Capítulo 5: Integrales Impropias

Capítulo 5. Integrales Impropias

• Este capítulo se enfoca en integrales del tipo $\int_{a}^{b} f(x) , dx$ donde el dominio de integración o la función no cumplen las condiciones habituales.
• Las condiciones habituales son que el dominio de integración $[a,b]$ sea un intervalo cerrado y acotado, y la función $f$ sea continua y acotada en $[a,b]$.
• Las integrales donde se eliminan estos requisitos se denominan integrales impropias.
• Se estudiarán los casos donde $a = -\infty$ o $b = +\infty$, o ambos, y donde $f$ no está acotada en $[a,b]$.

Integrales Impropias de Primera Especie

• Sea $f : [a, +\infty) \longrightarrow \mathbb{R}$ continua.
• La integral impropia se define como $\int_{a}^{+\infty} f(x) , dx = \lim_{b \to +\infty} \int_{a}^{b} f(x) , dx$.
• Si el límite existe y es finito, la integral converge; si no, diverge.
• Para $f : (-\infty, b] \longrightarrow \mathbb{R}$ continua, $\int_{-\infty}^{b} f(x) , dx = \lim_{a \to -\infty} \int_{a}^{b} f(x) , dx$.
• Para $f : (-\infty, +\infty) \longrightarrow \mathbb{R}$ continua, $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) , dx = \int_{-\infty}^{c} f(x) , dx + \int_{c}^{+\infty} f(x) , dx$, donde $c \in \mathbb{R}$.
• La convergencia de $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) , dx$ no depende del valor de $c$.
• La integral $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^p} , dx$ converge si $p > 1$ y diverge si $p \leq 1$.
• $\int_{1}^{b} \frac{1}{x^p} , dx = \frac{b^{1-p} - 1}{1-p}$ si $p \neq 1$, y $\ln(b)$ si $p = 1$.

Integrales Impropias de Segunda Especie

• Sea $f : [a, b) \longrightarrow \mathbb{R}$ continua, pero no acotada en $b$.
• La integral impropia se define como $\int_{a}^{b} f(x) , dx = \lim_{c \to b^-} \int_{a}^{c} f(x) , dx$.
• Si el límite existe y es finito, la integral converge; si no, diverge.
• Similarmente, si $f : (a, b] \longrightarrow \mathbb{R}$ es continua, pero no acotada en $a$, se define $\int_{a}^{b} f(x) , dx = \lim_{c \to a^+} \int_{c}^{b} f(x) , dx$.
• Si $f : [a, b] \longrightarrow \mathbb{R}$ es continua excepto en un punto $c \in (a, b)$ donde no está acotada, se define $\int_{a}^{b} f(x) , dx = \int_{a}^{c} f(x) , dx + \int_{c}^{b} f(x) , dx$.
• La integral $\int_{0}^{1} \frac{1}{x^p} , dx$ converge si $p < 1$ y diverge si $p \geq 1$.
• $\int_{c}^{1} \frac{1}{x^p} , dx = \frac{1 - c^{1-p}}{1-p}$ si $p \neq 1$, y $-\ln(c)$ si $p = 1$.

Criterios de Convergencia

• Estos criterios determinan la convergencia o divergencia de integrales impropias sin calcularlas explícitamente.
• Criterio de Comparación (Teorema 5.3): Si $0 \leq f(x) \leq g(x)$ para todo $x \geq a$, entonces si $\int_{a}^{+\infty} g(x) , dx$ converge, $\int_{a}^{+\infty} f(x) , dx$ converge; y si $\int_{a}^{+\infty} f(x) , dx$ diverge, $\int_{a}^{+\infty} g(x) , dx$ diverge.
• Criterio del Cociente (Teorema 5.4): Si $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = L$, entonces si $0 < L < +\infty$, $\int_{a}^{+\infty} f(x) , dx$ converge si y sólo si $\int_{a}^{+\infty} g(x) , dx$ converge; si $L = 0$ y $\int_{a}^{+\infty} g(x) , dx$ converge, entonces $\int_{a}^{+\infty} f(x) , dx$ converge; si $L = +\infty$ y $\int_{a}^{+\infty} g(x) , dx$ diverge, entonces $\int_{a}^{+\infty} f(x) , dx$ diverge.
• Los criterios de convergencia también se aplican las integrales de segunda especie, cambiando el límite en el infinito por el límite en el punto de discontinuidad.

Relación Señal a Ruido (SNR)

• La SNR compara la potencia de una señal deseada con el ruido de fondo.
• Una SNR alta indica una señal más fuerte en relación con el ruido.

Definición de SNR

• La SNR se calcula como $SNR = \frac{P_{señal}}{P_{ruido}}$, donde $P_{señal}$ es la potencia de la señal y $P_{ruido}$ es la potencia del ruido.
• En decibelios (dB), $SNR_{dB} = 10 \log_{10} (\frac{P_{señal}}{P_{ruido}})$.
• También puede expresarse en términos de amplitud como $SNR_{dB} = 20 \log_{10} (\frac{A_{señal}}{A_{ruido}})$.

Interpretación de SNR

• Una SNR de 0 dB indica que la potencia de la señal es igual a la del ruido.
• Una SNR positiva indica que la señal es más fuerte que el ruido.
• Una SNR negativa indica que el ruido es más fuerte que la señal.

Aplicaciones de SNR

• La SNR se emplea en comunicaciones, procesamiento de señales, imágenes y audio.
• Una alta SNR mejora la calidad de la señal y facilita la detección y el procesamiento.

Introducción a la Probabilidad

Definiciones Básicas

• Experimento: Un proceso que resulta en un resultado.
• Espacio Muestral: El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento.
• Evento: Un subconjunto del espacio muestral.
• Probabilidad: Una medida de la probabilidad de que ocurra un evento.

Tipos de Probabilidad

• Probabilidad Clásica: Se aplica cuando todos los resultados en el espacio muestral son igualmente probables; $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$.
• Probabilidad Empírica: Basada en observaciones obtenidas de experimentos de probabilidad; $P(E) = \frac{\text{Frecuencia del evento E}}{\text{Frecuencia total}}$.
• Probabilidad Subjetiva: Resultados de la intuición, conjeturas y estimaciones.

Reglas Básicas de Probabilidad

• La probabilidad de cualquier evento E debe ser $0 \leq P(E) \leq 1$.
• La suma de las probabilidades de todos los resultados en un espacio muestral debe ser igual a 1: $\sum P(E) = 1$.

Complemento de un Evento

• El conjunto de todos los resultados en un espacio muestral que no están incluidos en el evento E.
• $P(E') = 1 - P(E)$.

Probabilidad Condicional

• La probabilidad de que ocurra un evento E, dado que ya ha ocurrido otro evento F.
• $P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)}$.

Eventos Independientes y Dependientes

• Eventos Independientes: La ocurrencia de uno no afecta la probabilidad del otro.
  • $P(E|F) = P(E)$ o $P(F|E) = P(F)$
  • $P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F)$
• Eventos Dependientes: La ocurrencia de uno afecta la probabilidad del otro.
  • $P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F|E)$ o $P(E \cap F) = P(F) \cdot P(E|F)$

Regla de Adición

• Regla General de Adición: $P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$.
• Eventos Mutuamente Exclusivos: No pueden ocurrir al mismo tiempo.
  • $P(E \cap F) = 0$
  • $P(E \cup F) = P(E) + P(F)$

Regla de Multiplicación

• Regla General de Multiplicación: $P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F|E)$.
• Eventos Independientes: $P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F)$.