बीजगणित: मूल बातें

ज़रूर, मैं आपकी मदद कर सकता हूँ। मैं टेक्स्ट से सभी मुख्य तथ्यों को शामिल करते हुए विस्तृत अध्ययन नोट्स लिखूंगा।

बीजगणित

• बीजगणित गणित की एक शाखा है जो प्रतीकों और उन प्रतीकों में हेरफेर करने के नियमों से सम्बंधित है।
• प्रतीक बिना निश्चित मूल्यों के मात्राओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, जिन्हें चर के रूप में जाना जाता है।
• बीजगणित का उपयोग समीकरणों का उपयोग करके गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है।
• बीजगणितीय सोच गणितीय स्थितियों का विश्लेषण करने का एक तरीका है।

मूल कार्य

• जोड़: दो या दो से अधिक संख्याओं या चरों का संयोजन।
• घटाव: दो संख्याओं या चरों के बीच का अंतर ज्ञात करना।
• गुणा: संख्याओं या चरों का बार-बार जोड़ या स्केलिंग।
• विभाजन: किसी संख्या या चर को समान भागों में विभाजित करना।

चर और व्यंजक

• चर: एक प्रतीक (आमतौर पर एक अक्षर) जो एक अज्ञात मान का प्रतिनिधित्व करता है।
• व्यंजक: चर, संख्याओं और संक्रियाओं का एक संयोजन।
• उदाहरण: 3x + 5 एक बीजगणितीय व्यंजक है।

समीकरण

• समीकरण: एक गणितीय कथन जो दो व्यंजकों के बीच समानता दर्शाता है।
• इसमें एक बराबर चिह्न (=) होता है।
• उदाहरण: 2x + 3 = 7 एक समीकरण है।

समीकरण हल करना

• किसी समीकरण को हल करने में चर के मान को ज्ञात करना शामिल है जो समीकरण को सत्य बनाता है।
• समीकरण के एक तरफ चर को अलग करने के लिए व्युत्क्रम संक्रियाओं का उपयोग करें।
• व्युत्क्रम संक्रियाएँ एक-दूसरे को "पूर्ववत" करती हैं (जोड़ और घटाव, गुणा और भाग)।
• समीकरण के दोनों तरफ समान संक्रिया करके संतुलन बनाए रखें।

संचालन का क्रम

• नियमों का समूह जो यह निर्धारित करता है कि गणितीय संक्रियाओं को किस क्रम में किया जाना चाहिए।
• PEMDAS एक आम स्मरक है:
  • कोष्ठक
  • घातांक
  • गुणा और भाग (बाएं से दाएं)
  • जोड़ और घटाव (बाएं से दाएं)

समान पदों का संयोजन

• समान पदों में समान चर को समान शक्ति तक बढ़ाया जाता है।
• केवल समान पदों को ही जोड़ा जा सकता है।
• गुणांकों (चर के सामने की संख्याएँ) को जोड़कर या घटाकर समान पदों को संयोजित करें।
• उदाहरण: 3x + 2x = 5x

वितरण गुणधर्म

• वितरण गुणधर्म: किसी संख्या को किसी योग या अंतर से गुणा करना, संख्या को कोष्ठक के अंदर प्रत्येक पद से गुणा करने और फिर उत्पादों को जोड़ने या घटाने के समान है।
• इसे a(b + c) = ab + ac के रूप में दर्शाया गया है।
• उदाहरण: 2(x + 3) = 2x + 6

गुणनखंड

• गुणनखंड: वितरण की विपरीत प्रक्रिया।
• इसमें एक व्यंजक को उसके घटक कारकों में तोड़ना शामिल है।
• लक्ष्य एक व्यंजक को सरल व्यंजकों के उत्पाद के रूप में व्यक्त करना है।
• उदाहरण: 2x + 6 = 2(x + 3)

घातांक

• घातांक: इंगित करता है कि आधार संख्या को कितनी बार स्वयं से गुणा किया जाता है।
• इसे x^n के रूप में दर्शाया गया है, जहाँ x आधार है और n घातांक है।
• उदाहरण: 2^3 = 2 * 2 * 2 = 8

