Definizione di Spazio Vettoriale

Definizione di Spazio Vettoriale

• Uno spazio vettoriale su un campo $\mathbb{K}$ (come $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$) è un insieme $E$ dotato di addizione vettoriale e moltiplicazione scalare.
• L'addizione vettoriale è definita come $E \times E \rightarrow E$, indicata con $(u, v) \mapsto u + v$.
• La moltiplicazione scalare è definita come $\mathbb{K} \times E \rightarrow E$, indicata con $(\lambda, u) \mapsto \lambda u$.
• L'addizione vettoriale deve rispettare l'associatività: $(u + v) + w = u + (v + w)$.
• L'addizione vettoriale deve rispettare la commutatività: $u + v = v + u$.
• Deve esistere un elemento neutro per l'addizione, $0 \in E$, tale che $u + 0 = u$.
• Per ogni $u \in E$, deve esistere un inverso additivo $-u \in E$ tale che $u + (-u) = 0$.
• La moltiplicazione scalare deve essere compatibile con la moltiplicazione del campo: $\lambda(\mu u) = (\lambda \mu)u$.
• La moltiplicazione scalare deve essere distributiva rispetto all'addizione vettoriale: $\lambda(u + v) = \lambda u + \lambda v$.
• La moltiplicazione scalare deve essere distributiva rispetto all'addizione del campo: $(\lambda + \mu)u = \lambda u + \mu u$.
• Deve esistere un elemento neutro per la moltiplicazione scalare: $1u = u$.

Esempi di Spazi Vettoriali

• $\mathbb{R}^n$ e $\mathbb{C}^n$ sono spazi vettoriali rispettivamente su $\mathbb{R}$ e $\mathbb{C}$.
• L'insieme delle matrici $m \times n$ a coefficienti in $\mathbb{K}$, $M_{m,n}(\mathbb{K})$, è uno spazio vettoriale su $\mathbb{K}$.
• L'insieme delle funzioni continue da $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$, $C(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, è uno spazio vettoriale su $\mathbb{R}$.
• L'insieme dei polinomi a coefficienti in $\mathbb{K}$, $\mathbb{K}[X]$, è uno spazio vettoriale su $\mathbb{K}$.

Sottospazi Vettoriali

• Un sottoinsieme $F$ di uno spazio vettoriale $E$ è un sottospazio se è esso stesso uno spazio vettoriale con ereditate da $E$.
• $F$ è un sottospazio vettoriale di $E$ se e solo se: è non vuoto, chiuso rispetto all'addizione vettoriale (cioè $u, v \in F \implies u + v \in F$), e chiuso rispetto alla moltiplicazione scalare (cioè $\lambda \in \mathbb{K}, u \in F \implies \lambda u \in F$).

Combinazione Lineare

• Una combinazione lineare di vettori $v_1, v_2, \dots, v_n$ in $E$ è un vettore della forma $\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \dots + \lambda_n v_n$, dove $\lambda_i \in \mathbb{K}$.

Spazio Generato

• Lo spazio generato da un insieme di vettori $S = {v_1, v_2, \dots, v_n}$ in $E$, indicato come $\text{span}(S)$, è l'insieme di tutte le combinazioni lineari possibili dei vettori di $S$, che è un sottospazio vettoriale di $E$.
• $\text{span}(S) = {\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \dots + \lambda_n v_n \mid \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n \in \mathbb{K}}$.

Indipendenza Lineare

• Un insieme di vettori $S = {v_1, v_2, \dots, v_n}$ è linearmente indipendente se l'unica combinazione lineare che dà il vettore nullo è quella con tutti i coefficienti nulli.
• Formalmente: $\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \dots + \lambda_n v_n = 0 \implies \lambda_1 = \lambda_2 = \dots = \lambda_n = 0$.
• Se $S$ non è linearmente indipendente, è linearmente dipendente.

Base e Dimensione

• Una base di $E$ è un insieme di vettori $B = {v_1, v_2, \dots, v_n}$ linearmente indipendente che genera $E$, cioè $\text{span}(B) = E$.
• La dimensione di $E$, $\dim(E)$, è il numero di vettori in una base di $E$.
• Se $E$ ha una base finita, è di dimensione finita, altrimenti è di dimensione infinita.

Applicazioni Lineari

• Una applicazione lineare $T: E \rightarrow F$ tra spazi vettoriali $E$ e $F$ sullo stesso campo $\mathbb{K}$ soddisfa: $T(u + v) = T(u) + T(v)$ e $T(\lambda u) = \lambda T(u)$.

Nucleo e Immagine

• Il nucleo di $T$, $\text{ker}(T)$, è l'insieme dei vettori di $E$ che vengono mappati nel vettore nullo di $F$: $\text{ker}(T) = {u \in E \mid T(u) = 0}$.
• L'immagine di $T$, $\text{im}(T)$, è l'insieme dei vettori di $F$ che sono immagini di almeno un vettore di $E$: $\text{im}(T) = {T(u) \mid u \in E}$.
• Il nucleo di $T$ è un sottospazio di $E$ e l'immagine di $T$ è un sottospazio di $F$.

Teorema del Rango

• Per un'applicazione lineare $T: E \rightarrow F$ tra spazi vettoriali di dimensione finita, $\dim(E) = \dim(\text{ker}(T)) + \dim(\text{im}(T))$.

Matrici

• Una matrice è una tabella rettangolare di numeri; una matrice $m \times n$ ha $m$ righe e $n$ colonne.

Operazioni sulle Matrici

• Addizione: $A + B$ è una matrice $m \times n$ dove ogni elemento è la somma degli elementi corrispondenti di $A$ e $B$.
• Moltiplicazione scalare: $\lambda A$ è una matrice $m \times n$ dove ogni elemento è il prodotto dell'elemento corrispondente di $A$ e $\lambda$.
• Moltiplicazione: Se $A$ è $m \times n$ e $B$ è $n \times p$, allora $AB$ è $m \times p$.
• Trasposizione: Se $A$ è $m \times n$, allora $A^T$ è $n \times m$.

Matrice Inversa

• Una matrice quadrata $A$ è invertibile se esiste $A^{-1}$ tale che $AA^{-1} = A^{-1}A = I$, dove $I$ è la matrice identità.

Determinante

• Il determinante di una matrice quadrata fornisce informazioni sull'inversibilità; è indicato $\det(A)$ o $|A|$.

Autovalori e Autovettori

• Un autovettore di una matrice quadrata $A$ è un vettore non nullo $v$ tale che $Av = \lambda v$ per un certo scalare $\lambda$ (autovalore).

Diagonalizzazione

• Una matrice quadrata $A$ è diagonalizzabile se esiste $P$ invertibile e $D$ diagonale tali che $A = PDP^{-1}$.