Cálculo: Límites y Derivadas

Calculus

Limits

• A limit represents the behavior of a function as the input (or x-value) approaches a specific value.
• Notation: lim x→a f(x) = L, read as "the limit as x approaches a of f(x) is L".
• Properties:
  • Linearity: lim x→a [af(x) + bg(x)] = a lim x→a f(x) + b lim x→a g(x)
  • Homogeneity: lim x→a [f(x)]^n = [lim x→a f(x)]^n

Derivatives

• A derivative measures the rate of change of a function with respect to its input.
• Notation: f'(x) or (d/dx)f(x)
• Rules:
  • Power rule: If f(x) = x^n, then f'(x) = nx^(n-1)
  • Product rule: If f(x) = u(x)v(x), then f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
  • Chain rule: If f(x) = g(h(x)), then f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)

Integrals

• A definite integral represents the area between a function and the x-axis over a specific interval.
• Notation: ∫[a,b] f(x) dx
• Rules:
  • Fundamental Theorem of Calculus: ∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a), where F(x) is the antiderivative of f(x)
  • Substitution method: Substitute u = φ(x) to transform the integral into a more manageable form

Combinatorics

Permutations

• A permutation is an arrangement of objects in a specific order.
• Notation: n! (n factorial) represents the number of permutations of n objects.
• Formula: n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1

Combinations

• A combination is a selection of objects without regard to order.
• Notation: C(n, k) or "n choose k" represents the number of combinations of k objects from a set of n objects.
• Formula: C(n, k) = n! / (k! × (n-k)!)

Recurrence Relations

• A recurrence relation is a recursive formula that defines a sequence of numbers.
• Example: Fibonacci sequence: F(n) = F(n-1) + F(n-2), where F(1) = F(2) = 1
• Solving methods:
  • Iteration: Expand the recurrence relation to find a closed-form expression.
  • Master theorem: A general method for solving recurrence relations of the form T(n) = aT(n/b) + f(n)

Cálculo

Límites

• Un límite representa el comportamiento de una función cuando la entrada (o valor x) se acerca a un valor específico.
• Notación: lim x→a f(x) = L, se lee como "el límite cuando x se acerca a a de f(x) es L".
• Propiedades:
  • Linealidad: lim x→a [af(x) + bg(x)] = a lim x→a f(x) + b lim x→a g(x)
  • Homogeneidad: lim x→a [f(x)]^n = [lim x→a f(x)]^n

Derivadas

• Una derivada mide la tasa de cambio de una función con respecto a su entrada.
• Notación: f'(x) o (d/dx)f(x)
• Reglas:
  • Regla de potencias: Si f(x) = x^n, entonces f'(x) = nx^(n-1)
  • Regla del producto: Si f(x) = u(x)v(x), entonces f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
  • Regla de la cadena: Si f(x) = g(h(x)), entonces f'(x) = g'(h(x)) × h'(x)

Integrales

• Una integral definida representa el área entre una función y el eje x sobre un intervalo específico.
• Notación: ∫[a,b] f(x) dx
• Reglas:
  • Teorema Fundamental del Cálculo: ∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a), donde F(x) es la antiderivada de f(x)
  • Método de sustitución: Sustituir u = φ(x) para transformar la integral en una forma más manejable

Combinatoria

Permutaciones

• Una permutación es una disposición de objetos en un orden específico.
• Notación: n! (factorial de n) representa el número de permutaciones de n objetos.
• Fórmula: n! = n × (n-1) × (n-2) ×...× 1

Combinaciones

• Una combinación es una selección de objetos sin considerar el orden.
• Notación: C(n, k) o "n choose k" representa el número de combinaciones de k objetos de un conjunto de n objetos.
• Fórmula: C(n, k) = n!/ (k!× (n-k)!)

Relaciones de Recurrencia

• Una relación de recurrencia es una fórmula recursiva que define una secuencia de números.
• Ejemplo: Secuencia de Fibonacci: F(n) = F(n-1) + F(n-2), donde F(1) = F(2) = 1
• Métodos de resolución:
  • Iteración: Expandir la relación de recurrencia para encontrar una expresión cerrada.
  • Teorema maestro: Un método general para resolver relaciones de recurrencia de la forma T(n) = aT(n/b) + f(n)