Mathématiques - Convergence uniforme des séquences de fonctions

Series of Functions and Convergence

Uniform Convergence

• A sequence of functions fnf_nfn​ converges uniformly to fff on a set EEE if:
  • For every ϵ>0\epsilon > 0ϵ>0, there exists a natural number NNN such that for all n≥Nn \geq Nn≥N and all x∈Ex \in Ex∈E, ∣fn(x)−f(x)∣<ϵ|f_n(x) - f(x)| < \epsilon∣fn​(x)−f(x)∣<ϵ
  • The convergence is independent of the point xxx in the set EEE
• Uniform convergence implies:
  • Pointwise convergence
  • Uniform boundedness of the sequence of functions
  • Continuity of the limit function fff
• Examples:
  • Power series convergence is uniform within its radius of convergence
  • Weierstrass M-test is a sufficient condition for uniform convergence

Absolute Convergence

• A series of functions ∑n=1∞fn\sum_{n=1}^{\infty} f_n∑n=1∞​fn​ converges absolutely if:
  • The series of absolute values ∑n=1∞∣fn∣\sum_{n=1}^{\infty} |f_n|∑n=1∞​∣fn​∣ converges
• Absolute convergence implies:
  • Uniform convergence
  • Convergence of the series of functions
• Examples:
  • The series of functions ∑n=1∞1n2sin⁡nx\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \sin nx∑n=1∞​n21​sinnx converges absolutely on the interval [0,2π][0, 2\pi][0,2π]

Pointwise Convergence

• A sequence of functions fnf_nfn​ converges pointwise to fff on a set EEE if:
  • For every x∈Ex \in Ex∈E, the sequence of numbers fn(x)f_n(x)fn​(x) converges to f(x)f(x)f(x)
• Pointwise convergence does not imply:
  • Uniform convergence
  • Continuity of the limit function fff
• Examples:
  • The sequence of functions fn(x)=xnf_n(x) = x^nfn​(x)=xn converges pointwise to 000 on the interval [0,1)[0, 1)[0,1), but not uniformly.

Convergence uniforme

• Une suite de fonctions fnf_nfn​ converge uniformément vers fff sur un ensemble EEE si pour tout ϵ>0\epsilon > 0ϵ>0, il existe un entier naturel NNN tel que pour tout n≥Nn \geq Nn≥N et tout x∈Ex \in Ex∈E, ∣fn(x)−f(x)∣<ϵ|f_n(x) - f(x)| < \epsilon∣fn​(x)−f(x)∣<ϵ.
• La convergence uniforme implique la convergence ponctuelle, la limitation uniforme de la suite de fonctions et la continuité de la fonction limite fff.
• Exemples : la convergence des séries de puissance est uniforme dans son rayon de convergence, le test de M de Weierstrass est une condition suffisante pour la convergence uniforme.

Convergence absolue

• Une série de fonctions ∑n=1∞fn\sum_{n=1}^{\infty} f_n∑n=1∞​fn​ converge absolument si la série des valeurs absolues ∑n=1∞∣fn∣\sum_{n=1}^{\infty} |f_n|∑n=1∞​∣fn​∣ converge.
• La convergence absolue implique la convergence uniforme et la convergence de la série de fonctions.
• Exemples : la série de fonctions ∑n=1∞1n2sin⁡nx\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \sin nx∑n=1∞​n21​sinnx converge absolument sur l'intervalle [0,2π][0, 2\pi][0,2π].

Convergence ponctuelle

• Une suite de fonctions fnf_nfn​ converge ponctuellement vers fff sur un ensemble EEE si pour tout x∈Ex \in Ex∈E, la suite de nombres fn(x)f_n(x)fn​(x) converge vers f(x)f(x)f(x).
• La convergence ponctuelle n'implique pas la convergence uniforme ni la continuité de la fonction limite fff.
• Exemples : la suite de fonctions fn(x)=xnf_n(x) = x^nfn​(x)=xn converge ponctuellement vers 000 sur l'intervalle [0,1)[0, 1)[0,1), mais pas uniformément.