Définition d'un espace vectoriel

Algèbre linéaire

Définition d'un espace vectoriel

• Un espace vectoriel réel est un ensemble E avec une addition et une multiplication scalaire.
• L'addition combine deux éléments u, v de E pour donner un élément u + v.
• La multiplication scalaire combine un réel λ et un élément u de E pour donner λu.
• Ces opérations doivent respecter huit axiomes.
• L'associativité de l'addition se définit par: (u + v) + w = u + (v + w).
• La commutativité de l'addition se définit par: u + v = v + u.
• L'élément neutre de l'addition est 0, tel que u + 0 = u.
• L'inverse additif de u est -u, tel que u + (-u) = 0.
• Compatibilité de la multiplication scalaire: λ(μu) = (λμ)u.
• Distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle: λ(u + v) = λu + λv.
• Distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition scalaire: (λ + μ)u = λu + μu.
• L'élément neutre pour la multiplication scalaire est 1, tel que 1u = u.

Exemples d'espaces vectoriels

• $\mathbb{R}^n$ est un espace vectoriel réel avec les opérations d'addition et de multiplication scalaire définies composante par composante.
• L'ensemble des fonctions réelles continues sur un intervalle $[a, b]$ forme un espace vectoriel réel.
• L'ensemble des polynômes à coefficients réels forme également un espace vectoriel réel.

Sous-espaces vectoriels

• Un sous-ensemble F d'un espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel si F est lui-même un espace vectoriel.
• Pour qu'un sous-ensemble F soit un sous-espace vectoriel, il doit être non vide.
• F doit être fermé sous l'addition : si u, v ∈ F, alors u + v ∈ F..
• F doit être fermé sous la multiplication scalaire : si λ ∈ $\mathbb{R}$ et u ∈ F, alors λu ∈ F.

Exemples de sous-espaces vectoriels

• L'ensemble des vecteurs de $\mathbb{R}^2$ de la forme (x, 0) est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.
• L'ensemble des fonctions paires est un sous-espace vectoriel de l'ensemble de toutes les fonctions réelles.

Combinaisons linéaires, enveloppe linéaire

• Une combinaison linéaire de vecteurs $v_1, v_2, ..., v_n$ est un vecteur de la forme : $\lambda_1v_1 + \lambda_2v_2 + ... + \lambda_nv_n$, où $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ sont des scalaires.
• L'enveloppe linéaire d'un ensemble de vecteurs S, notée span(S), est l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires possibles des vecteurs de S.
• L'enveloppe linéaire d'un ensemble de vecteurs S dans un espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel de E.

Physique

Travail et énergie

• Le travail et l'énergie sont des concepts fondamentaux en physique.

Travail

• Le travail est l'énergie transférée à ou depuis un objet par l'application d'une force le long d'un déplacement.

Travail réalisé par une force constante

• Le travail réalisé par une force constante est $W = Fd\cos\theta$.
• W est le travail, F est la force, d est le déplacement, et θ est l'angle entre la force et le déplacement.

Travail réalisé par une force variable

• Le travail réalisé par une force variable est $W = \int_{x_i}^{x_f} F(x) dx$.
• W est le travail, F(x) est la force en fonction de la position, $x_i$ et $x_f$ sont les positions initiale et finale.

Énergie

• L'énergie est la capacité de faire du travail.

Énergie cinétique

• L'énergie cinétique est l'énergie due au mouvement : $K = \frac{1}{2}mv^2$.
• K est l'énergie cinétique, m est la masse, et v est la vitesse.

Énergie potentielle

• L'énergie potentielle est l'énergie due à la position ou à la configuration.
• L'énergie potentielle gravitationnelle est: $U_g = mgh$ avec g étant l'accélération due à la gravité et h la hauteur.
• L'énergie potentielle élastique est: $U_e = \frac{1}{2}kx^2$ avec k étant la constante élastique et x la déformation.

Théorème travail-énergie

• Le théorème travail-énergie indique que le travail total est égal au changement de l'énergie cinétique : $W_{neto} = \Delta K = K_f - K_i.$
• $W_{neto}$ est le travail net, $\Delta K$ est la variation de l'énergie cinétique, $K_f$ et $K_i$ sont les énergies cinétiques finale et initiale.

Conservation de l'énergie

• La loi de conservation de l'énergie indique que l'énergie totale d'un système isolé reste constante.
• Dans un système isolé, l'énergie ne peut être ni créée ni détruite, mais transformée.
• L'expression de la conservation de l'énergie est: $E_i = E_f$ ou $K_i + U_i = K_f + U_f$ dans un système conservatif.

Puissance

• La puissance est le taux de réalisation du travail : $P = \frac{W}{t}$.
• La puissance peut s'exprimer en termes de force et de vitesse : $P = Fv\cos\theta$.
• Dans ces équations, P est la puissance et t est le temps.