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Coordenadas Homogéneas

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Questions and Answers

¿Cuál es el espacio donde se cumple el quinto postulado de Euclides?

Espacio euclídeo

¿Qué geometría se desarrolla sobre el plano hiperbólico?

Geometría hiperbólica

¿Cuál es la característica de la curvatura en la geometría euclidiana?

Curvatura cero

¿Qué pasa con las rectas en la geometría elíptica?

<p>Se cortan en un punto</p> Signup and view all the answers

¿Quiénes desarrollaron la geometría hiperbólica?

<p>Gauss, Lobachevsky y Bolyai</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es la característica de la curvatura en la geometría hiperbólica?

<p>Curvatura negativa</p> Signup and view all the answers

¿Qué pasa con las rectas paralelas en la geometría euclidiana?

<p>Existe una y solo una</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es la característica de la curvatura en la geometría elíptica?

<p>Curvatura positiva</p> Signup and view all the answers

Qu operacin se aplica sobre una figurawhenencadenandotransformaciones?

<p>Concatenacin</p> Signup and view all the answers

Cul es el resultado de la concatenacin de dos matrices de translacin?

<p>Una matriz de translacin</p> Signup and view all the answers

Cmo se aplica una rotacin respecto a un punto fuera del origen?

<p>Traslacin al origen, rotacin y luego translacin al punto original</p> Signup and view all the answers

Cul es el resultado de la concatenacin de dos matrices de escalado?

<p>Una matriz de escalado</p> Signup and view all the answers

Cmo se aplica un escalado respecto a un punto fijo?

<p>Traslacin al origen, escalado y luego translacin al punto fijo</p> Signup and view all the answers

Qu operacin se utiliza para obtener una reflexin?

<p>Rotacin de 180</p> Signup and view all the answers

Cul es el propsito de las coordenadas del mundo?

<p>Definir la posicin de un objeto en el espacio</p> Signup and view all the answers

Qu se obtiene al concatenar dos matrices de rotacin?

<p>Una matriz de rotacin</p> Signup and view all the answers

Cul es el resultado de la concatenacin de una translacin y una rotacin?

<p>Una matriz que combina translacin y rotacin</p> Signup and view all the answers

Cmo se transforman las coordenadas del mundo en coordenadas del dispositivo?

<p>Depende del contexto y la aplicacin</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es la propiedad general de una transformación afín?

<p>Las líneas paralelas se transforman en líneas paralelas</p> Signup and view all the answers

¿Qué tipo de transformación se llama transformación afín?

<p>Una transformación de coordenadas que es una función lineal</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es el nombre de las cinco transformaciones que se pueden componer para obtener una transformación afín?

<p>Traslación, rotación, cambio de escala, reflexión e inclinación</p> Signup and view all the answers

¿Qué propiedad conserva una transformación afín que contiene solo traslación, rotación y reflexión?

<p>Los ángulos, las longitudes y las líneas paralelas</p> Signup and view all the answers

¿Qué autor es mencionado en la fuente de la información?

<p>Hearn &amp; Baker</p> Signup and view all the answers

¿Qué página del libro de Hearn & Baker se menciona?

<p>Página 314</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es la ventaja de representar puntos en coordenadas homogéneas?

<p>Facilita las operaciones de transformación geométrica</p> Signup and view all the answers

¿Cómo se puede representar un punto en coordenadas homogéneas?

<p>Mediante cualquier conjunto de coordenadas (x, y, z)</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es la forma abreviada de la ecuación de transformación para una traslación?

<p>P' = T(dx, dy) · P</p> Signup and view all the answers

¿Qué es la concatenación en transformaciones geométricas?

<p>La aplicación sucesiva de transformaciones geométricas</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es la forma de la matriz de transformación para una rotación?

<p>∙[cos(θ) -sin(θ) 0]∙[x y 1]</p> Signup and view all the answers

¿Qué es la representación en coordenadas homogéneas de un punto en un espacio n-dimensional?

<p>Un punto en un espacio (n+1)-dimensional</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es la forma abreviada de la ecuación de transformación para un cizallamiento?

