미적분학 기초_Chapter 1

微积分基础 (Foundations of Calculus)

定义和notation (Definitions and Notation)

• 微积分 (Calculus): a branch of mathematics that deals with the study of continuous change
• 函数 (Function): a relation between a set of inputs (domain) and a set of possible outputs (range)
• 极限 (Limit): the behavior of a function as the input (or x-value) approaches a specific value
• 连续 (Continuity): a function is continuous if its graph can be drawn without lifting the pencil

极限的性质 (Properties of Limits)

• 唯一性 (Uniqueness): the limit of a function at a point is unique
• 局部性 (Locality): the limit of a function at a point only depends on the behavior of the function near that point
• 线性 (Linearity): the limit of a linear combination of functions is the linear combination of their limits
• 有穷性 (Boundedness): the limit of a bounded function is bounded

微分 (Differentiation)

• 微分 (Derivative): a measure of how a function changes as its input changes
• 微分公式 (Differentiation Rules):
  • Power Rule: if f(x) = x^n, then f'(x) = nx^(n-1)
  • Product Rule: if f(x) = u(x)v(x), then f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
  • Quotient Rule: if f(x) = u(x)/v(x), then f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / v(x)^2

미적분의 기초 (Foundations of Calculus)

정의와 표기법 (Definitions and Notation)

• 미적분: 연속적인 변화의 연구를 하는 수학의 한 분과
• 함수: 입력 집합(도메인)과 출력 집합(레인지) 사이의 관계
• 極한: 특정 값으로 입력(또는 x-값)이 접근할 때 함수의 행위
• 연속성: 그리프를 그리는 데필이 필요하지 않은 함수가 연속됨

極限의 성질 (Properties of Limits)

• 유일성: 특정 점에서의 함수의 極한은 유일함
• 지역성: 특정 점에서의 함수의 極한은 그 점 근처의 함수의 행위에만 의존
• 선형성: 함수의 선형 조합의 極한은 각 함수의 極한의 선형 조합
• 유계성: 유계 함수의 極한은 유계

미분 (Differentiation)

• 미분: 입력이 변경될 때 함수가 어떻게 변경되는지 측정
• 미분공식:
  • 거듭제곱 법칙: f(x) = x^n이라면 f'(x) = nx^(n-1)
  • 곱셈 법칙: f(x) = u(x)v(x)라면 f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
  • 商수 법칙: f(x) = u(x)/v(x)라면 f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / v(x)^2