Cinématique - Concepts de Base

Chapitre III : Cinématique

• La cinématique est l'étude du mouvement indépendamment des causes (forces) qui le produisent.
• Deuxième partie : Notion de vitesse et d'accélération.

Notion de référentiel

• L'exemple d'une balle lâchée dans un wagon en mouvement illustre comment le référentiel influence la perception du mouvement.
• Pour l'observateur dans le wagon, le mouvement de la balle est rectiligne.
• Pour l'observateur sur le quai, la trajectoire de la balle est curviligne.
• La trajectoire, la vitesse et l'accélération d'un point dépendent du référentiel.
• Un référentiel comprend :
  • Un repère d'espace (1, 2 ou 3 dimensions) qui précise la position d'un point.
  • Un repère temporel : une horloge pour mesurer le temps écoulé entre deux dates.
  • Un instant choisi comme origine des dates.

Le vecteur position

• L'étude du mouvement de la balle par rapport à l'observateur immobile dans le wagon.
• À un instant donné, la balle se situe en un point M.
• L'espace est muni d'un repère (O, i, j), fixe par rapport à l'observateur.
• Le vecteur position OM est donné par les coordonnées cartésiennes XM(t) et YM(t) de M.
• XM(t) et YM(t) sont des fonctions du temps.

La position

• La trajectoire d'un point matériel est l'étude des différentes positions successives occupées par le point M au cours du temps.
• En une dimension :
  • Sur une droite, on utilise l'abscisse du point M, x(t).
  • Sur une courbe quelconque, on utilise l'équation horaire du mouvement, s(t).
• En deux dimensions :
  • En coordonnées cartésiennes, on utilise x(t) et y(t).
  • En coordonnées polaires, on utilise r(t) et θ(t).
• En trois dimensions :
  • En coordonnées cartésiennes, on utilise x(t), y(t) et z(t).
  • En coordonnées cylindriques, on utilise r(t), θ(t) et z(t).
  • En coordonnées sphériques, on utilise r(t), θ(t) et φ(t).

Le vecteur vitesse

• Étude du mouvement d'un oiseau par photos prises à intervalles de temps réguliers (τ=0,25s).
• La superposition de ces photos donne une chronophotographie.
• On suit la trajectoire du centre de gravité de l'oiseau.
• Vitesse moyenne : distance parcourue entre deux instants donnés divisée par l'intervalle de temps.
• Unité S.I : m/s.

Le vecteur vitesse moyenne

• Distance parcourue divisée par l'intervalle de temps entre les instants initial et final.
• Le vecteur vitesse moyenne est caractérisé par sa direction et son sens, correspondant à la direction du mouvement.

Le vecteur vitesse instantanée

• La valeur instantanée d'une vitesse d'un mouvement.
• Pour calculer la vitesse instantanée en un point, on mesure la distance parcourue pendant un temps infiniment petit.
• La vitesse instantanée est donnée par la direction de la tangente à la courbe de la trajectoire en ce point.
• Valeur de vitesse à un instant précis

Le vecteur vitesse: Lien avec le vecteur position

• La vitesse instantanée est la dérivée du vecteur position par rapport au temps.
• La vitesse est toujours tangente à la trajectoire.

Le vecteur accélération

• La variation du vecteur vitesse du centre d'inertie est représentée par le vecteur accélération.
• L'accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps.
• Unité S.I : m/s².

Les vecteurs vitesse et accélération en coordonnées cartésiennes

• Les coordonnées cartésiennes sont (x, y, z).
• Le vecteur position OM(t) = x(t)ux + y(t)uy + z(t)uz
• Le vecteur vitesse V(t) = dx(t)/dt ux + dy(t)/dt uy + dz(t)/dt uz
• Le vecteur accélération a(t) = d²x(t)/dt² ux + d²y(t)/dt² uy + d²z(t)/dt² uz
• (où ux, uy et uz sont des vecteurs unitaires)

Les changements de repères

• Loi de composition des vitesses: Vitesse absolue = Vitesse relative + Vitesse d'entraînement.
• Vitesse absolue: vitesse d'un objet par rapport au référentiel absolu.
• Vitesse relative: vitesse d'un objet par rapport à un référentiel en mouvement par rapport au référentiel absolu.
• Vitesse d'entraînement: vitesse du référentiel en mouvement par rapport au référentiel absolu.

Exemple : équations horaires x(t) et y(t)

• Les valeurs de x et y à différents instants sont calculées.
• La vitesse et l'accélération, en fonction des expressions de x(t) and y(t), sont ensuite dérivés.
• Les constantes sont déterminées par les valeurs de x et y initiales.

Exemple : Équation de la trajectoire

• Lorsque le mouvement est plan, la trajectoire peut être exprimée sous la forme y = f(x) en éliminant le temps t des équations horaires x(t)et y(t).

Les vecteurs vitesse et accélération en coordonnées polaires

• Coordonnées polaires : (r, θ)
• Vecteur position : OM(t) = r(t)ur
• Vecteur vitesse : V(t) = r(t) ur + dr (t) /d(t) uθ
• Vecteur accélération : a(t) = [(d^2r)/dt^2 -r(t) (θ(t)^2]ur + [2((dr)/ dt)(dθ/dt) + r(t) d^2θ / dt^2] uθ
• ur et uθ sont les vecteurs unitaires.

Cas particulier où r(t) = constante = R

• Dans un mouvement circulaire à vitesse non constante
• Vitesse: V (t) = R (t) uθ.
• Accélération: a (t) = [-R ω ^2] ur + [R aθ] uθ