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Questions and Answers
Qual è la forma della funzione g(h, k) descritta nel contenuto?
Qual è la forma della funzione g(h, k) descritta nel contenuto?
- g(h, k) = φ'(x) h
- g(h, k) = φ(x0 + h) − φ(x0) (correct)
- g(h, k) = (∂y ∂x f)(ˆx, ˆy) hk (correct)
- g(h, k) = ∂x f(ˆx, y0 + k) − ∂x f(ˆx, y0)
Quale risultato deriva dal teorema del valore medio applicato a g(h, k)?
Quale risultato deriva dal teorema del valore medio applicato a g(h, k)?
- g(h, k) = φ(x0) + φ'(x0)
- g(h, k) = (∂x f)(x0 + h, y0) − (∂x f)(x0, y0)
- g(h, k) = (∂y ∂x f)(ˆx, ˆy) hk (correct)
- g(h, k) = ∂y f(x0 + h, y0) − ∂y f(x0, y0)
Cosa implica la condizione |h|, |k| < δ riguardo a g(h, k)?
Cosa implica la condizione |h|, |k| < δ riguardo a g(h, k)?
- g(h, k) è limitato da una certa tolleranza ε. (correct)
- g(h, k) è invariato con l'aumentare di h e k.
- g(h, k) tende a zero quando h e k tendono a zero. (correct)
- g(h, k) ha valori indipendenti da h e k.
Quale affermazione è vera riguardo all'ordine di derivazione delle funzioni continue?
Quale affermazione è vera riguardo all'ordine di derivazione delle funzioni continue?
Cosa si può dedurre quando si passa al limite per h → 0?
Cosa si può dedurre quando si passa al limite per h → 0?
Quale delle seguenti affermazioni sulla funzione h(t) = f(x + te) è corretta?
Quale delle seguenti affermazioni sulla funzione h(t) = f(x + te) è corretta?
Cosa rappresenta la derivata parziale ∂xi f(x) per una funzione f?
Cosa rappresenta la derivata parziale ∂xi f(x) per una funzione f?
Se f è derivabile rispetto a xi, quale delle seguenti affermazioni è vera?
Se f è derivabile rispetto a xi, quale delle seguenti affermazioni è vera?
Cosa stabilisce il teorema riguardo a ∂x ∂y f e ∂y ∂x f?
Cosa stabilisce il teorema riguardo a ∂x ∂y f e ∂y ∂x f?
Nella definizione della derivata parziale, cosa accade quando t tende a zero?
Nella definizione della derivata parziale, cosa accade quando t tende a zero?
Quale è un esempio di derivata parziale di f(x, y, z) = 3xyz + 2x^2 + z^2?
Quale è un esempio di derivata parziale di f(x, y, z) = 3xyz + 2x^2 + z^2?
Quale delle seguenti affermazioni riguardo alle derivate seconde è corretta?
Quale delle seguenti affermazioni riguardo alle derivate seconde è corretta?
Qual è il significato di fissare un versore e nella derivazione parziale?
Qual è il significato di fissare un versore e nella derivazione parziale?
Quale delle seguenti affermazioni è vera riguardo alle derivate parziali di una funzione f?
Quale delle seguenti affermazioni è vera riguardo alle derivate parziali di una funzione f?
Cosa implica il limite per k → 0 nella funzione g(h, k)?
Cosa implica il limite per k → 0 nella funzione g(h, k)?
Qual è il significato del termine |∂y ∂x f(ˆx, ˆy) - ∂y ∂x f(x0, y0)| < ε quando |h|, |k| < δ?
Qual è il significato del termine |∂y ∂x f(ˆx, ˆy) - ∂y ∂x f(x0, y0)| < ε quando |h|, |k| < δ?
Nel contesto delle derivate parziali, quale affermazione è corretta riguardo all'esistenza di limiti?
Nel contesto delle derivate parziali, quale affermazione è corretta riguardo all'esistenza di limiti?
Che tipo di condizione è necessaria per l'applicazione del teorema del valore medio a g(h, k)?
Che tipo di condizione è necessaria per l'applicazione del teorema del valore medio a g(h, k)?
Qual è il significato della funzione h(t) definita come h(t) := f(x + te)?
Qual è il significato della funzione h(t) definita come h(t) := f(x + te)?
Cosa rappresenta il limite nella definizione della derivata parziale ∂xi f(x)?
Cosa rappresenta il limite nella definizione della derivata parziale ∂xi f(x)?
Quale delle seguenti affermazioni è vera riguardo alla continuità delle derivate parziali?
Quale delle seguenti affermazioni è vera riguardo alla continuità delle derivate parziali?
Quando si afferma che una derivata parziale è derivabile, cosa si può dedurre riguardo alle derivate seconde?
Quando si afferma che una derivata parziale è derivabile, cosa si può dedurre riguardo alle derivate seconde?
Qual è la condizione necessaria affinché le derivate parziali ∂x ∂y f e ∂y ∂x f siano uguali?
Qual è la condizione necessaria affinché le derivate parziali ∂x ∂y f e ∂y ∂x f siano uguali?
In quale situazione le derivate ∂y ∂x f e ∂x ∂y f possono differire?
