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Questions and Answers
Quelle est la caractéristique principale d'une primitive d'une fonction donnée ?
Quelle est la caractéristique principale d'une primitive d'une fonction donnée ?
- C'est une fonction qui a la même valeur que la fonction donnée en tout point.
- C'est la fonction inverse de la fonction donnée.
- C'est une fonction dont la dérivée est égale à la fonction donnée. (correct)
- C'est une fonction qui est toujours positive.
Dans l'exemple de la fonction $f(x) = \frac{e^{3x+2}}{e^{3x+2} + 1}$, pourquoi ajustons-nous la fonction avant de trouver la primitive ?
Dans l'exemple de la fonction $f(x) = \frac{e^{3x+2}}{e^{3x+2} + 1}$, pourquoi ajustons-nous la fonction avant de trouver la primitive ?
- Parce que la fonction n'a pas de primitive sans cet ajustement.
- Pour que la fonction corresponde à une forme dont on connaît la primitive, comme $\frac{u'}{u}$. (correct)
- Pour simplifier l'expression de la fonction.
- Pour rendre la fonction continue.
Dans le contexte de la recherche d'une primitive avec une condition initiale (comme G(0) = 3), quel est le rôle de cette condition initiale ?
Dans le contexte de la recherche d'une primitive avec une condition initiale (comme G(0) = 3), quel est le rôle de cette condition initiale ?
- Elle modifie la forme générale de la primitive.
- Elle simplifie le calcul de la dérivée.
- Elle assure que la primitive est continue.
- Elle permet de déterminer la constante d'intégration C. (correct)
Lors de l'analyse de la trajectoire du ballon de rugby, pourquoi néglige-t-on les frottements de l'air ?
Lors de l'analyse de la trajectoire du ballon de rugby, pourquoi néglige-t-on les frottements de l'air ?
Si l'accélération d'un objet est constante, que peut-on dire de sa vitesse ?
Si l'accélération d'un objet est constante, que peut-on dire de sa vitesse ?
Dans le contexte de la trajectoire du ballon de rugby, comment l'équation horaire de l'abscisse, $x(t) = (21 * \frac{\sqrt{2}}{2}) * t$, est-elle obtenue ?
Dans le contexte de la trajectoire du ballon de rugby, comment l'équation horaire de l'abscisse, $x(t) = (21 * \frac{\sqrt{2}}{2}) * t$, est-elle obtenue ?
Pourquoi l'équation horaire de l'ordonnée $y(t)$ contient-elle un terme quadratique en $t$ (c'est-à-dire, $-g * \frac{t^2}{2}$)?
Pourquoi l'équation horaire de l'ordonnée $y(t)$ contient-elle un terme quadratique en $t$ (c'est-à-dire, $-g * \frac{t^2}{2}$)?
Lorsqu'on calcule la hauteur du ballon à x = 40 m, quel est le but de cette étape dans le problème de la pénalité au rugby ?
Lorsqu'on calcule la hauteur du ballon à x = 40 m, quel est le but de cette étape dans le problème de la pénalité au rugby ?
Si on avait inclus les frottements de l'air dans le modèle de la trajectoire du ballon de rugby, comment cela aurait-il affecté la hauteur calculée à x = 40 m ?
Si on avait inclus les frottements de l'air dans le modèle de la trajectoire du ballon de rugby, comment cela aurait-il affecté la hauteur calculée à x = 40 m ?
Flashcards
Qu'est-ce qu'une primitive ?
Qu'est-ce qu'une primitive ?
Fonction dont la dérivée est la fonction initiale.
Primitive de f(x) = exponentiel(3x + 2) / (exponentiel(3x + 2) + 1)
Primitive de f(x) = exponentiel(3x + 2) / (exponentiel(3x + 2) + 1)
F(x) = (1/3) * ln(exponentiel(3x + 2) + 1) + C, où C est une constante réelle.
Primitive de g(x) = 2 * exponentiel(-5x/4) avec G(0) = 3
Primitive de g(x) = 2 * exponentiel(-5x/4) avec G(0) = 3
G(x) = -8/5 * exponentiel(-5x/4) + 23/5.
Principe Fondamental de la Dynamique
Principe Fondamental de la Dynamique
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Composantes du vecteur accélération (balle de rugby)
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Équation horaire de l'abscisse (balle de rugby)
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Équation horaire de l'ordonnée (balle de rugby)
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Hauteur du ballon à x = 40 m
Hauteur du ballon à x = 40 m
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Study Notes
Détermination de Primitives : Exemples
- Une primitive d'une fonction est une autre fonction dont la dérivée est la fonction initiale.
- La détermination de primitives est cruciale en calcul intégral et a des applications en physique et en ingénierie.
