Clase de Álgebra: Exponentes Negativos y Fraccionarios

Exponentes Negativos

• Definición: Un exponente negativo indica la inversa de una base elevada al exponente positivo.
• Regla: a^(-n) = 1 / a^n, donde a ≠ 0.
• Ejemplo: 2^(-3) = 1 / 2^3 = 1 / 8.

Exponentes Fraccionarios

• Definición: Un exponente fraccionario representa una raíz.
• Regla: a^(m/n) = n√(a^m), donde m es el numerador y n es el denominador.
• Ejemplo: 27^(2/3) = 3√(27^2) = 3√(729) = 9.

Simplificación De Expresiones

• Reglas básicas:
  • a^m * a^n = a^(m+n)
  • a^m / a^n = a^(m-n)
  • (a^m)^n = a^(m*n)
• Ejemplo de simplificación:
  • 2^3 * 2^2 = 2^(3+2) = 2^5 = 32.
  • 5^4 / 5^2 = 5^(4-2) = 5^2 = 25.

Ecuaciones Con Exponentes

• Formulación general: a^x = b, donde se busca el valor de x.
• Método para resolver:
  • Tomar logaritmo en ambos lados: log(a^x) = log(b).
  • Aplicar la propiedad del logaritmo: x * log(a) = log(b).
  • Despejar x: x = log(b) / log(a).
• Ejemplo:
  • 2^x = 16.
  • Logaritmo: x * log(2) = log(16).
  • Despejando: x = log(16) / log(2) = 4.

Exponentes Negativos

• Un exponente negativo indica la inversa de la base elevada a un exponente positivo.
• La regla fundamental es: ( a^{-n} = \frac{1}{a^n} ), aplicable donde ( a \neq 0 ).
• Ejemplo práctico: ( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} ).

Exponentes Fraccionarios

• Un exponente fraccionario representa la extracción de raíces.
• Regla a seguir: ( a^{(m/n)} = \sqrt[n]{a^m} ), donde ( m ) es el numerador y ( n ) el denominador.
• Ejemplo ilustrativo: ( 27^{(2/3)} = \sqrt[3]{27^2} = \sqrt[3]{729} = 9 ).

Simplificación De Expresiones

• Reglas básicas de simplificación:
  • Multiplicación de potencias: ( a^m \cdot a^n = a^{(m+n)} ).
  • División de potencias: ( a^m / a^n = a^{(m-n)} ).
  • Potencia de una potencia: ( (a^m)^n = a^{(m \cdot n)} ).
• Ejemplo de multiplicación: ( 2^3 \cdot 2^2 = 2^{(3+2)} = 2^5 = 32 ).
• Ejemplo de división: ( 5^4 / 5^2 = 5^{(4-2)} = 5^2 = 25 ).

Ecuaciones Con Exponentes

• La formulación general de ecuaciones es: ( a^x = b ), en la que se busca determinar el valor de ( x ).
• Método para resolver:
  • Aplicar logaritmo en ambos lados de la ecuación: ( \log(a^x) = \log(b) ).
  • Utilizar la propiedad del logaritmo: ( x \cdot \log(a) = \log(b) ).
  • Despejar ( x ): ( x = \frac{\log(b)}{\log(a)} ).
• Ejemplo específico: Resolver ( 2^x = 16 ).
  • Al aplicar logaritmo: ( x \cdot \log(2) = \log(16) ).
  • Despejando se obtiene: ( x = \frac{\log(16)}{\log(2)} = 4 ).

Este cuestionario cubre los conceptos fundamentales de exponentes negativos y fraccionarios. Además, se incluyen reglas de simplificación y la resolución de ecuaciones que involucran exponentes. Practica estos temas esenciales de álgebra para mejorar tu comprensión matemática.