In quale situazione le derivate ∂y ∂x f e ∂x ∂y f possono differire?
Cosa implica la scelta di un versore e nel contesto delle derivate parziali?
Cosa implica la scelta di un versore e nel contesto delle derivate parziali?
Qual è il ruolo della condizione |h|, |k| < δ nella definizione di g(h, k)?
Qual è il ruolo della condizione |h|, |k| < δ nella definizione di g(h, k)?
Flashcards
Teorema del Valore Medio
Teorema del Valore Medio
Il teorema del valore medio afferma che se una funzione f è continua sull'intervallo [a, b] e derivabile nell'intervallo (a, b), allora esiste un punto c nell'intervallo (a, b) tale che f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a). In altre parole, la derivata in un punto intermedio dell'intervallo è uguale al rapporto incrementale della funzione.
Relazione tra variazione di f e h, k
Relazione tra variazione di f e h, k
L'equazione g(h, k) = (∂y ∂x f)(ˆx, ˆy) hk rappresenta la relazione tra il cambiamento della funzione f rispetto a h e k, utilizzando il teorema del valore medio per la derivata parziale rispetto a x.
Derivate miste e ordine di derivazione
Derivate miste e ordine di derivazione
La condizione | (∂x ∂y f)(x0, y0) - (∂y ∂x f)(x0, y0) | ≤ indica che la differenza tra le derivate miste di f rispetto a x e y in un punto (x0, y0) è minore o uguale a un limite. Questo suggerisce che le derivate miste sono uguali, ovvero l'ordine di derivazione non influisce sul risultato.
Ordine di derivazione e regolarità della funzione
Ordine di derivazione e regolarità della funzione
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Derivata parziale
Derivata parziale
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Funzione differenziabile
Funzione differenziabile
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Calcolo della derivata parziale
Calcolo della derivata parziale
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Uso delle derivate parziali
Uso delle derivate parziali
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Teorema di Schwarz o Teorema di Clairaut
Teorema di Schwarz o Teorema di Clairaut
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Derivate parziali di ordine superiore
Derivate parziali di ordine superiore
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Simbolo per la derivata parziale
Simbolo per la derivata parziale
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Importanza delle derivate parziali
Importanza delle derivate parziali
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Scambio delle derivate parziali
Scambio delle derivate parziali
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Teorema del valore medio per derivate parziali
Teorema del valore medio per derivate parziali
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Limite della differenza tra derivate miste
Limite della differenza tra derivate miste
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Derivata Seconda e Successive
Derivata Seconda e Successive
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Teorema di Schwarz
Teorema di Schwarz
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Funzione Composta lungo una Retta
Funzione Composta lungo una Retta
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Study Notes
Derivate Parziali e Funzioni Differenziabili
- Le derivate parziali misurano il cambiamento di una funzione rispetto ad una sola variabile, mantenendo le altre costanti. Il calcolo si effettua lungo una retta con direzione di un versore.
- La derivata parziale rispetto a xᵢ di una funzione f è il limite del rapporto incrementale, dove l'incremento è nella direzione del versore eᵢ. Questo limite è calcolato facendo variare solo la variabile xᵢ.
- Esempio di calcolo di derivate parziali: per f(x, y, z) = 3xyz + 2x² + z², ∂ₓf = 3yz + 4x, ∂ᵧf = 3xz, ∂₂f = 3xy + 2z.
- Le derivate parziali soddisfano le proprietà di linearità e prodotto, simili a quelle delle derivate ordinarie. Inoltre, se f e g sono derivabili rispetto a xᵢ, ∂ x i ( f + g ) = ∂ x i f + ∂ x i g, ∂ x i ( f g ) = ∂ x i f g + ∂ x i g, e, se g ≠ 0 nel punto in questione, ∂ x i f /g = (g∂ x i f − f ∂ x i g) / g².
- Le derivate parziali di ordine superiore possono essere definite iterando il processo.
- L'ordine di derivazione in una funzione con più variabili può influenzare il risultato, ma se le derivate parziali di tutti gli ordini fino ad un dato ordine sono continue, l'ordine di derivazione non cambia il risultato. Questo è fondamentale per la definizione di derivate miste.
- Un teorema chiave stabilisce che se le derivate parziali prime e seconde di una funzione sono continue in un intorno di un punto, allora le derivate seconde miste sono uguali in quel punto (ad esempio, ∂ᵧ∂ₓf = ∂ₓ∂ᵧf). La dimostrazione utilizza il teorema del valor medio e la continuità delle derivate parziali seconde. Questo teorema è valido per un intorno del punto in esame.
- La definizione di derivata parziale è esplicitamente illustrata attraverso il limite del rapporto incrementale lungo la direzione del versore eᵢ.
- Se una funzione è differenziabile, le derivate parziali prime esistono e sono continue in un intorno del punto di interesse.
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Description
Scopri il mondo delle derivate parziali e delle funzioni differenziabili. Questo quiz esplora il calcolo delle derivate parziali, le loro proprietà e teoremi importanti. Testa le tue conoscenze su come le variabili interagiscono in funzioni multi-variabili.