<p>P' = C(cx) · P</p> Signup and view all the answers

¿Qué resultado se obtiene al aplicar consecutivamente varias transformaciones geométricas?

<p>Una transformación geométrica equivalente</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es el sistema de coordenadas más común utilizado?

<p>Dextrógiro</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es el nombre del problema que se refiere a determinar la posición y orientación del extremo del robot?

<p>Problema cinemático directo</p> Signup and view all the answers

¿Qué es el mundo en el contexto de la visualización 3D?

<p>El escenario en el que se construye la escena</p> Signup and view all the answers

¿Qué es el modelo (local) en el contexto de la visualización 3D?

<p>El objeto que se describe en la escena</p> Signup and view all the answers

¿Qué es la dirección de visión en el contexto de la cámara?

<p>La dirección en la que se enfoca la cámara</p> Signup and view all the answers

¿Qué es el problema cinemático inverso?

<p>Determinar la configuración del robot para una posición y orientación del extremo</p> Signup and view all the answers

¿Qué es la pantalla (device) en el contexto de la visualización 3D?

<p>El monitor en el que se muestra la escena</p> Signup and view all the answers

¿Qué es un ejemplo de transformación geométrica?

<p>Un giro en 3D</p> Signup and view all the answers

Study Notes

Espacio Euclídeo

  • El espacio euclídeo se determina por la geometría euclídea.
  • El axioma fundamental de Euclides establece que por un punto exterior a una recta puede trazarse una y solo una recta paralela.
  • Cualquier segmento se puede considerar parte de una línea infinita.
  • Es posible construir un círculo de radio cualquiera y con centro en cualquier punto.

Geometría Hiperbólica

  • Se desarrolla sobre el plano hiperbólico, que es equivalente topológicamente a una semiesfera.
  • Los puntos del infinito son equivalentes a los del círculo máximo de la semiesfera.
  • En un espacio hiperbólico, se pueden trazar al menos dos rectas paralelas a una dada por un punto exterior a la misma.
  • No se cumple el quinto postulado de Euclides.

Geometría Elíptica

  • En el plano elíptico, todos los puntos se consideran equivalentes a los del infinito.
  • Todas las rectas se cortan en un punto.
  • No se pueden trazar rectas paralelas a una dada.
  • No cumple el quinto postulado de Euclides.

Coordenadas Homogéneas

  • Un conjunto preferido para representar en coordenadas homogéneas es el conjunto (x, y, 1) o, como vector [x y 1].
  • Las matrices de transformación son ahora de 3x3.
  • En general, la representación mediante coordenadas homogéneas de la localización de sólidos en un espacio n-dimensional se realiza a través de coordenadas de un espacio (n+1)-dimensional.

Transformaciones Geométricas

  • La aplicación consecutiva de transformaciones geométricas se denomina concatenación.
  • El resultado es otra transformación geométrica equivalente.
  • La concatenación de traslaciones, escalados, cizallamientos y rotaciones se representa mediante la multiplicación de matrices.

Concatenación de Transformaciones

  • La concatenación de traslaciones es aditiva.
  • La concatenación de escalados es multiplicativa.
  • La concatenación de rotaciones no es aditiva, sino que se combina mediante la fórmula de la rotación compuesta.

Rotaciones

  • Rotar la figura respecto de un punto fuera del origen se logra mediante la composición de una traslación, una rotación y otra traslación.
  • La rotación respecto a un punto fijo se puede expresar mediante una matriz de rotación.

Reflexiones

  • Una reflexión se obtiene como una rotación de 180º con respecto al eje de reflexión.

Coordenadas del Mundo

  • La transformación de coordenadas del mundo a coordenadas del dispositivo se logra mediante una composición de transformaciones afines.

Transformaciones Afinas

  • Una transformación afín es una función lineal que conserva las líneas paralelas y los puntos finitos.
  • Todas las transformaciones afines se pueden expresar como una composición de traslaciones, rotaciones, cambios de escala y reflexiones.
  • Una transformación afín que contiene solo traslación, rotación y reflexión conserva los ángulos, las longitudes y las líneas paralelas.

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