Convolución en Tiempo Discreto

• La convolución es una operación matemática que combina dos señales para producir una tercera señal que expresa cómo se modifica la forma de una señal por la otra.
• Es una herramienta fundamental en el análisis de sistemas lineales e invariantes en el tiempo (SLIT).

Convolución en Tiempo Discreto

• La convolución en tiempo discreto se aplica a secuencias discretas, representadas como x[n] y h[n], donde n es un entero que representa el índice de tiempo discreto.
• La convolución de dos secuencias x[n] y h[n] se define como: (x * h)[n] = Σ(k=-∞ to ∞) x[k]h[n-k]
• (x * h)[n] representa la convolución de las secuencias x[n] y h[n] en el instante n.
• x[k] es el valor de la secuencia x en el instante k.
• h[n-k] es el valor de la secuencia h invertida y desplazada en n instantes.
• La sumatoria se extiende sobre todos los valores posibles de k.
• Pasos para calcular la convolución discreta:
  • Inversión: Invertir una de las señales, por ejemplo, h[k] se convierte en h[-k].
  • Desplazamiento: Desplazar la señal invertida h[-k] a lo largo del eje de tiempo por 'n' unidades, obteniendo h[n-k].
  • Multiplicación: Multiplicar los valores de x[k] y h[n-k] para cada valor de k.
  • Suma: Sumar todos los productos obtenidos en el paso anterior. El resultado es el valor de la convolución en el instante 'n'.
• La convolución discreta es conmutativa: x[n] * h[n] = h[n] * x[n].
• La convolución discreta es asociativa: (x[n] * h[n]) * y[n] = x[n] * (h[n] * y[n]).
• La convolución discreta es distributiva sobre la suma: x[n] * (h[n] + y[n]) = x[n] * h[n] + x[n] * y[n].

Convolución en Tiempo Continuo

• La convolución en tiempo continuo se aplica a señales continuas, representadas como x(t) y h(t), donde t es una variable real que representa el tiempo.
• La convolución de dos señales continuas x(t) y h(t) se define como: (x * h)(t) = ∫(-∞ to ∞) x(τ)h(t-τ) dτ
• (x * h)(t) representa la convolución de las señales x(t) y h(t) en el instante t.
• x(τ) es el valor de la señal x en el instante τ.
• h(t-τ) es el valor de la señal h invertida y desplazada en t instantes.
• La integral se extiende sobre todos los valores posibles de τ.
• Pasos para calcular la convolución continua:
  • Inversión: Invertir una de las señales, por ejemplo, h(τ) se convierte en h(-τ).
  • Desplazamiento: Desplazar la señal invertida h(-τ) a lo largo del eje de tiempo por 't' unidades, obteniendo h(t-τ).
  • Multiplicación: Multiplicar las señales x(τ) y h(t-τ) para cada valor de τ.
  • Integración: Integrar el producto obtenido en el paso anterior con respecto a τ. El resultado es el valor de la convolución en el instante 't'.
• La convolución continua es conmutativa: x(t) * h(t) = h(t) * x(t).
• La convolución continua es asociativa: (x(t) * h(t)) * y(t) = x(t) * (h(t) * y(t)).
• La convolución continua es distributiva sobre la suma: x(t) * (h(t) + y(t)) = x(t) * h(t) + x(t) * y(t).

Propiedades de la Convolución

• Conmutatividad: El orden de las señales en la convolución no afecta el resultado.
• Asociatividad: Permite realizar la convolución de múltiples señales en cualquier orden.
• Distributividad: La convolución se distribuye sobre la suma, lo que facilita el análisis de sistemas complejos.
• Desplazamiento en el tiempo: Un desplazamiento en el tiempo de una de las señales se traduce en un desplazamiento equivalente en la convolución resultante.
• Escalamiento: El escalamiento de una señal afecta la escala de la convolución.

Aplicaciones de la Convolución

• Procesamiento de señales: Utilizada para filtrar señales, eliminando ruido o resaltando características específicas.
• Procesamiento de imágenes: Se aplica para suavizar imágenes, detectar bordes y realizar otras operaciones de mejora y análisis.
• Sistemas lineales e invariantes en el tiempo (SLIT): La salida de un SLIT a una entrada arbitraria se puede calcular mediante la convolución de la entrada con la respuesta al impulso del sistema.
• Acústica: Simulación de la propagación del sonido en un espacio, combinando la señal original con la respuesta al impulso del espacio.
• Estadística: En la suma de variables aleatorias independientes, la función de densidad de probabilidad de la suma es la convolución de las funciones de densidad de probabilidad de las variables individuales.

La convolución es una operación matemática que combina dos señales. Esencial para sistemas lineales e invariantes en el tiempo (SLIT). Se aplica a secuencias discretas x[n] y h[n].