Cálculo de Integrales

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Questions and Answers

¿Cuál es la forma correcta de la antiderivada de la función $f(x) = x^3 - 3x^2 + 5$?

$3x^2 - 6x$

$3x^2 - 6x + C$

$x^4 - x^3 + 5x + C$ (correct)

$rac{1}{4} x^4 - x^3 + 5x + C$

¿Cuál es la integral de $sin x$ respecto a $x$?

$-sin x + C$

$sin x + C$

$-cos x + C$ (correct)

$cos x + C$

Si $ int_0^1 f(x)dx = 2$ y $ int_1^3 f(x)dx = 6$, ¿cuál es el valor de $I = int_0^3 f(x)dx$?

$36$

$12$ (correct)

$4$

$8$

¿Cuál es la integral de $rac{1}{3x}$ respecto a $x$?

$rac{1}{3} ln|x| + C$ Signup and view all the answers

¿Qué forma tiene la antiderivada para $ int tan x dx$?

$-ln|cos x| + C$ Signup and view all the answers

Al calcular la integral de $x^2$, ¿cuál es la expresión correcta?

$rac{1}{3}x^3 + C$ Signup and view all the answers

¿Cuál de las siguientes opciones es la integral de $e^x$?

$e^x + C$ Signup and view all the answers

¿Cuál es el resultado de integrar $rac{1}{x^2}$?

$-rac{1}{x} + C$ Signup and view all the answers

¿Cuál es la integral de $e^{2x}$?

$\frac{1}{2} e^{2x} + C$ Signup and view all the answers

Si $,\int f(x) ,dx = 2$, ¿cuánto es $,\int [3f(x) - 2] ,dx$?

$I=4$ Signup and view all the answers

Si $F'(x)$ es una primitiva de $f(x)$, con $F(9) = 7$, ¿cuál es el valor de $F(1)$?

$F(1) = 1$ Signup and view all the answers

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la función $y = f(x)$ es correcta?

La función es continua en todos los reales. Signup and view all the answers

¿Qué resultado se obtiene al integrar $f(x)=x^2$ en el intervalo de $0$ a $1$?

$\frac{1}{3}$ Signup and view all the answers

¿Cuál es la integral indefinida de $f(x) = 3x^2$?

$\frac{3}{3} x^3 + C$ Signup and view all the answers

Si $f$ es una función tal que su integral es una constante, ¿qué implicación tiene esto?

La función $f$ es constante. Signup and view all the answers

¿Cuál es la derivada de $F(x) = x^4$?

$4x^3$ Signup and view all the answers

¿Qué representa la integral de $f(x)$ cuando se expresa como $ eq rac{1}{2} igg( rac{2f}{2}(a, c) igg)$?

La suma de las integrales definidas en sus límites. Signup and view all the answers

Si $orall a, c: eq rac{f}{(c-a)}$, ¿cuál es el resultado de la suma de las integrales sobre el mismo intervalo?

El doble de la integral sobre el mismo intervalo. Signup and view all the answers

Si se tiene que $ eg rac{f(x)}{dx} = -rac{1}{2}[rac{1}{2}(1, 1)]$, ¿qué implica esto para la integral de $f(x)$ entre esos límites?

La integral es negativa. Signup and view all the answers

El valor de $ eg rac{1}{2} [3f(x) + 2g(x)]$ para $f(x)$ dado como $ eq 5$ y $g(x)$ como $ eq -4$, ¿cuál es?

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Basado en la relación integrativa, $orall eg k: eg rac{f(x)}{dx} = rac{1}{3}( eq 1)$, ¿cuál es la evaluación de la integral de $f(x)$?

Depende del comportamiento de $f(x)$ en los extremos. Signup and view all the answers

Si se propone la relación: $ eg rac{f(x)}{dx} = eq 3f + 2g$, ¿qué se puede deducir sobre las integrales en su evaluación?

La relación implica una dependencia linear entre $f$ y $g$. Signup and view all the answers

¿Cuál es la propiedad fundamental que rige la operación de la suma de integrales de funciones continuas?

Se puede representar como integral única en un nuevo intervalo. Signup and view all the answers

Si $ eg rac{f(x)}{dx} + eg g(x) = eq 2 f(x)$, ¿cuál es la condición que se presenta sobre $g(x)$?

g(x) es proporcional a f(x). Signup and view all the answers

Study Notes

### Cálculo de Integrales

La integral de una función es la suma de áreas bajo la curva de la función entre dos puntos dados (límite inferior y límite superior), y se puede aplicar a diferentes tipos de funciones.
Las integrales indefinidas de una función representas una familia de funciones que tienen la misma derivada. Los términos "integral" y "antiderivada" se utilizan indistintamente. En muchas aplicaciones, la constante de integración puede determinarse a partir de una condición inicial.
Una integral definida es un valor numérico que representa el área bajo la curva de una función entre dos puntos dados.

### Ejemplos de integración

∫ sin x dx = - cosx + C, donde C es la constante de integración
∫ tan x dx = -ln (cos x) + C
∫ e^2x dx = (1/2)e^2x + C
∫ (1/x) dx = ln|x| + C

Integrales definidas

∫_a^b f(x) dx representa el área bajo la curva de f(x) entre a y b
∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx = ∫_a^b f(x) dx, donde a < c < b
La fórmula fundamental del cálculo: ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a), donde F(x) es una antiderivada de f(x)

### Aplicaciones

El cálculo de áreas, volúmenes, longitudes de curvas.
La resolución de ecuaciones diferenciales para modelar procesos físicos.
El cálculo de probabilidades y estadísticas

### Resumen

Las integrales son una herramienta esencial en cálculo y en muchas ramas de la ciencia e ingeniería.
Entender las propiedades de las integrales y poder calcularlas es fundamental para resolver problemas de manera eficiente.

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Description

Este cuestionario se centra en el cálculo de integrales, tanto indefinidas como definidas. Aprenderás a interpretar y resolver integrales, así como a aplicar la fórmula fundamental del cálculo. Aquí encontrarás ejemplos y conceptos clave relacionados con esta importante área de las matemáticas.