बीजगणित मूल बातें

ज़रूर, मैं आपकी मदद कर सकता हूँ। यहाँ अपडेट किए गए अध्ययन नोट्स हैं:

बीजगणित (Algebra)

• बीजगणित गणित की एक शाखा है जो संख्याओं और मात्राओं को दर्शाने के लिए प्रतीकों का उपयोग करती है।
• इसमें अज्ञात मानों को खोजने के लिए समीकरणों और असमानताओं को हल करना शामिल है।
• बीजीय व्यंजक संख्याओं, चरों और गणितीय संक्रियाओं को जोड़ते हैं।

चर (Variables)

• चर एक प्रतीक (आमतौर पर एक अक्षर) है जो एक अज्ञात मान का प्रतिनिधित्व करता है।
• चर एक एकल मान या मानों की एक श्रेणी का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं।
• आम चर में x, y, z, a, b और c शामिल हैं।

स्थिरांक (Constants)

• एक स्थिरांक एक मान है जो नहीं बदलता है।
• स्थिरांक आमतौर पर संख्याएँ होती हैं, जैसे 2, 5 या -3।

गुणांक (Coefficients)

• गुणांक एक संख्या है जो एक चर को गुणा करती है।
• उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति 3x में, गुणांक 3 है।
• यदि कोई चर गुणांक के बिना दिखाई देता है, तो गुणांक को 1 माना जाता है (उदाहरण के लिए, x, 1x के समान है)।

ऑपरेटर (Operators)

• ऑपरेटर ऐसे प्रतीक हैं जो गणितीय संक्रियाओं को दर्शाते हैं।
• आम ऑपरेटरों में शामिल हैं:
  • जोड़ (+)
  • घटाव (−)
  • गुणा (× or *)
  • भाग (÷ or /)
  • घातांक (^)

व्यंजक (Expressions)

• एक बीजीय व्यंजक चर, स्थिरांक और ऑपरेटरों का एक संयोजन है।
• बीजीय व्यंजकों के उदाहरण:
  • 3x + 2
  • y − 5
  • 2a + 3b − c
  • x^2 + 4x − 7

समीकरण (Equations)

• एक समीकरण एक कथन है कि दो व्यंजक बराबर हैं।
• समीकरणों में एक बराबर चिह्न (=) होता है।
• समीकरणों के उदाहरण:
  • 3x + 2 = 5
  • y − 5 = 10
  • 2a + 3b = c

समीकरणों को हल करना (Solving Equations)

• एक समीकरण को हल करने में चर के मान (मानों) को खोजना शामिल है जो समीकरण को सत्य बनाते हैं।
• लक्ष्य चर को समीकरण के एक तरफ अलग करना है।
• चरों को अलग करने के लिए व्युत्क्रम संक्रियाओं का उपयोग करें।

व्युत्क्रम संक्रियाएँ (Inverse Operations)

• व्युत्क्रम संक्रियाएँ एक दूसरे को "पूर्ववत" करती हैं।
• जोड़ और घटाव व्युत्क्रम संक्रियाएँ हैं।
• गुणा और भाग व्युत्क्रम संक्रियाएँ हैं।
• समीकरणों को हल करने के लिए व्युत्क्रम संक्रियाओं का उपयोग करने के उदाहरण:
  • समीकरण: x + 5 = 10
    • दोनों तरफ से 5 घटाएँ: x = 5
  • समीकरण: 3x = 12
    • दोनों तरफ 3 से भाग दें: x = 4

संक्रियाओं का क्रम (Order of Operations)

• संक्रियाओं का क्रम नियमों का एक समूह है जो यह निर्धारित करता है कि गणितीय संक्रियाओं को किस क्रम में किया जाना चाहिए।
• PEMDAS संक्रियाओं के क्रम को याद रखने के लिए एक सामान्य स्मृति सहायक है:
  • P: Parentheses (या brackets) (कोष्टक)
  • E: Exponents (घात)
  • MD: Multiplication and Division (left to right) (बाएँ से दाएँ गुणा और भाग)
  • AS: Addition and Subtraction (left to right) (बाएँ से दाएँ जोड़ और घटाव)
• संक्रियाओं के क्रम का पालन करने से लगातार और सही परिणाम सुनिश्चित होते हैं।

समान पदों का संयोजन (Combining Like Terms)

• समान पद ऐसे पद होते हैं जिनमें समान चर समान घात पर होते हैं।
• समान पदों को उनके गुणांकों को जोड़कर या घटाकर जोड़ा जा सकता है।
• समान पदों को संयोजित करने के उदाहरण:
  • 3x + 2x = 5x
  • 4y − y = 3y
  • 2a + 3b − a = a + 3b

वितरण गुण (Distributive Property)