Exemple 1 : Fonction Quotient avec Exponentielle
- L'objectif est de déterminer les primitives de f(x) = (exponentiel(3x + 2)) / (exponentiel(3x + 2) + 1).
- f(x) est continue car elle est le quotient de deux fonctions continues, avec un dénominateur qui ne s'annule pas, donc elle admet des primitives.
- La forme de f(x) rappelle la dérivée de ln(u) qui est u'/u.
- Identification : u = exponentiel(3x + 2) + 1.
- La dérivée de u est u' = 3 * exponentiel(3x + 2).
- Ajustement de la fonction : f(x) = (1/3) * (3 * exponentiel(3x + 2)) / (exponentiel(3x + 2) + 1) = (1/3) * (u'/u).
- La primitive est F(x) = (1/3) * ln(exponentiel(3x + 2) + 1) + C, où C est une constante réelle.
Exemple 2 : Primitive avec Condition Initiale
- L'objectif est de trouver la primitive G(x) de g(x) = 2 * exponentiel(-5x/4) qui vérifie G(0) = 3.
- La méthode consiste à trouver d'abord toutes les primitives, puis à déterminer la constante C avec la condition initiale.
- Identification : g(x) est de la forme k * exponentiel(u), où u = -5x/4.
- La dérivée de u est u' = -5/4.
- Ajustement : g(x) = 2 * (1 / (-5/4)) * (-5/4) * exponentiel(-5x/4).
- Simplification : g(x) = -8/5 * (-5/4) * exponentiel(-5x/4) = -8/5 * u' * exponentiel(u).
- La primitive est G(x) = -8/5 * exponentiel(-5x/4) + C.
- Utilisation de la condition initiale G(0) = 3 : -8/5 * exponentiel(0) + C = 3.
- Calcul de C : C = 3 + 8/5 = 23/5.
- Primitive spécifique : G(x) = -8/5 * exponentiel(-5x/4) + 23/5.
Exemple 3 : Trajectoire d'un Ballon de Rugby (Application en Physique)
- Le contexte est l'analyse de la trajectoire d'un ballon de rugby lors d'une pénalité.
- Conditions initiales : Distance initiale de 40m, vitesse initiale de 21 m/s, angle de 45° (π/4 radians).
- Hypothèses : Seul le poids du ballon est pris en compte, les frottements de l'air sont négligés.
- L'objectif est de déterminer si le ballon passe au-dessus d'une barre transversale située à 3 mètres de hauteur.
- Principe Fondamental de la Dynamique : Σ Forces = m * a (masse * accélération).
- Dans ce cas, Poids = m * a, donc a = g (accélération = constante gravitationnelle).
- Composantes du vecteur accélération : a_x = 0, a_y = -g (vertical vers le bas).
- Relation entre accélération et vitesse : a = dv/dt.
Détermination des Équations Horaires : Vecteur Vitesse et Position
- Équations différentielles : dv_x/dt = 0, dv_y/dt = -g.
- Primitive de dv_x/dt = 0 : v_x(t) = K (constante).
- À t=0, v_x(0) = V0 * cos(π/4) = 21 * √2 / 2.
- Donc, v_x(t) = 21 * √2 / 2 (m/s) (constante).
- Primitive de v_x(t) : x(t) = (21 * √2 / 2) * t + C.
- À t=0, x(0) = 0, donc C = 0.
- Équation horaire de l'abscisse : x(t) = (21 * √2 / 2) * t.
Équation Horaire de l'Ordonnée
- Primitive de dv_y/dt = -g : v_y(t) = -gt + C.
- À t=0, v_y(0) = V0 * sin(π/4) = 21 * √2 / 2.
- Donc, v_y(t) = -gt + 21 * √2 / 2.
- Primitive de v_y(t) : y(t) = -g * t²/2 + (21 * √2 / 2) * t + C2.
- À t=0, y(0) = 0, donc C2 = 0.
- Équation horaire de l'ordonnée : y(t) = -g * t²/2 + (21 * √2 / 2) * t.
Analyse de la Trajectoire par rapport à la Barre Transversale
- La barre transversale est à x = 40 m.
- Trouver le temps t lorsque x(t) = 40 m : (21 * √2 / 2) * t = 40.
- Donc, t = 40 * √2 / 21.
- Calculer l'ordonnée y à cet instant t : y(t) = -g * (40 * √2 / 21)² / 2 + (21 * √2 / 2) * (40 * √2 / 21).
- Application numérique avec g = 9.81 m/s² : y ≈ 4.41 m.
- Conclusion : le ballon est à 4.41 m de hauteur lorsque son abscisse est de 40 m, donc il passe au-dessus de la barre (située à 3 m).
Conclusion
- La pénalité est réussie car le ballon passe au-dessus de la barre transversale.
- Illustre comment les primitives servent à déterminer des équations de mouvement en physique.
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