Definiția și tipuri de matrice

Definiția matricei

• O matrice A este un tabel de numere reale de dimensiune m x n, aranjate în m rânduri și n coloane.
• $a_{ij}$ reprezintă elementul din rândul i și coloana j a matricei A.
• O matrice poate fi reprezentată ca $A = (a_{ij})_{m \times n}$, unde $1 \leq i \leq m$ și $1 \leq j \leq n$.

Tipuri de Matrice

Matrice Linie

• Are o singură linie (m = 1).
• Exemplu: $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \end{bmatrix}_{1 \times n}$

Matrice Coloană

• Are o singură coloană (n = 1).
• Exemplu: $A = \begin{bmatrix} a_{11} \ a_{21} \ \vdots \ a_{m1} \end{bmatrix}_{m \times 1}$

Matrice Pătrată

• Are același număr de rânduri și coloane (m = n).
• Exemplu: $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{bmatrix}_{n \times n}$

Diagonala Principală

• Este formată din elementele $a_{11}, a_{22}, a_{33}, \dots, a_{nn}$.

Diagonala Secundară

• Este formată din elementele $a_{1n}, a_{2(n-1)}, a_{3(n-2)}, \dots, a_{n1}$.

Matrice Nulă

• Toate elementele sunt egale cu zero.
• Exemplu: $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 \ 0 & 0 & \dots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \dots & 0 \end{bmatrix}_{m \times n}$

Matrice Identitate

• Este o matrice pătrată cu elementele de pe diagonala principală egale cu 1 și restul egale cu zero.
• Notată adesea cu $I_n$.
• Exemplu: $I_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \ 0 & 1 & \dots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \dots & 1 \end{bmatrix}_{n \times n}$

Matrice Diagonală

• Matrice pătrată cu toate elementele în afara diagonalei principale egale cu zero.
• Exemplu: $A = \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & \dots & 0 \ 0 & a_{22} & \dots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \dots & a_{nn} \end{bmatrix}_{n \times n}$

Matrice Transpusă

• Se obține prin schimbarea rândurilor cu coloanele matricei originale.
• Exemplu: $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \Rightarrow A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \ a_{12} & a_{22} \end{bmatrix}$

Matrice Simetrică

• Este o matrice pătrată care este egală cu transpusă ei ($A = A^T$).

Matrice Antisimetrică

• Este o matrice pătrată care este egală cu negativul transpusului ei ($A = -A^T$).