Definizione di Spazio Vettoriale

Definizione di Spazio Vettoriale

• Uno spazio vettoriale su un campo $\mathbb{K}$ (che può essere $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$) è un insieme $E$ dotato di due operazioni: addizione vettoriale e moltiplicazione scalare.
• L'addizione vettoriale è definita come $E \times E \rightarrow E$, indicata con $(u, v) \mapsto u + v$.
• La moltiplicazione scalare è definita come $\mathbb{K} \times E \rightarrow E$, indicata con $(\lambda, u) \mapsto \lambda u$.
• Le operazioni devono soddisfare otto assiomi, inclusi associatività e commutatività dell'addizione, esistenza di un elemento neutro e di un inverso additivo.
• Gli assiomi includono anche la compatibilità della moltiplicazione scalare con la moltiplicazione del campo, e distributività.

Esempi di Spazi Vettoriali

• $\mathbb{R}^n$ e $\mathbb{C}^n$ sono spazi vettoriali rispettivamente su $\mathbb{R}$ e $\mathbb{C}$.
• L'insieme delle matrici $m \times n$ con coefficienti in $\mathbb{K}$, indicato come $M_{m,n}(\mathbb{K})$, è uno spazio vettoriale su $\mathbb{K}$.
• L'insieme delle funzioni continue da $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$, indicato come $C(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, è uno spazio vettoriale su $\mathbb{R}$.
• L'insieme dei polinomi con coefficienti in $\mathbb{K}$, indicato come $\mathbb{K}[X]$, è uno spazio vettoriale su $\mathbb{K}$.

Sottospazi Vettoriali

• Un sottoinsieme $F$ di uno spazio vettoriale $E$ è un sottospazio vettoriale se è esso stesso uno spazio vettoriale con le operazioni indotte da $E$.
• $F$ è un sottospazio vettoriale di $E$ se: è non vuoto, chiuso rispetto all'addizione vettoriale, e chiuso rispetto alla moltiplicazione scalare.

Combinazione Lineare

• Una combinazione lineare di vettori $v_1, v_2, \dots, v_n$ in uno spazio vettoriale $E$ è un vettore della forma $\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \dots + \lambda_n v_n$.
• $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$ sono elementi del campo $\mathbb{K}$.

Spazio Generato

• Lo spazio generato da un insieme di vettori $S = {v_1, v_2, \dots, v_n}$ in uno spazio vettoriale $E$, indicato con $\text{span}(S)$, è l'insieme di tutte le combinazioni lineari possibili dei vettori di $S$.
• $\text{span}(S)$ è un sottospazio vettoriale di $E$.

Indipendenza Lineare

• Un insieme di vettori $S = {v_1, v_2, \dots, v_n}$ in uno spazio vettoriale $E$ è linearmente indipendente se l'unica combinazione lineare di questi vettori che dà il vettore nullo è quella in cui tutti i coefficienti sono nulli.
• Formalmente, $\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \dots + \lambda_n v_n = 0 \implies \lambda_1 = \lambda_2 = \dots = \lambda_n = 0$.
• Se $S$ non è linearmente indipendente, allora $S$ è linearmente dipendente.

Base e Dimensione

• Una base di uno spazio vettoriale $E$ è un insieme di vettori $B = {v_1, v_2, \dots, v_n}$ che è linearmente indipendente e che genera $E$, ovvero $\text{span}(B) = E$.
• La dimensione di uno spazio vettoriale $E$, indicata con $\dim(E)$, è il numero di vettori in una base di $E$.
• Se $E$ ha una base finita, allora $E$ è di dimensione finita; altrimenti, è di dimensione infinita.

Applicazioni Lineari

• Un'applicazione lineare (o trasformazione lineare) è una funzione $T: E \rightarrow F$ tra due spazi vettoriali $E$ e $F$ sullo stesso campo $\mathbb{K}$.
• Deve soddisfare due condizioni: $T(u + v) = T(u) + T(v)$ e $T(\lambda u) = \lambda T(u)$.

Nucleo e Immagine

• Il nucleo (o nullspace) di un'applicazione lineare $T: E \rightarrow F$, indicato con $\text{ker}(T)$, è l'insieme dei vettori di $E$ che vengono mappati nel vettore nullo di $F$.
• Formalmente, $\text{ker}(T) = {u \in E \mid T(u) = 0}$. Il nucleo di $T$ è un sottospazio vettoriale di $E$.
• L'immagine (o range) di un'applicazione lineare $T: E \rightarrow F$, indicata con $\text{im}(T)$, è l'insieme di tutti i vettori di $F$ che sono l'immagine di almeno un vettore di $E$.
• Formalmente, $\text{im}(T) = {T(u) \mid u \in E}$. L'immagine di $T$ è un sottospazio vettoriale di $F$.

Teorema del Rango

• Per un'applicazione lineare $T: E \rightarrow F$ tra spazi vettoriali di dimensione finita, il teorema del rango afferma che: $\dim(E) = \dim(\text{ker}(T)) + \dim(\text{im}(T))$.
• $\dim(\text{ker}(T))$ è la nullità di $T$ e $\dim(\text{im}(T))$ è il rango di $T$.

Matrici

• Una matrice è una tabella rettangolare di numeri con $m$ righe e $n$ colonne per una matrice $m \times n$.
• Le matrici sono usate per rappresentare applicazioni lineari, risolvere sistemi di equazioni lineari e effettuare trasformazioni lineari.

Operazioni sulle Matrici

• Addizione di matrici: La somma $A + B$ di due matrici $m \times n$ è una matrice $m \times n$ dove ogni elemento è la somma degli elementi corrispondenti di $A$ e $B$.
• Moltiplicazione scalare: Il prodotto scalare $\lambda A$ di una matrice $m \times n$ e uno scalare $\lambda$ è una matrice $m \times n$ dove ogni elemento è il prodotto dell'elemento corrispondente di $A$ e $\lambda$.
• Moltiplicazione di matrici: Il prodotto $AB$ di una matrice $m \times n$ e una matrice $n \times p$ è una matrice $m \times p$. L'elemento $(i, j)$ di $AB$ è il prodotto scalare della $i$-esima riga di $A$ e della $j$-esima colonna di $B$.
• Trasposizione di matrici: La trasposta $A^T$ di una matrice $m \times n$ è una matrice $n \times m$ dove le righe di $A$ diventano le colonne di $A^T$ e viceversa.

Matrice Inversa

• Una matrice quadrata $A$ è invertibile se esiste una matrice $A^{-1}$ tale che $AA^{-1} = A^{-1}A = I$, dove $I$ è la matrice identità.
• $A^{-1}$ è chiamata l'inversa di $A$.

Determinante

• Il determinante di una matrice quadrata è uno scalare, indicato come $\det(A)$ o $|A|$.

Autovalori e Autovettori

• Un autovettore di una matrice quadrata $A$ è un vettore non nullo $v$ tale che $Av = \lambda v$ per un certo scalare $\lambda$.
• $\lambda$ è chiamato autovalore di $A$ associato a $v$.

Diagonalizzazione

• Una matrice quadrata $A$ è diagonalizzabile se esiste una matrice invertibile $P$ e una matrice diagonale $D$ tali che $A = PDP^{-1}$.
• La diagonalizzazione è usata per semplificare i calcoli.