Courant Périodique: Définitions et Concepts Clés

Différentes formes de courants (et de tension)

• Dans l'ensemble des formes de courants, une première partition distingue les courants unidirectionnels et bidirectionnels.
• Une seconde partition distingue les courants périodiques et non périodiques.
• Un courant est périodique si son intensité reprend la même valeur à intervalles de temps égaux.
• La période d'un courant périodique est la durée constante qui sépare deux instants consécutifs où le courant se reproduit identiquement.
• La période est une durée (un temps), elle s'exprime en seconde (symbole T).

Fréquence

• Elle est le nombre de fois qu'un courant périodique se produit identiquement en une seconde.
• Elle se calcule par la formule f = 1/T et s'exprime en Hertz (Hz).

Définitions des courants alternatifs

• Un courant est alternatif s'il change de sens au cours du temps t.
• Il est périodique si son intensité i reprend la même valeur à des intervalles de temps égaux à T.
• On a alors i = f(t) = f(t + nT), où n est un nombre entier, T est la période et f est la fréquence.

Courant alternatif symétrique

• C'est un courant périodique dont la valeur moyenne est nulle.
• Les deux aires hachurées sont égales et superposables.
• Les courbes A et B de la première et deuxième demi-période sont identiques.
• Ce sont les deux alternances du courant (A : alternance positive, B : alternance négative).
• Si io est l'intensité du courant à l'instant to, une demi-période plus tard, l'intensité est i(to+T/2) = -i(to).

Courant sinusoïdal

• Le régime sinusoïdal est un régime harmonique jouant un rôle considérable en électronique linéaire.
• La forme du signal sinusoïdal est la seule qui se conserve à la traversée d'un système linéaire.
• L'intégrale ou la dérivée d'une sinusoïde reste toujours une sinusoïde avec une amplitude et une phase qui peuvent varier.
• La théorie de Fourier montre que tout signal peut être décomposé en une somme infinie de signaux sinusoïdaux.
• Le signal sinusoïdal est très répandu car il est facile à produire.

Régime sinusoïdal

• Le signal sinusoïdal est un signal périodique particulier dont la loi d'évolution s'exprime à l'aide des fonctions « Sinus ».
• Un réseau linéaire fonctionne en régime sinusoïdal ou harmonique si ses tensions et courants ont pour expressions algébriques : s(t) = SMaxsin(wt + φ).
• SMax représente la valeur crête à crête de s(t).
• SMax est l'amplitude maximale ou crête du signal s(t) en Volt [V].
• wt + φ représente la phase instantanée, exprimée en radian [Rad] et parfois en [degré].
• w est la pulsation (vitesse angulaire) du signal.
• La pulsation est reliée à la fréquence et à la période T par : ω = 2πf = 2π/T.
• Elle est exprimée en radian par seconde [Rad/s] et f: fréquence en Hertz (Hz).
• φ: est la phase à l'origine (à t = 0) exprimée en radian [Rad] ou en [degré].

Valeur efficace

• On appelle valeur efficace d'une grandeur périodique la racine moyenne du carré de cette grandeur calculée sur une période.
• Par exemple, Sef² = (1/T)∫0T s²(t) dt = (1/T)∫0T SMax² sin²(wt+φ) dt = SMax/√2
• Les expressions efficaces de la tension et du courant en régime sinusoïdal sont :
  • Courant: I = IMax/√2
  • Tension: U = UMax/√2
• La valeur efficace est celle indiquée par les voltmètres et les ampèremètres.

Valeur moyenne

• On appelle valeur moyenne d'une grandeur périodique de période T le résultat : SMoy = (1/T)∫0T s(t) dt = (1/T)∫0T SMax sin(wt + φ) dt = 0
• Pour un signal sinusoïdal (tension ou courant), la valeur moyenne est nulle.

Systèmes de phase

• En courant alternatif, on distingue le fil neutre (référence de tension) et le(s) fil(s) de phase (transport du courant).
• Systèmes de courant alternatif :
  • Monophasé : système le plus courant pour les réseaux domestiques (phase et neutre).
  • Biphasé : ancien système rare (deux fils de phase, pas de neutre).
  • Triphasé : utilisation pour le transport de fortes puissances (trois fils de phase et un neutre).

