Courbes paramétriques: Introduction

Courbes Paramétriques

• Une courbe est définie comme la trajectoire d'un point.
• Henri Bergson écrit en 1934 que toute forme a son origine dans le mouvement qui la trace et que la forme n'est que mouvement enregistré.

Courbes planes et gauches

• Une courbe est un ensemble à une dimension de points de l'espace.
• Une courbe plane est contenue dans un plan.
• Une courbe qui n'est pas contenue dans un plan est dite gauche.
• Exemples de courbes : la trajectoire d'une mouche volant autour d'une lampe, d'une feuille dans un tourbillon d'air
• L'étude du mouvement en fonction du temps fait l'objet la cinématique.
• La trajectoire d'un point forme une courbe.
• La position d'un point de la courbe peut s'exprimer en fonction du paramètre temps, mais d'autres paramètres peuvent être choisis.

Courbes définies comme la trajectoire d'un point : Ellipse

• La construction dite du jardinier utilise deux piquets et une ficelle.
• Elle exploite une propriété des foyers F et F' de l'ellipse.
• Tout point M de l'ellipse vérifie MF+MF'= Constante = L.
• Un paramètre suffit pour définir la position d'un point courant M.
• Par exemple t = Al/L.
• Ce paramètre varie entre 0 et 1 mais les points M n'existent que pour t compris entre NF/L et 1 - NF/L.

Equations d'une courbe plane

• Equation cartésienne : une équation entre x et y.
• Forme explicite : y =f(x).
• Forme implicite : f(x,y)=0.
• Exemple : équation d'un cercle de rayon R centré en O: x² + y² – R² = 0.
• Equations paramétriques : 2 équations, les coordonnées cartésiennes sont exprimées en fonction d'un paramètre.
• Les équations sont x = f(t) et y = g(t).
• Exemple : équations paramétriques d'un cercle de rayon R centré en O : x = R cos (α) et y = R sin (α), où le paramètre est l'angle α.
• Equations paramétriques d'une courbe plane : 2 équations avec un paramètre.
• Le paramètre t peut être interprété comme la variable temps en cinématique où la courbe est l'ensemble des points M d'une trajectoire en fonction du temps.
• Les coordonnées cartésiennes du point M sont : x = f(t) et y = g(t).
• Exemple: ellipse a des équations de x = a cos(t) et y = b sin(t) où a et b sont des constantes.

Equations paramétriques d'une courbe de l'espace

• 3 équations avec un paramètre.
• Le paramètre t peut être interprété comme la variable temps en cinématique où la courbe est l'ensemble des points M d'une trajectoire en fonction du temps.
• Les coordonnées cartésiennes du point M sont : x = f(t), y = g(t), et z = h(t).

Propriétés métriques des courbes

• 2.1 – Caractérisation locale des courbes planes.
• Continuité en un point, abscisse curviligne, tangente, normale, courbure.
• 2.2 – Caractérisation locale des courbes gauches.
• Continuité en un point, abscisse curviligne, trièdre de Frenet, courbure, torsion.
• Continuité en un point Mo : Continuité d'ordre 0.
• Pas de trou, le point M est localement entouré par d'autres points de la courbe.
  • Courbe continue en tout point sauf aux extrémités = courbe ouverte.
  • Courbe continue en tout point = courbe fermée.
  • Courbe discontinue mais localement continue.

Abscisse curviligne

• Abscisse curviligne : Longueur s de la courbe mesurée à partir d'une origine O.
• Tangente en un point Mo : Principe du calcul infinitésimal : discrétisation, tangente
• Dérivée de la fonction est obtenue par la limite du taux d'accroissement.
• La tangente en Mo est définie comme la position limite de la droite passant par Mo et un point infiniment proche Mo = (x0, y0) = (x0, f(x0)).
• La tangente en Mo comme coefficient directeur f'(xo).
• L'équation de la tangente en Mo est : y - f(x0) / x - Xo = f'(xo).
• Exemple : y =f(x) = x², f'(x) = 2x.
• Continuité tangentielle : La courbe reste localement du même côté de la tangente.
• Point d'inflexion : La courbe traverse sa tangente en ce point.
• La continuité d'ordre 1, traduit la continuité des dérivées. Elle est assurée si tous les points sont des points ordinaires ou d'inflexion.

