Cálculo: Integrales Definidas

A definite integral is a type of integral that has a specific upper and lower bound, denoted as ∫[a, b] f(x) dx
It represents the area between the curve of the function f(x) and the x-axis, within the limits [a, b]
The fundamental theorem of calculus states that differentiation and integration are inverse processes, allowing us to evaluate definite integrals using antiderivatives
Definite integrals can be used to solve problems involving area, volume, and other quantities

An indefinite integral is an antiderivative of a function, denoted as ∫f(x) dx
It represents the family of all functions that, when differentiated, return the original function f(x)
Indefinite integrals are used to find the general form of a function, without specifying the upper and lower bounds
The constant of integration, C, is added to the result to indicate that the antiderivative is not unique

Integration by parts is a technique used to integrate products of functions, denoted as ∫u(x)v'(x) dx
The formula for integration by parts is: ∫u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x) dx
This technique is useful when one function can be easily integrated, and the other function can be easily differentiated
It is often used to integrate functions that involve products of trigonometric functions, logarithmic functions, and exponential functions

Integration by substitution is a technique used to integrate functions by substituting a new variable or expression, denoted as t = φ(x)
The formula for integration by substitution is: ∫f(x) dx = ∫f(φ(t))φ'(t) dt
This technique is useful when the original function can be transformed into a simpler function, making it easier to integrate
It is often used to integrate functions that involve trigonometric functions, exponential functions, and logarithmic functions

An improper integral is a type of integral that extends the concept of definite integrals to infinite or semi-infinite intervals
There are two types of improper integrals:
- Infinite limits: ∫[a, ∞) f(x) dx or ∫(-∞, b] f(x) dx
- Infinite discontinuities: ∫[a, b] f(x) dx, where f(x) has an infinite discontinuity at x = c, a ≤ c ≤ b
Improper integrals can be used to solve problems involving infinite series, infinite products, and other quantities that extend to infinity

Una integral definida es un tipo de integral que tiene límites superior e inferior específicos, denotados como ∫[a, b] f(x) dx
Representa el área entre la curva de la función f(x) y el eje x, dentro de los límites [a, b]
El teorema fundamental del cálculo establece que la diferenciación y la integración son procesos inversos, lo que nos permite evaluar integrales definidas utilizando antiderivadas
Las integrales definidas se utilizan para resolver problemas que involucran área, volumen y otras cantidades

Una integral indefinida es una antiderivada de una función, denotada como ∫f(x) dx
Representa la familia de todas las funciones que, cuando se derivan, regresan a la función original f(x)
Las integrales indefinidas se utilizan para encontrar la forma general de una función, sin especificar los límites superior e inferior
La constante de integración, C, se agrega al resultado para indicar que la antiderivada no es única

Laintegración por partes es una técnica utilizada para integrar productos de funciones, denotadas como ∫u(x)v'(x) dx
La fórmula para la integración por partes es: ∫u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x) dx
Esta técnica es útil cuando una función puede integrarse fácilmente, y la otra función puede diferenciarse fácilmente
Se utiliza a menudo para integrar funciones que involucran productos de funciones trigonométricas, funciones logarítmicas y funciones exponenciales

La integración por sustitución es una técnica utilizada para integrar funciones sustituyendo una nueva variable o expresión, denotada como t = φ(x)
La fórmula para la integración por sustitución es: ∫f(x) dx = ∫f(φ(t))φ'(t) dt
Esta técnica es útil cuando la función original puede transformarse en una función más simple, lo que facilita la integración
Se utiliza a menudo para integrar funciones que involucran funciones trigonométricas, funciones exponenciales y funciones logarítmicas

Una integral impropia es un tipo de integral que amplía el concepto de integrales definidas a intervalos infinitos o semi-infinidos
Hay dos tipos de integrales improperias:
- Límites infinitos: ∫[a, ∞) f(x) dx o ∫(-∞, b] f(x) dx
- Discontinuidades infinitas: ∫[a, b] f(x) dx, donde f(x) tiene una discontinuidad infinita en x = c, a ≤ c ≤ b
Las integrales improperias se pueden utilizar para resolver problemas que involucran series infinitas, productos infinitos y otras cantidades que se extienden hasta el infinito