02: Correttezza e terminazione
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Questions and Answers

Qual è la definizione di correttezza totale di un algoritmo?

  • L'algoritmo deve terminare sempre.
  • L'algoritmo può avere bug.
  • L'algoritmo deve fornire l'output corretto per ogni input. (correct)
  • L'algoritmo deve essere scritto senza errori di sintassi.

    • Un algoritmo è considerato parzialmente corretto se termina sempre.

    False

    Qual è il termine inventato da Edison che si riferisce a piccoli errori nei programmi?

    Bug

    Un algoritmo deve essere ____ se fornisce l'output corretto solo se termina.

    <p>parzialmente corretto</p> Signup and view all the answers

    Abbina gli eventi storici ai loro errori:

    <p>Mariner 1 = Errore nel software di controllo del volo Ariane 5 = Errore di conversione dei dati Pentium = Divisioni in virgola mobile errate Therac-25 = Eccessive dosi di raggi X</p> Signup and view all the answers

    Quale delle seguenti affermazioni sui bug è vera?

    <p>I bug possono avere conseguenze devastanti.</p> Signup and view all the answers

    La verifica degli algoritmi è fondamentale per garantire la loro correttezza.

    <p>True</p> Signup and view all the answers

    Cosa dovrebbe fare un 'verificatore ideale' riguardo a un algoritmo?

    <p>Dovrebbe determinare se l'algoritmo è corretto per un dato problema.</p> Signup and view all the answers

    Quale affermazione descrive meglio l'algoritmo presentato?

    <p>L'algoritmo sposta sempre un disco alla volta.</p> Signup and view all the answers

    Qual è il primo passo per risolvere il problema con n dischi?

    <p>Spostare n-1 dischi dal piolo sorgente al piolo d'appoggio</p> Signup and view all the answers

    Il caso base per il problema della Torre di Hanoi si verifica quando n è uguale a 0.

    <p>False</p> Signup and view all the answers

    L'algoritmo di Hanoi è corretto solo per valori di n maggiori di 1.

    <p>False</p> Signup and view all the answers

    Qual è la condizione di partenza per il problema della divisione intera?

    <p>a ≥ 0, b &gt; 0</p> Signup and view all the answers

    Quanti dischi vengono spostati direttamente in una mossa dal piolo sorgente al piolo destinazione?

    <p>1</p> Signup and view all the answers

    Per risolvere il problema della Torre di Hanoi, bisogna muovere i dischi dal piolo sorgente al piolo __________.

    <p>destinazione</p> Signup and view all the answers

    Dopo aver spostato il disco 1 da A a C, la situazione sui pioli diventa _____, n - 1, 1.

    <p>0</p> Signup and view all the answers

    Abbina i passaggi dell'algoritmo con le loro descrizioni:

    <p>Spostare n-1 dischi = Dal piolo d'appoggio al piolo destinazione Spostare 1 disco = Dal piolo sorgente al piolo destinazione</p> Signup and view all the answers

    Abbina i seguenti elementi all'algoritmo di Hanoi:

    <p>Caso base = n=1 Passo induttivo = L'algoritmo è corretto per n dischi MoveTower = Sposta dischi tra i pioli Precondizioni = a ≥ 0, b &gt; 0</p> Signup and view all the answers

    Quale delle seguenti affermazioni è vera?

    <p>Il disco più grande deve essere sempre in basso</p> Signup and view all the answers

    Qual è l'ipotesi induttiva nell'algoritmo di Hanoi?

    <p>L'algoritmo è corretto per n-1 dischi.</p> Signup and view all the answers

    È possibile muovere un disco più grande su uno più piccolo nel problema della Torre di Hanoi.

    <p>False</p> Signup and view all the answers

    La precondizione a ≥ 0, b > 0 è necessaria per un algoritmo di divisione intera.

    <p>True</p> Signup and view all the answers

    Cosa si verifica con l'algoritmo quando a < b?

    <p>l'algoritmo restituisce q = 0, r = a.</p> Signup and view all the answers

    Quale piolo viene utilizzato come appoggio nel caso di 3 dischi?

    <p>Il piolo B</p> Signup and view all the answers

    Quale delle seguenti affermazioni descrive correttamente le precondizioni per il problema della divisione intera?

    <p>a ≥ 0, b &gt; 0 numeri interi</p> Signup and view all the answers

    Le postcondizioni per il problema della divisione intera affermano che il risultato deve sempre essere un numero negativo.

    <p>False</p> Signup and view all the answers

    Che cosa rappresenta l'ipotesi induttiva in un metodo di induzione?

    <p>Una proprietà che si suppone vera per un certo valore di n.</p> Signup and view all the answers

    La somma dei numeri dispari da 1 a n è pari a n^2. Questo può essere scritto come __________.

    <p>Σ(2k - 1) = n^2</p> Signup and view all the answers

    Abbina i seguenti termini con le loro descrizioni:

    <p>Precondizioni = Condizioni necessarie prima di eseguire un algoritmo Postcondizioni = Condizioni che devono essere soddisfatte dopo l'esecuzione di un algoritmo Caso base = Condizione iniziale in un metodo induttivo Passo induttivo = Fase in cui si verifica la validità della proprietà per n+1</p> Signup and view all the answers

    Qual è l'obiettivo principale della verifica di un algoritmo?