Production des courants sinusoïdaux

• Les courants sinusoïdaux peuvent être produits de plusieurs manières.
• Pour une puissance importante, on utilise des générateurs basés sur l'induction électromagnétique.
• Une bobine à N spires tournant autour de l'axe z'z à la vitesse angulaire constante ω dans un champ magnétique uniforme B perpendiculaire à z'z, induit une f.é.m. : e = dø/dt = ωØm sin(wt) = Em sin(wt).
• Il en résulte une différence de potentiel ou tension sinusoïdale u(t) de pulsation ω aux bornes de la bobine.

Lois d'Ohm en courant alternatif sinusoïdal

• Elles s'appliquent au courant alternatif sinusoïdal et s'expriment à chaque instant : UA - UB = Ri, UA - UB = L(di/dt), UA - UB = (1/C) ∫ i dt.

Représentation d'une grandeur sinusoïdale

• Pour faciliter les calculs, on associe à une grandeur sinusoïdale un vecteur tournant dans un plan.
• Projection de ce vecteur sur un des deux axes peut donner accès à la grandeur considérée.
• La représentation peut être graphique (Fresnel) ou analytique.
• À tout vecteur on peut associer un nombre complexe dont la partie réelle est égale à une composante de ce vecteur et la partie imaginaire à l'autre composante dans un repère orthonormé.
• Le vecteur de Fresnel associé à un signal sinusoïdal est un vecteur tournant dont :
  • La vitesse angulaire est la pulsation du signal.
  • La norme est l'amplitude du signal.
  • L'angle polaire est la phase instantanée du signal.
• La valeur algébrique du signal est donnée par la projection du vecteur tournant sur l'axe vertical.

Diagramme de Fresnel

• Lorsque l'on compose des signaux de même période, on ne s'intéresse qu'aux déphasages relatifs.
• Notation : I = I∠φ.

Composition de deux vibrations sinusoïdales

• Considérons deux mouvements vibratoires parallèles de même fréquence angulaire w : x₁ = A₁ cos (wt + φ₁) et x₂ = A₂ cos (ωt + φ₂).
• À un instant t, ces vibrations sont représentées par OA₁ et OA₂.
• Ces derniers représentent les projections sur ox des vecteurs OM₁ et OM₂ tournant à la même vitesse ω.

Représentation complexe ou symbolique

• La méthode complexe est largement utilisée en théorie des circuits électriques en régime de courant sinusoïdal.

• On remplace les équations analytiques des valeurs instantanées par des équations algébriques basées sur les quantités complexes du courant et de la tension.

• Pour une équation écrite d'après la loi des nœuds et des mailles pour un régime permanent (courant continu), on remplace la valeur instantanée du courant i par l'amplitude complexe I et la tension u par l'amplitude complexe Û.

• Soit Z ∈ C (C: espace en deux dimensions des nombres complexes), on peut écrire : Z = a + jb, avec j le nombre complexe unité tel que j² = -1.

• La norme (ou module) du complexe z s'écrit: r = |Z| = √(a² + b²).

• La projection du module sur les axes donne : a = rcosθ et b = rsinθ.

• L'écriture polaire du nombre complexe z est : Z = a + jb = r(cosθ + jsinθ) = rejθ.

• θ est l'argument de Z, et on écrit : θ = Arg(Z) = Arctan (b/a).

• Le symbole j placé devant la partie imaginaire d'un nombre complexe représenté sous forme algébrique signifie que la partie imaginaire est tournée de l'angle π/2 par rapport à la partie réelle dans le plan complexe.

• Le nombre complexe Z peut être représenté sous forme algébrique, exponentielle ou trigonométrique: - Algébrique : Z = a + jb - Exponentielle: Z = Zejθ - Trigonométrique : Z = Z(cosθ + jsinθ)

• Relations utiles pour les calculs :

• ej^(±π/2) = cos(π/2) ± jsin(π/2) = ±j

• e^(±jπ) = cosπ ± jsinπ = -1

• e^(±j2π) = cos2π ± jsin2π = 1

• Soient deux nombres complexes A = a₁ + ja₂ et B = b₁ + jb₂ avec pour modules et arguments respectifs A, B, α et β :

  • C = A + B = (a₁ + b₁) + j(a₂ + b₂)
  • C = A * B = Aejα * Bejβ = ABej(α+β)
  • C = A/B = (A/B)ej(α-β)

Ce module explore les caractéristiques du courant périodique, y compris sa définition, sa période et sa fréquence. Il aborde également les courants unidirectionnels, les courants alternatifs et la production de courants sinusoïdaux. Des formules clés reliant la fréquence et la période sont expliquées.