Curva Normal en Estadística

Curva Normal

• Los valores de  (media) y  (desviación estándar) determinan la posición y forma de la curva normal.
• El dominio de la función de densidad normal es infinito, y la distribución se extiende para todos los valores de x entre – y +.
• La curva se acerca al eje x a medida que x se aleja de , pero nunca lo toca.
• La probabilidad de que x tome un valor exacto xi es 0, por lo que se debe calcular la probabilidad en forma de intervalos o acumulada.

Propiedades de la Curva Normal

• La curva normal es simétrica con respecto a la media, lo que implica que las áreas bajo la curva son iguales desde – hasta  y desde  hasta .
• La curva normal es unimodal, es decir, tiene un solo pico.
• Si x e y son variables aleatorias con y = a + x, la varianza de y es la misma que la de x, y la media de y es la media de x más a.
• La suma de variables aleatorias normales independientes también es una variable normal. La esperanza de la suma es la suma de las esperanzas individuales, y la varianza es la suma de las varianzas individuales.

Modelo Normal Estándar

• La función de densidad normal para la variable desvío estandarizada (z) se utiliza para estandarizar la distribución normal.
• La función de acumulación permite calcular la probabilidad de que una variable normal tome un valor menor que un valor dado.

Distribución t de Student

• La distribución t de Student se utiliza para estimar la media poblacional cuando la desviación estándar poblacional es desconocida.
• La variable t se calcula como la razón de la variable normal estándar a la raíz cuadrada de una variable Chi Cuadrado dividida por su número de grados de libertad.
• La distribución t de Student es simétrica con respecto a 0, y su forma se parece a la de la curva normal estándar.

Esperanza Matemática

• La esperanza matemática de la suma algebraica de una variable aleatoria y una constante es igual a la esperanza de la variable más/menos la constante.
• La esperanza matemática de una suma de variables aleatorias independientes es igual a la suma de las esperanzas de cada variable.
• La esperanza matemática del producto de dos o más variables aleatorias independientes es igual al producto de las esperanzas de las variables.

Varianza

• La varianza es un parámetro que describe la dispersión de los valores de una variable alrededor de su media.
• La varianza de una constante es 0.
• La varianza de una constante multiplicada por una variable es igual al cuadrado de la constante por la varianza de la variable.
• La varianza de la suma o diferencia de dos variables aleatorias independientes es igual a la suma de las varianzas de cada variable.

Desviación Estándar

• La desviación estándar es la raíz cuadrada positiva de la varianza.
• Se calcula como la raíz cuadrada de la varianza.

Modelos Especiales de Probabilidad - Variables Aleatorias Discretas

• Un modelo probabilista permite deducir una distribución de probabilidades para estados subsiguientes basados en las condiciones iniciales.
• Los modelos probabilistas son aplicaciones matemáticas para situaciones del mundo real.

Modelo de Bernoulli

• Se aplica a una variable que puede tomar solo dos valores ("éxito" y "fracaso").
• La media de una variable aleatoria de Bernoulli es igual a la probabilidad de éxito (P), y la varianza es la probabilidad de éxito multiplicada por la de fracaso (PQ).

Modelo de Poisson

• Se utiliza para modelar eventos raros que ocurren de manera independiente en un intervalo de tiempo o espacio.
• El parámetro λ representa el número medio de eventos que ocurren en el intervalo.
• La distribución de Poisson es asimetricamente positiva, pero tiende a la simetría cuando el tamaño de la muestra aumenta.

Modelo Uniforme Discreto

• Se aplica a un experimento con N resultados mutuamente exclusivos e igual probabilidad.
• La distribución de probabilidades es constante para cada uno de los resultados.

Modelos Especiales de Probabilidad - Variables Aleatorias Continuas

• Los eventos continuos, como el tiempo entre llegadas o el error en una medición, se modelan usando variables aleatorias continuas.

Modelo Uniforme Continuo

• Se aplica a una variable que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo infinito.
• La función de densidad es constante dentro del intervalo.