summan av kvadraterna av komponenterna.

Avstånd Mellan Vektorer

• Avståndet definieras som normen av differensen mellan vektorerna.

Ortogonalitet

• Vektorer är ortogonala om deras skalärprodukt är noll.

Ortogonal Projektion

• Den ortogonala projektionen av vektor u på vektor v är given av formeln.

Avancerad Dataanalys och Statistisk Modellering

Kursinformation

• Instruktör: Prof. Ashwin Pananjady
• E-post: [email protected]
• Kurshemsida: bCourses

Kursbeskrivning

• Kursen behandlar moderna metoder inom statistisk modellering och maskininlärning.
• Ämnen inkluderar modellval, icke-parametrisk regression, kausal inferens, tidsserieanalys och unsupervised learning.

Betygsättning

• Hemmauppgifter: 40%
• Midterm-tentamen: 25%
• Slutprojekt: 35%

Kursmaterial

• Ingen obligatorisk kursbok, föreläsningsanteckningar tillhandahålls.

Schema

• Vecka 1: Introduktion till statistisk modellering
• Vecka 2-3: Modellval och regularisering
• Vecka 4-5: Icke-parametrisk regression
• Vecka 6-7: Kausal inferens
• Vecka 8-9: Tidsserieanalys
• Vecka 10-11: Unsupervised learning
• Vecka 12-13: Avancerade ämnen inom statistisk modellering

Linjär Algebra och Analytisk Geometri I

Kapitel 1: Linjära Ekvationssystem

Inledning

• Ett linjärt ekvationssystem är en samling ekvationer med flera variabler.

Allmän Form

• Ett system med m ekvationer och n variabler ser ut som:
  • a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
  • a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 -...
  • am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm

Variabler, Koefficienter och Konstanter

• x1, x2, ..., xn är variablerna.
• aij är koefficienterna.
• bi är konstanterna.

Matrisnotation

• Systemet kan skrivas som Ax = b, där:
  • A är koefficientmatrisen (m x n).
  • x är variabelvektorn (n x 1).
  • b är konstantvektorn (m x 1).

Augmented Matrix

• Den utökade matrisen är (A|b).

Elementära Operationer

• Radoperationer inkluderar:
  • Att byta plats på två rader (Li ↔ Lj).
  • Att multiplicera en rad med en icke-noll skalär (Li ← λLi, λ ≠ 0).
  • Att addera en multipel av en rad till en annan (Li ← Li + λLj).

Radreducering

• En matris är i trappstegsform om:
  • Alla nollrader ligger längst ner.
  • Det första icke-noll elementet (ledande etta) i varje icke-noll rad ligger till höger om den ledande ettan i raden ovanför.

Reducerad Radreducering

• En matris är i reducerad trappstegsform om den är i trappstegsform och:
  • Alla ledande ettor är lika med 1.
  • Alla element ovanför och nedanför de ledande ettorna är noll.

Lösningsmetod

• För att lösa ett linjärt system:
  • Skapa matrisen (A|b).
  • Radreducera för att få trappstegsform.
  • Uttryck huvudvariabler i termer av fria variabler (om sådana finns).

Lösningstyper

• Ett linjärt system kan ha:
  • En unik lösning.
  • Oändligt många lösningar.
  • Ingen lösning (inkonsistent system).

Poissonfördelningen

Beskrivning

• Poissonfördelningen beskriver antalet händelser i ett fast tids- eller rumsintervall.

Parametrar

• μ = genomsnittligt antal händelser i ett intervall
• X = antal händelser i intervallet

Sannolikhetsfunktion

$P(X=x) = \frac{μxe^{-μ}}{x!}$

för x = 0, 1, 2,...

Exempel

• Bilar anländer till en stoppskylt med en genomsnittlig hastighet av 2 per minut μ = 2 ankomster per minut

Fråga

• Vad är sannolikheten att exakt 3 bilar anländer under en given minut?

Svar

$P(X=3) = \frac{2^3e^{-2}}{3!} = \frac{8 \cdot 0.13534}{6} =$ 0.1804

Krav för ett Poisson-experiment

1. Sannolikheten för en händelse är densamma för alla intervall
2. Antalet händelser i ett intervall är oberoende av antalet händelser i andra intervall.
3. Den genomsnittliga frekvensen av händelser, μ, är konstant

Form

• Poissonfördelningen är skev åt höger
• När μ ökar blir Poissonfördelningen mer symmetrisk.

