Derivate Parziali e Funzioni Differenziabili
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Questions and Answers

Qual è la forma della funzione g(h, k) descritta nel contenuto?

  • g(h, k) = φ'(x) h
  • g(h, k) = φ(x0 + h) − φ(x0) (correct)
  • g(h, k) = (∂y ∂x f)(ˆx, ˆy) hk (correct)
  • g(h, k) = ∂x f(ˆx, y0 + k) − ∂x f(ˆx, y0)

    • Quale risultato deriva dal teorema del valore medio applicato a g(h, k)?

  • g(h, k) = φ(x0) + φ'(x0)
  • g(h, k) = (∂x f)(x0 + h, y0) − (∂x f)(x0, y0)
  • g(h, k) = (∂y ∂x f)(ˆx, ˆy) hk (correct)
  • g(h, k) = ∂y f(x0 + h, y0) − ∂y f(x0, y0)

    • Cosa implica la condizione |h|, |k| < δ riguardo a g(h, k)?

  • g(h, k) è limitato da una certa tolleranza ε. (correct)
  • g(h, k) è invariato con l'aumentare di h e k.
  • g(h, k) tende a zero quando h e k tendono a zero. (correct)
  • g(h, k) ha valori indipendenti da h e k.

    • Quale affermazione è vera riguardo all'ordine di derivazione delle funzioni continue?

    <p>Scambiare l'ordine di derivazione non modifica il risultato.</p> Signup and view all the answers

    Cosa si può dedurre quando si passa al limite per h → 0?

    <p>|(∂x ∂y f)(x0, y0) − (∂y ∂x f)(x0, y0)| ≤ ε.</p> Signup and view all the answers

    Quale delle seguenti affermazioni sulla funzione h(t) = f(x + te) è corretta?

    <p>h(t) è una funzione della variabile t che dipende da e.</p> Signup and view all the answers

    Cosa rappresenta la derivata parziale ∂xi f(x) per una funzione f?

    <p>La variazione della funzione f solo rispetto alla variabile x_i.</p> Signup and view all the answers

    Se f è derivabile rispetto a xi, quale delle seguenti affermazioni è vera?

    <p>Le derivate parziali sono addititve per la somma di funzioni derivabili.</p> Signup and view all the answers

    Cosa stabilisce il teorema riguardo a ∂x ∂y f e ∂y ∂x f?

    <p>Sono uguali se sono entrambe continue in un intorno di (x0, y0).</p> Signup and view all the answers

    Nella definizione della derivata parziale, cosa accade quando t tende a zero?

    <p>Viene calcolata la limitata variazione di f rispetto a xi.</p> Signup and view all the answers

    Quale è un esempio di derivata parziale di f(x, y, z) = 3xyz + 2x^2 + z^2?

    <p>∂y f = 3xz.</p> Signup and view all the answers

    Quale delle seguenti affermazioni riguardo alle derivate seconde è corretta?

    <p>Possono differire se non sono continue.</p> Signup and view all the answers

    Qual è il significato di fissare un versore e nella derivazione parziale?

    <p>Permette di variare solo una variabile mantenendo le altre fisse.</p> Signup and view all the answers

    Quale delle seguenti affermazioni è vera riguardo alle derivate parziali di una funzione f?

    <p>La continuità delle derivate parziali fino a un certo ordine garantisce che lo scambio dell'ordine di derivazione non cambi il risultato.</p> Signup and view all the answers

    Cosa implica il limite per k → 0 nella funzione g(h, k)?

    <p>g(h, k) converge a una differenza fra derivate parziali.</p> Signup and view all the answers

    Qual è il significato del termine |∂y ∂x f(ˆx, ˆy) - ∂y ∂x f(x0, y0)| < ε quando |h|, |k| < δ?

    <p>Esprime una continuità della funzione f in un intorno di (x0, y0).</p> Signup and view all the answers

    Nel contesto delle derivate parziali, quale affermazione è corretta riguardo all'esistenza di limiti?

