Cinética Química: Velocidad y Ley de Velocidad

Cinética Química

• La cinética química estudia las velocidades de reacción y los factores que las afectan.

Velocidad de reacción

• Para la reacción $aA + bB \rightarrow cC + dD$, la velocidad se define como la variación de la concentración de reactivos o productos con respecto al tiempo, teniendo en cuenta los coeficientes estequiométricos.
• $Rate = -\frac{1}{a}\frac{d[A]}{dt} = -\frac{1}{b}\frac{d[B]}{dt} = \frac{1}{c}\frac{d[C]}{dt} = \frac{1}{d}\frac{d[D]}{dt}$
• Los reactivos tienen signo negativo porque su concentración disminuye con el tiempo, mientras que los productos tienen signo positivo porque su concentración aumenta.

Ley de velocidad

• La ley de velocidad expresa la velocidad de reacción en función de las concentraciones de los reactivos.
• $Rate = k[A]^x[B]^y$
• $k$ es la constante de velocidad, que depende de la temperatura.
• $x$ e $y$ son los órdenes parciales de la reacción con respecto a los reactivos A y B, respectivamente.
• $x + y$ es el orden total de la reacción.
• Los órdenes parciales se determinan experimentalmente, no necesariamente coinciden con los coeficientes estequiométricos.

Leyes de velocidad integradas

• Las leyes de velocidad integradas relacionan la concentración de los reactivos con el tiempo.
• Permiten determinar el tiempo necesario para que una reacción alcance un cierto grado de avance.

Orden 0

• $Rate = k$
• $[A]_t = -kt + [A]_0$
• Gráfica lineal: $[A]_t$ vs t
• Pendiente: -k
• Vida media: $t_{1/2} = [A]_0/2k$

Orden 1

• $Rate = k[A]$
• $ln[A]_t = -kt + ln[A]_0$
• Gráfica lineal: $ln[A]_t$ vs t
• Pendiente: -k
• Vida media: $t_{1/2} = 0.693/k$

Orden 2

• $Rate = k[A]^2$
• $\frac{1}{[A]_t} = kt + \frac{1}{[A]_0}$
• Gráfica lineal: $\frac{1}{[A]_t}$ vs t
• Pendiente: k
• Vida media: $t_{1/2} = 1/k[A]_0$

Ecuación de Arrhenius

• La ecuación de Arrhenius relaciona la constante de velocidad con la temperatura y la energía de activación.
• $k = Ae^{-E_a/RT}$
• $k$ es la constante de velocidad.
• $A$ es el factor de frecuencia, relacionado con la frecuencia de las colisiones entre moléculas.
• $E_a$ es la energía de activación, la energía mínima requerida para que ocurra la reacción.
• $R$ es la constante de los gases ideales (8.314 J/mol·K).
• $T$ es la temperatura en Kelvin.

Ecuación de Arrhenius de dos puntos

• Permite calcular la energía de activación a partir de dos constantes de velocidad y sus correspondientes temperaturas.
• $ln(\frac{k_2}{k_1}) = \frac{E_a}{R}(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2})$

Catálisis

• Un catalizador es una sustancia que aumenta la velocidad de una reacción sin consumirse en el proceso.
• Los catalizadores disminuyen la energía de activación, lo que permite que la reacción ocurra más rápido.
• Los catalizadores pueden ser homogéneos, si están en la misma fase que los reactivos, o heterogéneos, si están en una fase diferente.

Mecanismos de reacción

• Un mecanismo de reacción es la secuencia de etapas elementales que constituyen una reacción global.
• Una etapa elemental es una reacción que ocurre en un solo paso.
• La etapa determinante de la velocidad es la etapa más lenta del mecanismo, determina la velocidad de la reacción global.
• Un intermedio es una especie química que se produce en una etapa y se consume en una etapa posterior.

Estadística Descriptiva

• La estadística descriptiva tiene como propósito organizar, resumir y presentar datos de manera informativa y accesible.

Metodos

• Incluyen la organización de datos a través de tablas de frecuencia y gráficos, resumen de datos mediante medidas de tendencia central y dispersión, y presentación de datos con histogramas y diagramas.

