Convergence of Series of Functions: Uniform Convergence

Convergence of Series of Functions

Uniform Convergence

• Definition: A series of functions ∑f_n converges uniformly to f on a set E if for every ε > 0, there exists an N such that for all x in E, |f(x) - ∑_{k=1}^n f_k(x)| < ε for all n ≥ N.
• Characteristics:
  • Uniform convergence implies pointwise convergence, but not vice versa.
  • Uniform convergence implies that the series converges uniformly to f on every compact subset of E.
• Cauchy Criterion: A series of functions ∑f_n converges uniformly on E if and only if for every ε > 0, there exists an N such that for all x in E, |∑_{k=n}^m f_k(x)| < ε for all m > n ≥ N.

Absolute Convergence

• Definition: A series of functions ∑f_n converges absolutely if the series of absolute values ∑|f_n| converges.
• Characteristics:
  • Absolute convergence implies uniform convergence.
  • Absolute convergence implies that the series converges normally (i.e., the series converges uniformly on every compact subset of the domain).

Pointwise Convergence

• Definition: A series of functions ∑f_n converges pointwise to f on a set E if for every x in E, the sequence of partial sums ∑_{k=1}^n f_k(x) converges to f(x) as n → ∞.
• Characteristics:
  • Pointwise convergence does not imply uniform convergence.
  • Pointwise convergence does not imply absolute convergence.
  • Weierstrass M-Test: If |f_n(x)| ≤ M_n for all x in E and ∑M_n converges, then ∑f_n converges uniformly on E.

Convergence de Séries de Fonctions

Convergence Uniforme

• Définition : Une série de fonctions ∑f_n converge uniformément vers f sur un ensemble E si pour tout ε > 0, il existe un N tel que pour tout x dans E, |f(x) - ∑_{k=1}^n f_k(x)| < ε pour tout n ≥ N.
• Caractéristiques :
  • La convergence uniforme implique la convergence ponctuelle, mais pas vice-versa.
  • La convergence uniforme implique que la série converge uniformément vers f sur tout sous-ensemble compact de E.
• Critère de Cauchy : Une série de fonctions ∑f_n converge uniformément sur E si et seulement si pour tout ε > 0, il existe un N tel que pour tout x dans E, |∑_{k=n}^m f_k(x)| < ε pour tout m > n ≥ N.

Convergence Absolue

• Définition : Une série de fonctions ∑f_n converge absolument si la série des valeurs absolues ∑|f_n| converge.
• Caractéristiques :
  • La convergence absolue implique la convergence uniforme.
  • La convergence absolue implique que la série converge normalement (c'est-à-dire que la série converge uniformément sur tout sous-ensemble compact du domaine).

Convergence Ponctuelle

• Définition : Une série de fonctions ∑f_n converge ponctuellement vers f sur un ensemble E si pour tout x dans E, la suite des sommes partielles ∑_{k=1}^n f_k(x) converge vers f(x) lorsque n → ∞.
• Caractéristiques :
  • La convergence ponctuelle n'implique pas la convergence uniforme.
  • La convergence ponctuelle n'implique pas la convergence absolue.
• Test de Weierstrass M : Si |f_n(x)| ≤ M_n pour tout x dans E et ∑M_n converge, alors ∑f_n converge uniformément sur E.

Convergence de Séries

Convergence Uniforme

• La série de fonctions ∑_{n=1}^∞ f_n(x) converge uniformément vers une fonction f(x) sur un intervalle [a, b] si :
  • Pour tout ε > 0, il existe un entier positif N tel que pour tout n ≥ N et pour tout x dans [a, b] :
    • |f_n(x) - f(x)| < ε
• Conséquences :
  • La série converge uniformément si et seulement si la suite des sommes partielles converge uniformément.
  • La convergence uniforme implique la continuité de la fonction limite f(x).
  • La convergence uniforme implique l'intégrabilité de la fonction limite f(x).

Convergence Ponctuelle

• La série de fonctions ∑_{n=1}^∞ f_n(x) converge ponctuellement vers une fonction f(x) sur un intervalle [a, b] si :
  • Pour tout x dans [a, b], la suite des sommes partielles converge vers f(x).
• Conséquences :
  • La convergence ponctuelle n'implique pas la continuité de la fonction limite f(x).
  • La convergence ponctuelle n'implique pas l'intégrabilité de la fonction limite f(x).

Convergence Absolue

• La série de fonctions ∑_{n=1}^∞ f_n(x) converge absolument si :
  • La série des valeurs absolues ∑_{n=1}^∞ |f_n(x)| converge.
• Conséquences :
  • La convergence absolue implique la convergence.
  • La convergence absolue implique la convergence uniforme.
  • La convergence absolue implique la continuité et l'intégrabilité de la fonction limite f(x).