    <p>La continuità in un punto assicura l'esistenza dei limiti delle derivate parziali.</p> Signup and view all the answers

    Che tipo di condizione è necessaria per l'applicazione del teorema del valore medio a g(h, k)?

    <p>Le variabili h e k devono essere limitate in un intervallo sufficientemente piccolo.</p> Signup and view all the answers

    Qual è il significato della funzione h(t) definita come h(t) := f(x + te)?

    <p>Rappresenta il comportamento della funzione lungo una retta.</p> Signup and view all the answers

    Cosa rappresenta il limite nella definizione della derivata parziale ∂xi f(x)?

    <p>La variazione di f quando tutte le altre variabili sono fissate.</p> Signup and view all the answers

    Quale delle seguenti affermazioni è vera riguardo alla continuità delle derivate parziali?

    <p>La continuità di ∂y ∂x f implica continuità di ∂x ∂y f.</p> Signup and view all the answers

    Quando si afferma che una derivata parziale è derivabile, cosa si può dedurre riguardo alle derivate seconde?

    <p>Si può definire la derivata parziale di ordine r.</p> Signup and view all the answers

    Qual è la condizione necessaria affinché le derivate parziali ∂x ∂y f e ∂y ∂x f siano uguali?

    <p>Le derivate parziali devono esistere in un certo intorno N.</p> Signup and view all the answers

    In quale situazione le derivate ∂y ∂x f e ∂x ∂y f possono differire?

    <p>Quando almeno una delle derivate non è continua.</p> Signup and view all the answers

    Cosa implica la scelta di un versore e nel contesto delle derivate parziali?

    <p>Permette di fissare tutte le variabili eccetto una.</p> Signup and view all the answers

    Qual è il ruolo della condizione |h|, |k| < δ nella definizione di g(h, k)?

    <p>Limitare l'escursione delle variabili h e k.</p> Signup and view all the answers

    Study Notes

    Derivate Parziali e Funzioni Differenziabili

    • Le derivate parziali misurano il cambiamento di una funzione rispetto ad una sola variabile, mantenendo le altre costanti. Il calcolo si effettua lungo una retta con direzione di un versore.
    • La derivata parziale rispetto a xᵢ di una funzione f è il limite del rapporto incrementale, dove l'incremento è nella direzione del versore eᵢ. Questo limite è calcolato facendo variare solo la variabile xᵢ.
    • Esempio di calcolo di derivate parziali: per f(x, y, z) = 3xyz + 2x² + z², ∂ₓf = 3yz + 4x, ∂ᵧf = 3xz, ∂₂f = 3xy + 2z.
    • Le derivate parziali soddisfano le proprietà di linearità e prodotto, simili a quelle delle derivate ordinarie. Inoltre, se f e g sono derivabili rispetto a xᵢ, ∂ x i ( f + g ) = ∂ x i f + ∂ x i g, ∂ x i ( f g ) = ∂ x i f g + ∂ x i g, e, se g ≠ 0 nel punto in questione, ∂ x i f /g = (g∂ x i f − f ∂ x i g) / g².
    • Le derivate parziali di ordine superiore possono essere definite iterando il processo.
    • L'ordine di derivazione in una funzione con più variabili può influenzare il risultato, ma se le derivate parziali di tutti gli ordini fino ad un dato ordine sono continue, l'ordine di derivazione non cambia il risultato. Questo è fondamentale per la definizione di derivate miste.
    • Un teorema chiave stabilisce che se le derivate parziali prime e seconde di una funzione sono continue in un intorno di un punto, allora le derivate seconde miste sono uguali in quel punto (ad esempio, ∂ᵧ∂ₓf = ∂ₓ∂ᵧf). La dimostrazione utilizza il teorema del valor medio e la continuità delle derivate parziali seconde. Questo teorema è valido per un intorno del punto in esame.
    • La definizione di derivata parziale è esplicitamente illustrata attraverso il limite del rapporto incrementale lungo la direzione del versore eᵢ.
    • Se una funzione è differenziabile, le derivate parziali prime esistono e sono continue in un intorno del punto di interesse.

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