Medelvärde och Varians

Medelvärde

$E(X) = μ$

Varians

$Var(X) = σ^2 = μ$

Använda Poisson-sannolikheter

• En bank är intresserad av att studera antalet personer som använder bankomaten utanför banken sent på kvällen. Anta att i genomsnitt 1,6 kunder använder bankomaten per timme under denna period. Vad är sannolikheten att under en given timme:

Exakt 3 personer använder bankomaten?

$P(X=3) = \frac{1.6^3e^{-1.6}}{3!} = \frac{4.096 \cdot 0.2019}{6} = 0.138$

Högst 3 personer använder bankomaten?

$P(X \le 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)$

$= \frac{1.6^0e^{-1.6}}{0!} + \frac{1.6^1e^{-1.6}}{1!} + \frac{1.6^2e^{-1.6}}{2!} + \frac{1.6^3e^{-1.6}}{3!}$

$= 0.2019 + 0.3230 + 0.2584 + 0.1378 = 0.9211$

Minst 3 personer använder bankomaten?

$P(X \ge 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$

$= 1 - [\frac{1.6^0e^{-1.6}}{0!} + \frac{1.6^1e^{-1.6}}{1!} + \frac{1.6^2e^{-1.6}}{2!}]$

$= 1 - [0.2019 + 0.3230 + 0.2584] = 1 - 0.7833 = 0.2167$

Kemisk Kinetik

• Studerar reaktionshastigheter och reaktionsmekanismer.

Reaktionshastighet

• Hastigheten med vilken reaktanter omvandlas till produkter.
• Vanligtvis uttryckt som förändringen i koncentration per tidsenhet.

Faktorer som påverkar reaktionshastigheten

• Reaktantkoncentration: Ökad koncentration ökar reaktionshastigheten.
• Temperatur: Högre temperaturer ökar reaktionshastigheten.
• Yta: Större yta ökar reaktionshastigheten för fasta reaktanter.
• Katalysatorer: Påskyndar reaktionen utan att förbrukas.
• Tryck: Ökat tryck ökar reaktionshastigheten för gasreaktioner.

Hastighetslag

• Uttrycker reaktionshastigheten med avseende på reaktanternas koncentrationer.
• För en generell reaktion aA + bB → cC + dD, är hastighetslagen: Hastighet = k[A]^m[B]^n, där k är hastighetskonstanten och m och n är reaktionsordningarna.

Reaktionsordning

• Specifierar hur reaktionshastigheten beror på varje reaktants koncentration.

Typer av reaktionsordningar

• Nollte ordningen: Hastigheten är oberoende av reaktantens koncentration.
• Första ordningen: Hastigheten är direkt proportionell mot reaktantens koncentration.
• Andra ordningen: Hastigheten är proportionell mot kvadraten på reaktantens koncentration.

Aktiveringsenergi

• Den minsta energi som krävs för att en kemisk reaktion ska ske.

Arrhenius Ekvation

• Relaterar hastighetskonstanten (k) till aktiveringsenergin (Ea) och temperaturen (T): k = Ae^(-Ea/RT), där R är den ideala gaskonstanten (8.314 J/(mol·K)).

Katalys

• Processen att öka reaktionshastigheten genom att tillsätta en katalysator, som inte förbrukas i reaktionen.

Typer av Katalys

• Homogen katalys: Katalysatorn är i samma fas som reaktanterna.
• Heterogen katalys: Katalysatorn är i en annan fas än reaktanterna.

Hur Katalysatorer Fungerar

• Sänker aktiveringsenergin för reaktionen.

Reaktionsmekanismer

• En stegvis sekvens av elementära reaktioner som beskriver den totala kemiska förändringen.

Elementära Reaktioner

• Enstegsreaktioner som inte kan delas upp i enklare steg.

Hastighetsbestämmande Steg

• Det långsammaste steget i en flerstegsreaktion.

Mellanprodukter

• Ämnen som bildas i ett steg och förbrukas i ett efterföljande steg.

Exempel

• En möjlig mekanism för reaktionen 2NO(g) + O2(g) → 2NO2(g) är:
  1. NO(g) + NO(g) ⇌ N2O2(g) (snabb jämvikt)
  2. N2O2(g) + O2(g) → 2NO2(g) (långsamt)
• Hastighetslagen bestäms av det långsamma steget: Hastighet = k'[NO]^2[O2].