घातांक के नियम

• घातों का गुणनफल: x^a * x^b = x^(a+b)
• घातों का भागफल: x^a / x^b = x^(a-b)
• घात की घात: (x^a)^b = x^(a*b)
• गुणनफल की घात: (xy)^a = x^a * y^a
• भागफल की घात: (x/y)^a = x^a / y^a
• शून्य घातांक: x^0 = 1 (यदि x ≠ 0)
• ऋणात्मक घातांक: x^(-a) = 1 / x^a

बहुपद

• बहुपद: चर और गुणांक से मिलकर बना एक व्यंजक, जिसमें केवल जोड़, घटाव, गुणा और गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घातांक की संक्रियाएँ शामिल हैं।
• उदाहरण: 3x^2 + 2x - 1, 5y - 7
• एकपदी: एक पद वाला बहुपद (जैसे, 5x)
• द्विपद: दो पद वाला बहुपद (जैसे, 2x + 3)
• त्रिपद: तीन पद वाला बहुपद (जैसे, x^2 - 4x + 7)

रैखिक समीकरणों को हल करना

• रैखिक समीकरण: एक समीकरण जिसमें चर की उच्चतम घात 1 है।
• सामान्य रूप: ax + b = c, जहाँ a, b और c स्थिरांक हैं।
• हल करने के चरण:
  • समीकरण के दोनों पक्षों को सरल कीजिए।
  • चर को अलग करने के लिए व्युत्क्रम संक्रियाओं का उपयोग करें।
  • मूल समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करके समाधान की जाँच करें।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना

• रैखिक समीकरणों की प्रणाली: समान चरों वाले दो या दो से अधिक रैखिक समीकरणों का एक समूह।
• लक्ष्य: चरों के उन मानों को ज्ञात करना जो प्रणाली के सभी समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करते हैं।
• हल करने के तरीके:
  • प्रतिस्थापन: एक चर के लिए एक समीकरण को हल करें और उस व्यंजक को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें।
  • विलोपन: एक चर को विलोपित करने के लिए समीकरणों को जोड़ें या घटाएँ।

असमानताएँ

• असमानता: एक गणितीय कथन जो असमानता प्रतीकों का उपयोग करके दो व्यंजकों की तुलना करता है।
• प्रतीक: < (से कम), > (से अधिक), ≤ (से कम या बराबर), ≥ (से अधिक या बराबर), ≠ (बराबर नहीं)।
• उदाहरण: 2x + 3 < 7

असमानताओं को हल करना

• समीकरणों को हल करने के समान, लेकिन एक महत्वपूर्ण अंतर के साथ: दोनों पक्षों को एक ऋणात्मक संख्या से गुणा या विभाजित करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है।
• उदाहरण: यदि -2x > 4, तो x < -2
• असमानताओं का रेखांकन: संख्या रेखा पर समाधान सेट का प्रतिनिधित्व करता है।

द्विघात समीकरण

• द्विघात समीकरण: ax^2 + bx + c = 0 के रूप का एक समीकरण, जहाँ a, b और c स्थिरांक हैं और a ≠ 0 है।
• द्विघात समीकरणों को हल करना:
  • गुणनखंडन: द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करें और प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर करें।
  • द्विघात सूत्र: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)
  • वर्ग को पूरा करना: एक पूर्ण वर्ग त्रिपद बनाने के लिए समीकरण में हेरफेर करें।

फलन

• फलन: निविष्टियों के एक सेट और अनुमत निर्गतों के एक सेट के बीच एक संबंध, जिसमें यह गुण होता है कि प्रत्येक निविष्ट ठीक एक निर्गत से संबंधित होती है।
• संकेतन: f(x) निविष्ट x के लिए फलन f के निर्गत का प्रतिनिधित्व करता है।
• उदाहरण: f(x) = 2x + 1

रेखांकन

• रेखांकन: समन्वय तल पर गणितीय संबंधों का दृश्य प्रतिनिधित्व।
• समन्वय तल: दो लंबवत संख्या रेखाओं द्वारा निर्मित: x-अक्ष (क्षैतिज) और y-अक्ष (ऊर्ध्वाधर)।
• बिंदुओं को क्रमित युग्मों (x, y) के रूप में दर्शाया जाता है।
• रैखिक समीकरण: सीधी रेखाओं के रूप में रेखांकन करें।
• द्विघात समीकरण: परवलय के रूप में रेखांकन करें।