Coordenadas Homogéneas
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Questions and Answers

¿Cuál es el espacio donde se cumple el quinto postulado de Euclides?

  • Espacio elíptico
  • Espacio hiperbólico
  • Plano cartesiano
  • Espacio euclídeo (correct)

¿Qué geometría se desarrolla sobre el plano hiperbólico?

  • Geometría euclidiana
  • Geometría elíptica
  • Geometría hiperbólica (correct)
  • Geometría riemanniana

¿Cuál es la característica de la curvatura en la geometría euclidiana?

  • Curvatura cero (correct)
  • Curvatura positiva
  • Curvatura infinita
  • Curvatura negativa

¿Qué pasa con las rectas en la geometría elíptica?

<p>Se cortan en un punto (D)</p> Signup and view all the answers

¿Quiénes desarrollaron la geometría hiperbólica?

<p>Gauss, Lobachevsky y Bolyai (A)</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es la característica de la curvatura en la geometría hiperbólica?

<p>Curvatura negativa (B)</p> Signup and view all the answers

¿Qué pasa con las rectas paralelas en la geometría euclidiana?

<p>Existe una y solo una (A)</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es la característica de la curvatura en la geometría elíptica?

<p>Curvatura positiva (C)</p> Signup and view all the answers

Qu operacin se aplica sobre una figurawhenencadenandotransformaciones?

<p>Concatenacin (B)</p> Signup and view all the answers

Cul es el resultado de la concatenacin de dos matrices de translacin?

<p>Una matriz de translacin (C)</p> Signup and view all the answers

Cmo se aplica una rotacin respecto a un punto fuera del origen?

<p>Traslacin al origen, rotacin y luego translacin al punto original (D)</p> Signup and view all the answers

Cul es el resultado de la concatenacin de dos matrices de escalado?

<p>Una matriz de escalado (B)</p> Signup and view all the answers

Cmo se aplica un escalado respecto a un punto fijo?

<p>Traslacin al origen, escalado y luego translacin al punto fijo (A)</p> Signup and view all the answers

Qu operacin se utiliza para obtener una reflexin?

<p>Rotacin de 180 (D)</p> Signup and view all the answers

Cul es el propsito de las coordenadas del mundo?

<p>Definir la posicin de un objeto en el espacio (A)</p> Signup and view all the answers

Qu se obtiene al concatenar dos matrices de rotacin?

<p>Una matriz de rotacin (A)</p> Signup and view all the answers

Cul es el resultado de la concatenacin de una translacin y una rotacin?

<p>Una matriz que combina translacin y rotacin (C)</p> Signup and view all the answers

Cmo se transforman las coordenadas del mundo en coordenadas del dispositivo?

<p>Depende del contexto y la aplicacin (C)</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es la propiedad general de una transformación afín?

<p>Las líneas paralelas se transforman en líneas paralelas (C)</p> Signup and view all the answers

¿Qué tipo de transformación se llama transformación afín?

<p>Una transformación de coordenadas que es una función lineal (C)</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es el nombre de las cinco transformaciones que se pueden componer para obtener una transformación afín?

<p>Traslación, rotación, cambio de escala, reflexión e inclinación (C)</p> Signup and view all the answers

¿Qué propiedad conserva una transformación afín que contiene solo traslación, rotación y reflexión?

<p>Los ángulos, las longitudes y las líneas paralelas (B)</p> Signup and view all the answers

¿Qué autor es mencionado en la fuente de la información?

<p>Hearn &amp; Baker (A)</p> Signup and view all the answers

¿Qué página del libro de Hearn & Baker se menciona?

<p>Página 314 (A)</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es la ventaja de representar puntos en coordenadas homogéneas?

<p>Facilita las operaciones de transformación geométrica (C)</p> Signup and view all the answers

¿Cómo se puede representar un punto en coordenadas homogéneas?

<p>Mediante cualquier conjunto de coordenadas (x, y, z) (D)</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es la forma abreviada de la ecuación de transformación para una traslación?

<p>P' = T(dx, dy) · P (D)</p> Signup and view all the answers

¿Qué es la concatenación en transformaciones geométricas?

<p>La aplicación sucesiva de transformaciones geométricas (B)</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es la forma de la matriz de transformación para una rotación?

<p>∙[cos(θ) -sin(θ) 0]∙[x y 1] (B)</p> Signup and view all the answers

¿Qué es la representación en coordenadas homogéneas de un punto en un espacio n-dimensional?

