Calculus Basics: Derivatives and Integrals

¿Cuál es la notación común pararepresentar la derivada de una función?

Si f(x) = x^2, ¿cuál es la derivada de f(x) utilizando la regla de potencias?

¿Qué regla de diferenciación se utiliza para encontrar la derivada de una función producto?

¿Qué representa la derivada de una función en un punto?

¿Qué es una integral definida?

¿Cuál es la regla básica de integración para una función constante por una función?

¿Qué aplicación de integrales se utiliza para encontrar el área entre dos curvas?

¿Cuál es el nombre de la regla de integración que se utiliza para sustituir una función por otra?

¿Qué se utiliza para encontrar el volumen de un sólido con una sección transversal conocida?

¿Cuál es la derivada de f(x) = 3x^2?

Si f(x) = (x^2 + 1) / (x^2 - 1), ¿cuál es la derivada de f(x) utilizando la regla de cociente?

¿Cuál es la integral de ∫(2x^2 + 3x - 1) dx?

Si f(x) = e^(3x), ¿cuál es la derivada de f(x)?

¿Cuál es la integral de ∫(e^x / x) dx?

Si f(x) = sin(x), ¿cuál es la derivada de f(x)?

¿Cuál es la integral de ∫(sin(x) / cos(x)) dx?

Si f(x) = x^2, ¿cuál es la integral de ∫f(x) dx?

Derivatives (Derivadas)

Definition

A derivative measures the rate of change of a function with respect to its input.
Notation: f'(x) or (d/dx)f(x)

Rules of Differentiation

Power Rule: If f(x) = x^n, then f'(x) = n*x^(n-1)
Product Rule: If f(x) = u(x)*v(x), then f'(x) = u'(x)*v(x) + u(x)*v'(x)
Quotient Rule: If f(x) = u(x)/v(x), then f'(x) = (u'(x)*v(x) - u(x)*v'(x)) / v(x)^2
Chain Rule: If f(x) = g(h(x)), then f'(x) = g'(h(x))*h'(x)

Geometric Interpretation

The derivative of a function at a point represents the slope of the tangent line to the function's graph at that point.

Integrals (Integrales)

Definition

A definite integral represents the area under a curve between two points.
Notation: ∫[a,b] f(x) dx

Types of Integrals

Definite Integral: A definite integral has a specific upper and lower bound.
Indefinite Integral: An indefinite integral is an antiderivative of a function, denoted by ∫f(x) dx.

Basic Integration Rules

Constant Multiple Rule: ∫k*f(x) dx = k*∫f(x) dx
Sum Rule: ∫f(x) + g(x) dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx
Substitution Method: ∫f(g(x))g'(x) dx = ∫f(u) du (where u = g(x))

Applications of Integrals

Area Between Curves: Integrals can be used to find the area between two curves.
Volume of Solids: Integrals can be used to find the volume of solids with a known cross-sectional area.

Test your understanding of calculus fundamentals, including derivatives, rules of differentiation, and types of integrals. Practice problems cover geometric interpretations and applications of integrals.