Definite Integrals

Definite Integrals

Definition

A definite integral is a type of integral that has a specific upper and lower bound, denoted as:

∫[a, b] f(x) dx

where a and b are the lower and upper bounds, respectively, and f(x) is the function being integrated.

Properties

• Linearity: The definite integral is linear, meaning that: ∫[a, b] (af(x) + bg(x)) dx = a∫[a, b] f(x) dx + b∫[a, b] g(x) dx
• Additivity: The definite integral is additive, meaning that: ∫[a, b] f(x) dx = ∫[a, c] f(x) dx + ∫[c, b] f(x) dx
• Monotonicity: If f(x) ≥ g(x) on [a, b], then: ∫[a, b] f(x) dx ≥ ∫[a, b] g(x) dx
• Bounding: If m ≤ f(x) ≤ M on [a, b], then: m(b - a) ≤ ∫[a, b] f(x) dx ≤ M(b - a)

Fundamental Theorem of Calculus

The Fundamental Theorem of Calculus (FTC) relates the definite integral to the antiderivative of a function. It states that:

∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)

where F(x) is the antiderivative of f(x).

Evaluation of Definite Integrals

Definite integrals can be evaluated using various techniques, including:

• Substitution Method: Substitute u = φ(x) to transform the integral into a more manageable form.
• Integration by Parts: Use the formula ∫[a, b] udv = uv|[a, b] - ∫[a, b] vdu.
• Integration by Partial Fractions: Break down a rational function into simpler fractions and integrate each separately.

Applications of Definite Integrals

Definite integrals have numerous applications in various fields, including:

• Area Between Curves: Find the area between two curves by integrating the difference between the two functions.
• Volume of Solids: Find the volume of a solid by integrating the area of the base with respect to the height.
• Work and Energy: Calculate the work done by a force or the energy of an object using definite integrals.

Definite Integrals (Belirli Integral)

Tanım

• Belirli integral, üst ve alt sınırı olan bir integraldir ve şu şekilde gösterilir: ∫[a, b] f(x) dx
• Burada a ve b sırasıyla alt ve üst sınır, f(x) ise integrate edilen fonksiyondur.

Özellikler

• Lineerlik: Belirli integral, lineerdir, yani: ∫[a, b] (af(x) + bg(x)) dx = a∫[a, b] f(x) dx + b∫[a, b] g(x) dx
• Additivite: Belirli integral, additiftir, yani: ∫[a, b] f(x) dx = ∫[a, c] f(x) dx + ∫[c, b] f(x) dx
• Monotonluk: f(x) ≥ g(x) ise [a, b] aralığında, o halde: ∫[a, b] f(x) dx ≥ ∫[a, b] g(x) dx
• Sınırlandırma: m ≤ f(x) ≤ M ise [a, b] aralığında, o halde: m(b - a) ≤ ∫[a, b] f(x) dx ≤ M(b - a)

Fundamental Theorem of Calculus (Kalkülüsün Temel Teoremi)

• Kalkülüsün Temel Teoremi, belirli integrali bir fonksiyonun tersine соотносит.
• O şöyle der: ∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)
• Burada F(x) ise f(x) fonksiyonunun tersidir.

Belirli Integral Değerlendirmesi

• Belirli integral, çeşitli tekniklerle değerlendirilebilir, bu teknikler şunlardır:
• Substitution Methodu: u = φ(x) yerine koymakla integralin daha yönetilebilir bir forma dönüştürülmesi.
• Integration by Parts: ∫[a, b] udv = uv|[a, b] - ∫[a, b] vdu formülünü kullanmak.
• Integration by Partial Fractions: Rasyonel bir fonksiyonu basitçe bölümlere ayırıp her birini ayrı ayrı integrate etmek.

Belirli Integral Uygulamaları

• Belirli integral, çeşitli alanlarda uygulamaları vardır, bu uygulamalar şunlardır:
• Kurve Arasında Alan: İki kurvenin arasındaki alanı, fonksiyonlarının farkını integrate ederek bulmak.
• Katı Hacimleri: Bir katı’nın hacmini, taban alanının yüksekliğe göre integrate edilmesi ile bulmak.
• İş ve Enerji: Bir kuvvet tarafından yapılan işi veya bir nesnenin enerjisini, belirli integral kullanarak hesaplamak.