Variables

• Una variable es una característica susceptible de tomar diferentes valores, dividiéndose en cualitativas y cuantitativas.

Variables Cualitativas

• Expresan cualidades o atributos, subdividiéndose en nominales (sin orden inherente, como el color de ojos) y ordinales (con orden inherente, como el nivel de satisfacción).

Variables Cuantitativas

• Expresan cantidades numéricas, dividiéndose en discretas (toman valores enteros, como el número de hijos) y continuas (toman cualquier valor dentro de un rango, como la altura).

Tabla de Frecuencias

• La frecuencia absoluta ($n_i$) indica el número de veces que aparece un valor, la frecuencia relativa ($f_i$) la proporción de veces que aparece un valor ($f_i = n_i / N$), la frecuencia acumulada ($N_i$) el número de veces que aparece un valor o uno inferior, y la frecuencia relativa acumulada ($F_i$) la proporción de veces que aparece un valor o uno inferior ($F_i = N_i / N$).

Gráficos

• Son representaciones visuales comunes incluyen diagramas de barras para variables cualitativas o cuantitativas discretas, histogramas para variables cuantitativas continuas, diagramas de sectores para representar la proporción de cada categoría en una variable cualitativa, y diagramas de dispersión para la relación entre dos variables cuantitativas.

Medidas de Tendencia Central

• Las medidas de tendencia central (media, mediana, moda) representan el centro de un conjunto de datos.
• La media ($\bar{x}$) es la suma de todos los valores dividida por el número de valores ($\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}$), la mediana ($M_e$) es el valor central, y la moda ($M_o$) es el valor más frecuente.

Medidas de Dispersión

• Indican cuánto se alejan los datos del centro, con medidas como el rango (diferencia entre el valor máximo y el mínimo), la varianza ($S^2$, promedio de las diferencias al cuadrado entre cada valor y la media: $S^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2}{N-1}$), la desviación estándar ($S$, raíz cuadrada de la varianza: $S = \sqrt{S^2}$), y el coeficiente de variación ($CV$, razón entre la desviación estándar y la media: $CV = \frac{S}{\bar{x}}$).

Vectores

Magnitudes Escalares y Vectoriales

• Las magnitudes escalares quedan completamente determinadas con un número y sus unidades, ejemplificadas por masa, tiempo, longitud, volumen o temperatura.
• Las magnitudes vectoriales requieren, además, un valor numérico y unidades (módulo), dirección y sentido, como velocidad, fuerza, aceleración o desplazamiento.

Definicion de Vector

• Un vector es un segmento orientado caracterizado por su módulo (longitud), dirección (recta que lo contiene), sentido (hacia dónde apunta) y punto de aplicación (origen).
• La notación incluye $\overrightarrow{AB}$ para vectore de A hasta B, $\vec{a}$ para vector "a", $\hat{i}$, $\hat{j}$ y $\hat{k}$ para vectores unitarios en los ejes x, y y z, respectivamente, y $\left|\overrightarrow{AB}\right|$ para el módulo del vector $\overrightarrow{AB}$.

Tipos de Vectores

• Incluyen vectores iguales, opuestos (mismo módulo y dirección, pero sentido contrario), unitarios (módulo igual a 1), colineales (en la misma recta), coplanarios (en el mismo plano), concurrentes (direcciones o prolongaciones se cortan en un punto) y el vector nulo (módulo igual a 0).

Representaciones de Vectores

• Gráficamente mediante flechas con longitud proporcional al módulo y orientación indicando dirección y sentido.
• Analíticamente en un sistema de coordenadas como $\vec{a} = (a_x, a_y) = a_x\hat{i} + a_y\hat{j}$ en 2D y $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x\hat{i} + a_y\hat{j} + a_z\hat{k}$ en 3D, donde a_x, a_y y a_z son las componentes del vector.

Modulo de un Vector

• El módulo se calcula como $\left|\vec{a}\right| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$ en 2D y $\left|\vec{a}\right| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$ en 3D.

