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Questions and Answers
Qual é o objetivo do passo indutivo em uma prova por indução?
Qual é o objetivo do passo indutivo em uma prova por indução?
Demonstrar que se a proposição é verdadeira para n = k, então é verdadeira para n = k + 1.
O que é a hipótese indutiva em uma prova por indução?
O que é a hipótese indutiva em uma prova por indução?
A hipótese indutiva é a suposição de que a proposição é verdadeira para n = k.
Qual é o papel do passo base em uma prova por indução?
Qual é o papel do passo base em uma prova por indução?
Demonstrar que a proposição é verdadeira para o menor valor de n, normalmente n = 0 ou n = 1.
Como se denota a proposição a ser provada em uma prova por indução?
Como se denota a proposição a ser provada em uma prova por indução?
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Qual é o objetivo geral de uma prova por indução?
Qual é o objetivo geral de uma prova por indução?
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Qual é o objetivo da análise do caso médio em algoritmos?
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O que é o comportamento assintótico de uma função?
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Qual é o propósito da notação assintótica?
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Por que as constantes que multiplicam o termo n da função são descartadas?
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O que é o pior caso em análise de algoritmos?
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Study Notes
Princípio da Indução Finita
- O princípio da indução finita é uma técnica utilizada para provar que uma proposição é verdadeira para todos os inteiros naturais.
- A prova por indução matemática segue dois passos: passo base e passo indutivo.
Passo Base
- O passo base consiste em mostrar que a proposição é verdadeira para o menor caso possível (geralmente n = 0 ou n = 1).
- Exemplo: Provar que P(n) = 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+2)/2, para n = 0.
Passo Indutivo
- O passo indutivo consiste em supor que a proposição é verdadeira para algum inteiro k e mostrar que ela é verdadeira para k + 1.
- Exemplo: Suponha que P(k) = 1 + 2 + 3 + … + k = k(k+2)/2, para algum inteiro k ≥ 1. Mostrar que P(k+1) é verdadeira.
Exemplos de Provas por Indução
- Provar que P(n) = 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+2)/2, para todos inteiros n ≥ 0.
- Provar que P(n) = 12 + 22 + 32 + … + n2 = n(n+1)(2n+1)/6, para todos inteiros n ≥ 1.
- Provar que P(n) = 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2, para todos inteiros n ≥ 1.
Observações
- É importante usar obrigatoriamente o predicado/proposição P(k) na prova por indução matemática.
- A soma da P(k+1) pode ser decomposta em partes menores, utilizando a hipótese indutiva.
Introdução ao Algoritmo
- Um algoritmo é um conjunto de instruções executáveis para resolver um problema
- São as ideias por detrás dos programas
- O problema é a motivação para o algoritmo
- Geralmente existem vários algoritmos para um mesmo problema
Análise de Algoritmo
- Análise do Melhor Caso: T(n) = avaliação ingênua de um algoritmo que é rápido para algumas entradas
- Análise Caso Médio: T(n) = tempo médio do algoritmo para todos as entradas de tamanho n
- Análise do Pior Caso: T(n) = tempo máximo do algoritmo para uma entrada qualquer de tamanho n
Eficiência de Algoritmos
- A eficiência de um algoritmo depende do tamanho do problema
- Assume-se que “n” é o tamanho do problema
- Calcula-se o número de operações/instruções que serão realizadas sobre os n elementos
Complexidade de Algoritmos
- A complexidade de um algoritmo é quantas instruções são necessárias para obter a solução de uma instância do problema
- A eficiência de um algoritmo é importante para saber se ele é rápido o suficiente para resolver um problema
Análise Assintótica
- A análise assintótica é o estudo do comportamento de algoritmos para entradas arbitrariamente grandes
- É usada para comparar funções e analisar o crescimento de algoritmos
- É importante para saber se um algoritmo é eficiente para um problema grande
Comportamento Assintótico
- O comportamento assintótico é o estudo do comportamento de uma função quando n tende ao infinito
- É importante descartar termos constantes e manter apenas os que crescem mais rápido
- O termo de maior expoente domina o comportamento da função
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Description
Prova por indução matemática sobre a soma de números inteiros. Verifique se a proposição é verdadeira para n = k + 1.