Continuité

• Point de rebroussement : même direction de tangente
  • Si on parcourt la courbe, on effectue un demi tour brusque en ce point.
  • Point de rebroussement de première espèce, la courbe traverse la tangente.
  • Point de rebroussement de seconde espèce, la courbe est d'un seul côté de la tangente.
• Point anguleux : deux demi-tangentes de part et d'autre du point.
  • Il y a un angle différent de 0 ou π radians.
  • Pas de continuité tangentielle.
• Courbes non dérivables : Le flocon de Von Koch contient des courbes obtenues par un processus itératif et un passage à la limite.
  • C'est un exemple de courbe continue mais non dérivable en chacun de ses points.
  • C'est une Courbe de longueur infinie, fractale.
• Normale en un point Mo droite perpendiculaire à la tangente.
• Exemple : y=f(x) = x².
• La courbure d'une courbe plane mesure la limite du rapport de la variation de direction de la tangente à la variation de l'abscisse curviligne.
• Le rayon de courbure R est l'inverse de la courbure K soit : R = 1/K.
  • On peut définir le centre de courbure comme la position limite du point d'intersection des normales à la courbe de deux points infiniment proches
• Caractéristiques de la courbure en un point Mo: Cercle osculateur en un point Mo cercle qui épouse au mieux la courbe localement.
  • Centre de courbure centre du cercle osculateur.
  • Rayon de courbure rayon du cercle osculateur R.
  • Courbure : K = 1/R.
  • Mesure la limite du rapport de la variation de direction de la tangente à la variation de l'abscisse curviligne.
  • Les calculs relatifs à la courbure mobilisent des dérivées secondes.

Points caractéristiques sur une courbe plane

• Point de rebroussement (une seule tangente).
• Points d'inflexion (la courbe traverse sa tangente).
• Point anguleux (la courbe admet deux tangentes).
• Point d'intersection, cercles osculateurs.
• Normales à la courbe, support des centres de courbure.
• Tangentes à la courbe.
• Cc, Cf, Ch : Centres de courbures de la courbe aux points C, F et H.
• RC, Rf, Rh : Rayons de courbure de la courbe en C, F et H.
• Courbes planes définies par leur courbure :
  • Droite : Courbe à courbure nulle, K=0.
  • Cercle : Courbe à courbure constante non nulle, K= a (a =cste ≠ 0).
  • Clothoïde : Courbe dont la courbure est proportionnelle à l'abscisse curviligne s K= as (a =cste ≠ 0).
• La clothoïde est aussi appelée spirale de Cornu.

Propriétés métriques des courbes

• 2.2 – Caractérisation locale des courbes gauches.
• Abscisse curviligne : s.
• Fixons une origine O sur une courbe gauche ainsi qu'un sens de parcours.
• La mesure algébrique de la longueur de la courbe entre O et un point M de la courbe, définit l'abscisse curviligne notée s du point M.
• Tangente T : Position limite d'une sécante MM' lorsque M' tend vers M le long de la courbe.
• C'est aussi la direction de la trajectoire que suivrait un mobile astreint à se déplacer sur la courbe gauche à l'instant où il se trouverait libéré de cette astreinte (en supposant qu'il ne soit soumis à aucune force).
• On calcule le vecteur tangent T en un point en dérivant le vecteur position par rapport à la variable définissant sa position.
• Plan normal : Plan perpendiculaire en M à la tangente T.
  • Par M et dans ce plan passent une infinité de “normales” à la courbe (toutes les droites perpendiculaires à la tangente).
• Plan osculateur : Position limite, lorsque M' tend vers M le long de la courbe, du plan formé par la tangente en M et le point M'.
• C'est en fait le plan qui contient “au mieux” la courbe au voisinage de M, il varie le long de la courbe.
• Pour une courbe plane, le plan osculateur est le plan de la courbe.

Cercles et plans

• Cercle osculateur : Cercle situé dans le plan osculateur et dont le rayon est égal au rayon de courbure R.
• C'est le cercle qui « épouse » au mieux la projection de la courbe sur le plan osculateur en un point donné.
• Centre de courbure : centre du cercle osculateur.
• Rayon de courbure : rayon du cercle osculateur.
• Courbure : La courbure K d'une courbe gauche est égale à la courbure de sa projection (plane) sur le plan osculateur.
• La courbure est l'inverse du rayon de courbure K = 1/ R.
• La torsion d'une courbe gauche mesure la limite du rapport de la variation de direction du plan osculateur à la variation de longueur curviligne.
  • la torsion T est l'inverse du rayon de torsion T soit : T = 1/T = do/ds où do est l'angle de 2 plans osculateurs infiniment rapprochés et ds est la longueur curviligne entre 2 points infiniment voisins.
  • Normale principale N : C'est l'intersection du plan normal et du plan osculateur. Parmi toutes les normales en M, c'est celle qui est dans le plan osculateur.
• Binormale B : C'est la perpendiculaire commune à la tangente et à la normale principale.
  • Elle est dans le plan normal et perpendiculaire au plan osculateur.
  • Parmi toutes les normales, c'est celle qui est perpendiculaire au plan osculateur.
• Plan rectifiant : C'est le plan contenant la tangente et la binormale; il est perpendiculaire au plan osculateur et au plan normal.