Ángulos Directores

• Son los ángulos que forma un vector con los ejes coordenados, cuyos cosenos directores cumplen $\cos^2{\alpha} + \cos^2{\beta} + \cos^2{\gamma} = 1$.

Estequiometría

• Es el cálculo de las relaciones cuantitativas entre reactivos y productos en una reacción química.

Leyes Ponderales

• La Ley de Conservación de la Masa establece que la masa total en un sistema aislado permanece constante, independientemente de las transformaciones.
• La Ley de las Proporciones Definidas indica que un compuesto siempre contiene los mismos elementos en las mismas proporciones de masa.
• La Ley de las Proporciones Múltiples establece que, si dos elementos forman varios compuestos, las masas de uno que se combinan con una masa fija del otro guardan una relación de números enteros sencillos.

Conceptos Estequiométricos

• La masa atómica es la masa de un átomo en unidades de masa atómica (uma).
• La masa molecular es la suma de las masas atómicas de los átomos en una molécula.
• El mol es la cantidad de sustancia que contiene $6.022 \times 10^{23}$ entidades (Número de Avogadro).
• La masa molar es la masa de un mol de una sustancia en gramos (g/mol).

Cálculos Estequiométricos

• Las ecuaciones químicas balanceadas establecen las relaciones molares entre reactivos y productos.
• El reactivo límite es el que se consume por completo y determina la cantidad máxima de producto que se puede formar.
• El rendimiento de reacción compara el rendimiento teórico (cantidad máxima posible) con el rendimiento real (cantidad obtenida experimentalmente), y se expresa como porcentaje.

Fórmulas Químicas

• La fórmula empírica representa la relación más simple de números enteros de los átomos en un compuesto.
• La fórmula molecular indica el número real de átomos de cada elemento en una molécula.

Composición Porcentual

• El porcentaje en masa de cada elemento en un compuesto se calcula como (% Elemento = $(\frac{\text{Masa del elemento en 1 mol del compuesto}}{\text{Masa molar del compuesto}}) \times 100%$).

Gases

• La Ley de los Gases Ideales se expresa como $PV = nRT$.
• La Ley de Dalton de las Presiones Parciales establece que la presión total es la suma de las presiones parciales de cada gas ($P_{\text{total}} = P_1 + P_2 + P_3 + \dots$).

Disoluciones

• La molaridad (M) es moles de soluto por litro de disolución ($M = \frac{\text{moles de soluto}}{\text{litros de disolución}}$).
• La molalidad (m) es moles de soluto por kilogramo de disolvente ($m = \frac{\text{moles de soluto}}{\text{kilogramos de disolvente}}$).
• La fracción molar ($X_A$) es moles de A divididos por los moles totales ($X_A = \frac{\text{moles de A}}{\text{moles totales}}$).

Disoluciones - Diluciones

• La ecuación de diluciones es $M_1V_1 = M_2V_2$.

Titulaciones

• Determinan la concentración de una disolución desconocida (analito) usando una disolución de concentración conocida (titulante).
• El punto de equivalencia se alcanza cuando el número de moles de titulante es estequiométricamente equivalente al número de moles de analito.

Teoría de juegos algorítmica

Teoría de juegos

• Trata situaciones donde hay una interacción entre múltiples partes (agentes), donde cada agente actúa según sus intereses.

• La teoría de juegos provee un lenguaje para describir estos escenarios y herramientas para analizarlos.

• No prescribe necesariamente cómo un agente debería actuar, sino que trata de predecir qué va a pasar.

Un ejemplo de Juego es el de Hotelling

• Imagina una calle con casas numeradas de 0 a 1.
• Dos vendedores quieren vender helado en la calle
• Cada uno elige un lugar $x_1, x_2 \in [0, 1]$.
• Cada comprador compra de el vendedor más cercano.
• Si los vendedores están en el mismo lugar, cada uno obtiene la mitad de los clientes.
• Cada vendedor quiere maximizar su número de clientes.

Preguntas

• ¿Hay una solución estable ("equilibrio")?
• ¿Maximiza esto el bienestar social (la felicidad total de los clientes)?

