Cálculo: Integrales Definidas

Definite Integrals

• A definite integral is a type of integral that has a specific upper and lower bound, denoted as ∫[a, b] f(x) dx
• It represents the area between the curve of the function f(x) and the x-axis, within the limits [a, b]
• The fundamental theorem of calculus states that differentiation and integration are inverse processes, allowing us to evaluate definite integrals using antiderivatives
• Definite integrals can be used to solve problems involving area, volume, and other quantities

Indefinite Integrals

• An indefinite integral is an antiderivative of a function, denoted as ∫f(x) dx
• It represents the family of all functions that, when differentiated, return the original function f(x)
• Indefinite integrals are used to find the general form of a function, without specifying the upper and lower bounds
• The constant of integration, C, is added to the result to indicate that the antiderivative is not unique

Integration By Parts

• Integration by parts is a technique used to integrate products of functions, denoted as ∫u(x)v'(x) dx
• The formula for integration by parts is: ∫u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x) dx
• This technique is useful when one function can be easily integrated, and the other function can be easily differentiated
• It is often used to integrate functions that involve products of trigonometric functions, logarithmic functions, and exponential functions

Integration By Substitution

• Integration by substitution is a technique used to integrate functions by substituting a new variable or expression, denoted as t = φ(x)
• The formula for integration by substitution is: ∫f(x) dx = ∫f(φ(t))φ'(t) dt
• This technique is useful when the original function can be transformed into a simpler function, making it easier to integrate
• It is often used to integrate functions that involve trigonometric functions, exponential functions, and logarithmic functions

Improper Integrals

• An improper integral is a type of integral that extends the concept of definite integrals to infinite or semi-infinite intervals
• There are two types of improper integrals:
  • Infinite limits: ∫[a, ∞) f(x) dx or ∫(-∞, b] f(x) dx
  • Infinite discontinuities: ∫[a, b] f(x) dx, where f(x) has an infinite discontinuity at x = c, a ≤ c ≤ b
• Improper integrals can be used to solve problems involving infinite series, infinite products, and other quantities that extend to infinity

Integrales Definidas

• Una integral definida es un tipo de integral que tiene límites superior e inferior específicos, denotados como ∫[a, b] f(x) dx
• Representa el área entre la curva de la función f(x) y el eje x, dentro de los límites [a, b]
• El teorema fundamental del cálculo establece que la diferenciación y la integración son procesos inversos, lo que nos permite evaluar integrales definidas utilizando antiderivadas
• Las integrales definidas se utilizan para resolver problemas que involucran área, volumen y otras cantidades

Integrales Indefinidas

• Una integral indefinida es una antiderivada de una función, denotada como ∫f(x) dx
• Representa la familia de todas las funciones que, cuando se derivan, regresan a la función original f(x)
• Las integrales indefinidas se utilizan para encontrar la forma general de una función, sin especificar los límites superior e inferior
• La constante de integración, C, se agrega al resultado para indicar que la antiderivada no es única

Integración por Partes

• Laintegración por partes es una técnica utilizada para integrar productos de funciones, denotadas como ∫u(x)v'(x) dx
• La fórmula para la integración por partes es: ∫u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x) dx
• Esta técnica es útil cuando una función puede integrarse fácilmente, y la otra función puede diferenciarse fácilmente
• Se utiliza a menudo para integrar funciones que involucran productos de funciones trigonométricas, funciones logarítmicas y funciones exponenciales

Integración por Sustitución

• La integración por sustitución es una técnica utilizada para integrar funciones sustituyendo una nueva variable o expresión, denotada como t = φ(x)
• La fórmula para la integración por sustitución es: ∫f(x) dx = ∫f(φ(t))φ'(t) dt
• Esta técnica es útil cuando la función original puede transformarse en una función más simple, lo que facilita la integración
• Se utiliza a menudo para integrar funciones que involucran funciones trigonométricas, funciones exponenciales y funciones logarítmicas

Integrales Improperias

• Una integral impropia es un tipo de integral que amplía el concepto de integrales definidas a intervalos infinitos o semi-infinidos
• Hay dos tipos de integrales improperias:
  • Límites infinitos: ∫[a, ∞) f(x) dx o ∫(-∞, b] f(x) dx
  • Discontinuidades infinitas: ∫[a, b] f(x) dx, donde f(x) tiene una discontinuidad infinita en x = c, a ≤ c ≤ b
• Las integrales improperias se pueden utilizar para resolver problemas que involucran series infinitas, productos infinitos y otras cantidades que se extienden hasta el infinito