• वितरण गुण बताता है कि a(b + c) = ab + ac
• इस गुण का उपयोग कोष्ठकों के अंदर पदों के समूह द्वारा एक एकल पद को गुणा करने के लिए किया जाता है।
• उदाहरण:
  • 2(x + 3) = 2x + 6

गुणनखंडन (Factoring)

• गुणनखंडन एक व्यंजक को उसके कारकों में तोड़ने की प्रक्रिया है।
• गुणनखंडन वितरण गुण का विलोम है।
• उदाहरण:
  • 2x + 6 = 2(x + 3)

रैखिक समीकरण (Linear Equations)

• एक रैखिक समीकरण एक ऐसा समीकरण होता है जिसमें चर की उच्चतम घात 1 होती है।
• रैखिक समीकरणों को y = mx + b के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ m ढलान है और b y-अवरोधन है।
• एक रैखिक समीकरण का ग्राफ एक सीधी रेखा है।

ढलान (Slope)

• ढलान (m) एक रेखा की ढलान को मापता है।
• ढलान को y में परिवर्तन को x में परिवर्तन से विभाजित करके गणना की जाती है (उदय पर दौड़)।
• m = (y2 − y1) / (x2 − x1)

वाय-अवरोधन (Y-Intercept)

• y-अवरोधन (b) वह बिंदु है जहाँ रेखा y-अक्ष को पार करती है।
• y-अवरोधन तब होता है जब x = 0।

समीकरणों के निकाय (Systems of Equations)

• समीकरणों का निकाय समान चरों वाले दो या दो से अधिक समीकरणों का एक समूह है।
• समीकरणों के निकाय को हल करने में चर के मानों को खोजना शामिल है जो सभी समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करते हैं।
• समीकरणों के निकाय को हल करने के तरीके में शामिल हैं:
  • प्रतिस्थापन (Substitution)
  • उन्मूलन (Elimination)
  • ग्राफिंग (Graphing)

प्रतिस्थापन (Substitution)

• एक चर के लिए एक समीकरण हल करें।
• उस अभिव्यक्ति को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें।
• शेष चर के लिए हल करें।
• दूसरे चर का मान ज्ञात करने के लिए मान को मूल समीकरणों में से एक में वापस प्रतिस्थापित करें।

उन्मूलन (Elimination)

• एक या दोनों समीकरणों को एक स्थिरांक से गुणा करें ताकि एक चर के गुणांक विपरीत हों।
• एक चर को समाप्त करने के लिए समीकरणों को एक साथ जोड़ें।
• शेष चर के लिए हल करें।
• दूसरे चर का मान ज्ञात करने के लिए मान को मूल समीकरणों में से एक में वापस प्रतिस्थापित करें।

असमानताएँ (Inequalities)

• एक असमानता एक कथन है जो असमानता प्रतीकों का उपयोग करके दो व्यंजकों की तुलना करता है।
• आम असमानता प्रतीकों में शामिल हैं:
  • < (से कम)

  • (से अधिक)

  • ≤ (से कम या बराबर)
  • ≥ (से अधिक या बराबर)
• असमानताओं को हल करना समीकरणों को हल करने के समान है, लेकिन कुछ महत्वपूर्ण अंतरों के साथ।

असमानताओं का रेखांकन (Graphing Inequalities)

• संख्या रेखा पर असमानताओं का रेखांकन समाधान सेट का प्रतिनिधित्व करने वाले क्षेत्र को छायांकित करना शामिल है।
  • < और > के लिए एक खुला वृत्त उपयोग करें।
  • ≤ और ≥ के लिए एक बंद वृत्त उपयोग करें।
• ऋणात्मक संख्या से असमानता के दोनों पक्षों को गुणा या भाग करते समय, असमानता चिह्न को उलट दें।

बहुपद (Polynomials)

• एक बहुपद चरों और गुणांकों से बना एक व्यंजक है, जो गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घातांकों के साथ जोड़, घटाव और गुणा का उपयोग करके संयुक्त होता है।
• बहुपदों के उदाहरण:
  • 3x^2 + 2x − 1
  • x^3 − 4x + 5
  • 2y^4 + y − 3

बहुपदों के प्रकार (Types of Polynomials)

• एकपदी (Monomial): एक पद वाला बहुपद (जैसे, 5x^2)।
• द्विपद (Binomial): दो पदों वाला बहुपद (जैसे, 2x + 3)।
• त्रिपद (Trinomial): तीन पदों वाला बहुपद (जैसे, x^2 − 4x + 7)।

बहुपदों के साथ संक्रियाएँ (Operations with Polynomials)

• बहुपदों को जोड़ना और घटाना में समान पदों को संयोजित करना शामिल है।
• बहुपदों को गुणा करना में वितरण गुण का उपयोग करना शामिल है।
• बहुपदों को विभाजित करना लंबी विभाजन या कृत्रिम विभाजन का उपयोग करके किया जा सकता है।