    <p>Controllare se l'algoritmo soddisfa le specifiche del problema</p> Signup and view all the answers

    Il passo induttivo può essere formulato anche come P(n - 1) ⇒ P(n).

    <p>True</p> Signup and view all the answers

    Qual è la condizione per il caso base nella induzione semplice?

    <p>P(0) deve essere vera.</p> Signup and view all the answers

    Qual è il caso base dell'induizione completa nel teorema riguardante i numeri primi?

    <p>n = 2</p> Signup and view all the answers

    Ogni numero naturale n ≥ 2 può essere espresso come un prodotto di numeri primi.

    <p>True</p> Signup and view all the answers

    Qual è l'obiettivo principale della dimostrazione per induzione completa?

    <p>Dimostrare che una proprietà vale per ogni n ≥ 0.</p> Signup and view all the answers

    Il passo induttivo afferma che se la proprietà vale per n, allora vale per n + ______.

    <p>1</p> Signup and view all the answers

    Abbina i seguenti concetti con le loro definizioni:

    <p>Caso base = Valido per n = 2 Passo induttivo = Se vale per n allora vale anche per n + 1 Ipotesi induttiva = La proprietà vale fino a k Numero primo = Numero maggiore di 1 che ha solo due divisori</p> Signup and view all the answers

    Quale delle seguenti affermazioni riguardo ai numeri naturali è corretta?

    <p>Ogni numero naturale maggiore di 1 è o un numero primo o può essere espresso come prodotto di numeri primi.</p> Signup and view all the answers

    L'algoritmo delle torri di Hanoi può essere dimostrato attraverso l'induzione completa.

    <p>True</p> Signup and view all the answers

    L'ipotesi induttiva è spesso rappresentata come P (0) ∧ P (1) ∧ ... ∧ P ______.

    <p>k</p> Signup and view all the answers

    Study Notes

    Correttezza (e Terminazione)

    • Obiettivi: Introduzione dell'analisi qualitativa degli algoritmi tramite tecniche di verifica, come induzione e invarianti.
    • Argomenti: Bug, correttezza (totale e parziale), verifica, pre- e post-condizioni, induzione (semplice e completa), verifica di algoritmi ricorsivi, invarianti di ciclo, verifica di algoritmi e terminazione.

    Bug, Correttezza, Verifica, Pre- e Postcondizioni

    • Bug: Errori inevitabili in qualsiasi processo, specialmente software.
    • Conseguenze: Possono avere conseguenze devastanti, come nel caso della sonda Mariner 1, TV nel Quebec, un sistema computerizzato sovietico, il processore Pentium, Ariane 5, passaporti errati distribuiti dalle poste inglesi, il Bug del millennio.
    • Correttezza (totale): Un algoritmo è corretto se per ogni input fornisce l'output corretto.
    • Correttezza (parziale): Un algoritmo è parzialmente corretto se, per ogni input che fa terminare l'esecuzione, fornisce l'output corretto.
    • Verifica di algoritmi: Controllare se soddisfano le specifiche del problema che intendono risolvere. Le specifiche sono descritte dalle precondizioni e le postcondizioni.
    • Precondizioni: Condizioni che devono essere vere prima che l'algoritmo venga eseguito.
    • Postcondizioni: Condizioni che devono essere vere dopo che l'algoritmo è terminato.

    Induzione Semplice e Completa

    • Schema Induzione Semplice: Sia P(n) una proprietà che dipende da una variabile intera n. Se P(0) è vera e P(n) implica P(n+1), allora P(n) è vera per ogni n >= 0.
    • Schema Induzione Completa: Sia P(n) una proprietà che dipende da una variabile intera n. Se P(0), P(1), ..., P(k) sono vere per un certo k, e P(0), P(1), ..., P(n) implica P(n+1), allora P(n) è vera per ogni n >= 0.

    Dimostrazione di Correttezza di Algoritmi Ricorsivi con Induzione

    • Torre di Hanoi: Problema di spostare dischi da un piolo ad un altro con regole specifiche.
    • Algoritmo Ricorsivo: Risolve il problema spostando ricorsivamente i dischi.

    Dimostrazione di Correttezza di Algoritmi Iterativi con Invarianti

    • Invariante di Ciclo: Proposizione che continua a valere prima e dopo l'esecuzione del corpo di un ciclo.
    • Esempio: Calcolo iterativo di numeri di Fibonacci, e calcolo di polinomi tramite Horner.

    Terminazione

    • Terminazione di Algoritmi: Un algoritmo termina correttamente se raggiunge il risultato in un tempo finito per ogni input.
    • Algoritmi Terminanti: Algoritmi che hanno una certa condizione per assicurare la terminazione.
    • Algoritmi Non Terminanti: Algoritmi che potrebbero non terminare a causa delle loro condizioni.

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    Description

    Questo quiz esplora la correttezza degli algoritmi attraverso tecniche di verifica, comprese le pre- e post-condizioni, l'induzione e gli invarianti. Scoprirai anche l'impatto dei bug nel software e le conseguenze delle loro mancanze, trattando anche esempi storici significativi. Preparati a mettere alla prova le tue conoscenze sulle tecniche di verifica degli algoritmi.

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