<p>Un punto en un espacio (n+1)-dimensional (C)</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es la forma abreviada de la ecuación de transformación para un cizallamiento?

<p>P' = C(cx) · P (B)</p> Signup and view all the answers

¿Qué resultado se obtiene al aplicar consecutivamente varias transformaciones geométricas?

<p>Una transformación geométrica equivalente (A)</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es el sistema de coordenadas más común utilizado?

<p>Dextrógiro (B)</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es el nombre del problema que se refiere a determinar la posición y orientación del extremo del robot?

<p>Problema cinemático directo (D)</p> Signup and view all the answers

¿Qué es el mundo en el contexto de la visualización 3D?

<p>El escenario en el que se construye la escena (A)</p> Signup and view all the answers

¿Qué es el modelo (local) en el contexto de la visualización 3D?

<p>El objeto que se describe en la escena (B)</p> Signup and view all the answers

¿Qué es la dirección de visión en el contexto de la cámara?

<p>La dirección en la que se enfoca la cámara (B)</p> Signup and view all the answers

¿Qué es el problema cinemático inverso?

<p>Determinar la configuración del robot para una posición y orientación del extremo (C)</p> Signup and view all the answers

¿Qué es la pantalla (device) en el contexto de la visualización 3D?

<p>El monitor en el que se muestra la escena (C)</p> Signup and view all the answers

¿Qué es un ejemplo de transformación geométrica?

<p>Un giro en 3D (C)</p> Signup and view all the answers

Study Notes

Espacio Euclídeo

  • El espacio euclídeo se determina por la geometría euclídea.
  • El axioma fundamental de Euclides establece que por un punto exterior a una recta puede trazarse una y solo una recta paralela.
  • Cualquier segmento se puede considerar parte de una línea infinita.
  • Es posible construir un círculo de radio cualquiera y con centro en cualquier punto.

Geometría Hiperbólica

  • Se desarrolla sobre el plano hiperbólico, que es equivalente topológicamente a una semiesfera.
  • Los puntos del infinito son equivalentes a los del círculo máximo de la semiesfera.
  • En un espacio hiperbólico, se pueden trazar al menos dos rectas paralelas a una dada por un punto exterior a la misma.
  • No se cumple el quinto postulado de Euclides.

Geometría Elíptica

  • En el plano elíptico, todos los puntos se consideran equivalentes a los del infinito.
  • Todas las rectas se cortan en un punto.
  • No se pueden trazar rectas paralelas a una dada.
  • No cumple el quinto postulado de Euclides.

Coordenadas Homogéneas

  • Un conjunto preferido para representar en coordenadas homogéneas es el conjunto (x, y, 1) o, como vector [x y 1].
  • Las matrices de transformación son ahora de 3x3.
  • En general, la representación mediante coordenadas homogéneas de la localización de sólidos en un espacio n-dimensional se realiza a través de coordenadas de un espacio (n+1)-dimensional.

Transformaciones Geométricas

  • La aplicación consecutiva de transformaciones geométricas se denomina concatenación.
  • El resultado es otra transformación geométrica equivalente.
  • La concatenación de traslaciones, escalados, cizallamientos y rotaciones se representa mediante la multiplicación de matrices.

Concatenación de Transformaciones

  • La concatenación de traslaciones es aditiva.
  • La concatenación de escalados es multiplicativa.
  • La concatenación de rotaciones no es aditiva, sino que se combina mediante la fórmula de la rotación compuesta.

Rotaciones

  • Rotar la figura respecto de un punto fuera del origen se logra mediante la composición de una traslación, una rotación y otra traslación.
  • La rotación respecto a un punto fijo se puede expresar mediante una matriz de rotación.

Reflexiones

  • Una reflexión se obtiene como una rotación de 180º con respecto al eje de reflexión.

Coordenadas del Mundo

  • La transformación de coordenadas del mundo a coordenadas del dispositivo se logra mediante una composición de transformaciones afines.

Transformaciones Afinas

  • Una transformación afín es una función lineal que conserva las líneas paralelas y los puntos finitos.
  • Todas las transformaciones afines se pueden expresar como una composición de traslaciones, rotaciones, cambios de escala y reflexiones.
  • Una transformación afín que contiene solo traslación, rotación y reflexión conserva los ángulos, las longitudes y las líneas paralelas.

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Description

Aprende a representar puntos en un plano utilizando coordenadas homogéneas y descubre los conjuntos preferidos para esta representación.

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