Teoría de juegos algorítmica

• Subárea de la teoría de juegos que considera explícitamente aspectos computacionales:

  • ¿Qué tan difícil es computar un equilibrio?
  • ¿Podemos diseñar eljuego para que sea fácil alcanzar un buen equilibrio?

Un ejemplo es el enrutamiento egoísta

• Modelo: una red con usuarios que quieren viajar de $s$ a $t$.
• Cada usuario elige una ruta.
• Cuantos más usuarios haya en una ruta, más lento se vuelve.
• Los usuarios actúan egoístamente para minimizar su tiempo de viaje.

Preguntas

• ¡Cómo se ve el equilibrio?
• ¿Es mucho peor que el "óptimo social" (mínimo tiempo total de viaje)?
  • ¿Cuánto duele el comportamiento egoísta?

Objetivos del curso

• Comprender los conceptos básicos de la teoría de juegos.
• Aprenda sobre algunos de los principales resultados en la teoría de juegos algorítmica.
• Ser capaz de aplicar los conceptos a nuevos problemas.
• Obtener una idea de las direcciones de investigación actuales.

Esquema

El curso cubrirá (tentativamente) los siguientes temas:

• Basics of Game Theory
  • ¿Qué es un juego; Estrategias; Pagos; Utilidades
  • Conceptos de solución: Estrategias dominantes; Equilibrio de Nash; Optimalidad de Pareto; Bienestar social
• Diseño de Mecanismos
  • ¿Qué pasa si podemos diseñar el juego?
  • Subastas; Mecanismo Vickrey-Clarke-Groves; Fijación de precios
• Enrutamiento Egoísta
  • ¿Qué tan ineficiente es el enrutamiento egoísta?
  • Paradoja de Braess; Precio de la anarquía
• Compartir Costos
  • ¿Cómo compartir justamente el costo de un servicio entre los usuarios?
• Redes Sociales
  • ¿Cómo se forman y evolucionan las redes sociales?
  • ¿Cómo se difunde la información?
• Coincidencias
  • Cómo hacer coincidir a las personas con los trabajos, los riñones con los pacientes, etc.

Cálculo I

2. Derivadas

2.1 La Derivada

• La derivada de $f$ en $a$ es $\qquad \displaystyle f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ si este límite existe.
• La derivada de $f(x)$ con respecto a $x$ es la función $f'(x)$ dada por $\qquad \displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ si este límite existe.

2.2 Fórmulas Básicas de Diferenciación

• $\displaystyle \frac{d}{dx} (c) = 0$
• $\displaystyle \frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1}$
• $\displaystyle \frac{d}{dx} (cf(x)) = c f'(x)$
• $\displaystyle \frac{d}{dx} (f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x)$
• $\displaystyle \frac{d}{dx} (f(x) - g(x)) = f'(x) - g'(x)$

2.3 Reglas del Producto y del Cociente

Regla del Producto

Si $f$ y $g$ son ambas diferenciables, entonces $\qquad \displaystyle \frac{d}{dx} [f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

Regla del Cociente

• Si $f$ y $g$ son diferenciables, entonces $\qquad \displaystyle \frac{d}{dx} \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$

2.4 Derivadas de Funciones Trigonométricas

• $\displaystyle \frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x$
• $\displaystyle \frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x$
• $\displaystyle \frac{d}{dx} (\tan x) = \sec^2 x$
• $\displaystyle \frac{d}{dx} (\csc x) = -\csc x \cot x$
• $\displaystyle \frac{d}{dx} (\sec x) = \sec x \tan x$
• $\displaystyle \frac{d}{dx} (\cot x) = -\csc^2 x$

2.5 La Regla de la Cadena

• Si $g$ es diferenciable en $x$ y $f$ es diferenciable en $g(x)$, entonces la función compuesta $F = f \circ g$ definida por $F(x) = f(g(x))$ es diferenciable en $x$ y $F'$ está dada por $\qquad F'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
• En la notación de Leibniz, si $y = f(u)$ y $u = g(x)$ son ambas funciones diferenciables, entonces $\qquad \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$.