घातांक (Exponents)

• एक घातांक इंगित करता है कि आधार संख्या को स्वयं से कितनी बार गुणा किया जाता है।
• उदाहरण: व्यंजक x^3 में, आधार x है और घातांक 3 है, जिसका अर्थ है x * x * x।

घातांक के नियम (Rules of Exponents)

• घातों का गुणनफल: a^m * a^n = a^(m+n)
• घातों का भागफल: a^m / a^n = a^(m−n)
• घात की घात: (a^m)^n = a^(m*n)
• उत्पाद की घात: (ab)^n = a^n * b^n
• भागफल की घात: (a/b)^n = a^n / b^n
• शून्य घातांक: a^0 = 1 (यदि a ≠ 0)
• ऋणात्मक घातांक: a^(−n) = 1 / a^n

वैज्ञानिक संकेतन (Scientific Notation)

• वैज्ञानिक संकेतन बहुत बड़ी या बहुत छोटी संख्याओं को संक्षिप्त रूप में व्यक्त करने का एक तरीका है।
• वैज्ञानिक संकेतन में एक संख्या को a × 10^n के रूप में लिखा जाता है, जहाँ 1 ≤ |a| < 10 और n एक पूर्णांक है।
• उदाहरण:
  • 3,000,000 = 3 × 10^6
  • 0.000025 = 2.5 × 10^(−5)

मूलक (Radicals)

• एक मूलक एक प्रतीक (√) है जो किसी संख्या के मूल को इंगित करता है।
• एक संख्या x का वर्गमूल एक मान है जो, जब स्वयं से गुणा किया जाता है, तो x के बराबर होता है।
• एक संख्या x का nवाँ मूल एक मान है जो, जब nवीं शक्ति तक बढ़ाया जाता है, तो x के बराबर होता है।

मूलकों का सरलीकरण (Simplifying Radicals)

• मूलकों का सरलीकरण में मूलक (मूलक के अंदर की संख्या) को उसके कारकों में तोड़ना शामिल है।
• पूर्ण वर्ग कारकों की तलाश करें (या घनमूलों के लिए पूर्ण घन कारक, आदि)।
• उदाहरण:
  • √20 = √(4 * 5) = √4 * √5 = 2√5

द्विघात समीकरण (Quadratic Equations)

• एक द्विघात समीकरण ax^2 + bx + c = 0 के रूप का एक समीकरण है, जहाँ a, b और c स्थिरांक हैं और a ≠ 0।
• द्विघात समीकरणों को हल करने के तरीकों में शामिल हैं:
  • गुणनखंडन (Factoring)
  • वर्ग को पूरा करना (Completing the square)
  • द्विघात सूत्र (Quadratic formula)

द्विघात समीकरणों का गुणनखंडन (Factoring Quadratic Equations)

• द्विघात व्यंजक को दो द्विपदों में गुणनखंडित करें।
• प्रत्येक कारक को शून्य के बराबर सेट करें और x के लिए हल करें।
  • उदाहरण:
    • x^2 − 5x + 6 = 0
    • (x − 2)(x − 3) = 0
    • x = 2 या x = 3

द्विघात सूत्र (Quadratic Formula)

• द्विघात सूत्र का उपयोग किसी भी द्विघात समीकरण के हल खोजने के लिए किया जाता है।
• सूत्र है: x = (−b ± √(b^2 − 4ac)) / (2a)

फलन (Functions)

• एक फलन इनपुट के एक सेट और स्वीकार्य आउटपुट के एक सेट के बीच एक संबंध है, जिसमें यह गुण है कि प्रत्येक इनपुट बिल्कुल एक आउटपुट से संबंधित है।
• एक फलन को एक समीकरण, एक ग्राफ या एक तालिका द्वारा दर्शाया जा सकता है।

फलन संकेतन (Function Notation)

• फलन संकेतन f(x) प्रारूप का उपयोग करके फलनों को लिखने का एक तरीका है।
• f(x) फलन f के आउटपुट का प्रतिनिधित्व करता है जब इनपुट x होता है।
• उदाहरण:
  • यदि f(x) = 2x + 3, तो f(4) = 2(4) + 3 = 11

डोमेन और रेंज (Domain and Range)

• एक फलन का डोमेन सभी संभव इनपुट मानों (x- मान) का समूह है।
• एक फलन की रेंज सभी संभव आउटपुट मानों (y- मान) का समूह है।

फलनों का रेखांकन (Graphing Functions)

• एक फलन का रेखांकन करने के लिए, एक समन्वय तल पर बिंदुओं (x, f(x)) को प्लॉट करें।
• एक चिकनी वक्र या रेखा बनाने के लिए बिंदुओं को कनेक्ट करें।