Trièdre de Frenet

• Le trièdre de Frenet (aussi nommé Serret-Frenet) est un trièdre trirectangle formé des plans osculateur, normal et rectifiant.
• Le repère de Frenet (M, t, n, b) est trirectangle direct.
• t, n et b sont des vecteurs unitaires calculés en fonction de l'abscisse curviligne s.
• Pour une projection de la courbe sur le plan osculateur : la projection de la courbe est localement parabolique est définie par l'équation y = K , et la courbe ne traverse pas le plan rectifiant.
• Pour une projection de la courbe sur le plan rectifiant :
  • La projection de la courbe présente un point d'inflexion de tangente T et l'équation de courbe est z = -1/3 K T x³.
  • La courbe traverse son plan osculateur.
• Pour une projection de la courbe sur le plan normal : - La projection de la courbe présente un point de rebroussement (de première espèce) de tangente N et l'équation est z = √(2/3) y^(3/2) , et la courbe traverse son plan osculateur.
• Exemple: hélice droite caractérisée par rayon : R, pas de l'hélice : p, distance parallèle à l'axe parcourue en 1 tour, et z est proportionnel à a.
  • Courbure K = constante ≠ 1/R.
  • Torsion T = constante ≠ 0 (sinon la courbe serait plane).

Courbes de Bézier

• Développées dans le domaine de la CAO, indépendamment par Paul de CASTELJAU à partir de 1959 pour la société Citroën et par Pierre BÉZIER à partir de 1962 pour Renault (système UNISURF).
• Les Splines sont développées par Ferguson pour Boeing et par de Boor et Godon pour General Motors.
• Elles ont été utilisées pour dessiner des carènes et sont devenues un outil pour 'designers'.
• La plupart des objets de la vie courante, moulés, en plastique, usinés, sont dessinés ainsi.
• Sont construites géométriquement par un processus itératif à partir d'un polygone de contrôle (ou polygone descripteur) reliant n points (P1, P2 .... P₁) appelés ponts de contrôles (ou pôles).
• Le processus (algorithme de Casteljau) consiste à diviser chaque segment du polygone dans un rapport constant t (t compris entre 0 et 1 pour que le point résultant soit sur le segment).
• On obtient ainsi un nouveau polygone en reliant les n-1 points résultants.
• L'opération est répétée sur le nouveau polygone jusqu'à obtenir un unique segment et un unique point P(t) appelé point courant.
• La courbe de Bézier est l'ensemble des points P(t) pour t compris entre 0 et 1.
• Une courbe de Bézier est définie par un polygone de contrôle.
• Si le polygone est défini par trois points, P1, P2 et P3, la courbe obtenue est une portion de parabole.
• Si une courbe de Bézier a 3 points de contrôle, c'estune portion de parabole.
• Si une courbe de Bézier a 4 pôles P1, P2 P3 et P4 est construite comme lieu du point courant P(t).
• Les segments extrêmes et celui portant le point courant sont tangents à la courbe.
• Le paramètre t est défini par la donnée du point P12 sur le segment P1P2.
• Les pôles P1, P2, P3 et P4 ainsi que le point P12 peuvent être déplacés sur la figure.
• Soit n+1 pôles P₀ à Pₙ est de degré n.
• L'expression paramétrique de la courbe de Bézier correspondante est: P(t) = C₀ⁿ (1-t)ⁿ P₀+ C₁ⁿ t(1-t)ⁿ⁻¹ P₁+ ... +Cᵢⁿ tⁱ (1-t) ⁿ⁻ⁱ Pᵢ+ ... + Cₙⁿ tⁿ Pₙ
• Rappel: Cₚⁿ= n!/(p!(n-p)!)
• En introduisant les polynômes de Bernstein de degré n, définis pour tout i compris entre 0 et n par : Bᵢⁿ (t) = Cᵢⁿ tⁱ (1-t) ⁿ⁻ⁱ
• On a l'écriture de suivante : (P(t) = Σ(i=0à n) Bᵢⁿ(t)Pᵢ

NURBS : Non-Uniformal Rational B-Splines

• B-splines non uniformes rationnelles.
• A la suite des courbes de Bézier et des splines, des formulations paramétrées plus complexes, permettant une gestion des continuité de degrés élevée ont été développées.
• Les NURBS constituent une approche largement partagée par de nombreux logiciels de l'industrie et du design.
• La projection centrale (perspective) d'une NURBS est la courbe définie par la projection du descripteur.
• On peut donc générer la transformation perspective conique d'une courbe en appliquant cette transformation aux seuls points de contrôle.
• Les NURBS (contrairement aux courbes non rationnelles) peuvent définir précisément n'importe quelle section conique.
• L'interpolation consiste à chercher une courbe passant exactement par les points connus d'une courbe donnée.
• Pour faire passer une courbe par n points l'ordre de passage doit être déterminé.
• On peut définir une NURBS passant par une liste ordonnée de points.
• La courbe obtenue est une interpolation, par une fonction particulière de type NURBS.
• Ainsi, si l'on obtient une série de points par un calcul de fonction f, la fonction obtenue par la NURBS ne sera pas rigoureusement identique à la fonction f.
• Plus le nombre de points est grand, plus l'interpolation est précise et plus la NURBS est proche de f.