बीजगणित की बुनियादी अवधारणाएँ

- बीजगणित गणित की वह शाखा है जो प्रतीकों और उन प्रतीकों को हेरफेर करने के नियमों से संबंधित है।
- प्रतीक बिना निश्चित मूल्यों वाली मात्राओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, जिन्हें चर के रूप में जाना जाता है।
- बीजगणित गणित के कई क्षेत्रों के लिए मौलिक है, जिसमें कलन, त्रिकोणमिति और ज्यामिति शामिल हैं।
- इसका उपयोग भौतिकी, इंजीनियरिंग, कंप्यूटर विज्ञान और अर्थशास्त्र में भी व्यापक रूप से किया जाता है।

### मूल बीजीय संक्रियाएँ
- जोड़, घटाव, गुणा और भाग मूल संक्रियाएँ हैं।
- ये संक्रियाएँ चरों और स्थिरांकों पर की जाती हैं।
- स्थिरांक निश्चित संख्यात्मक मान होते हैं।
- बीजगणितीय व्यंजक चरों और स्थिरांकों को बीजीय संक्रियाओं के साथ जोड़ते हैं।

### चर
- चर प्रतीक होते हैं, प्रायः अक्षर, जो अज्ञात या बदलने वाली मात्राओं का प्रतिनिधित्व करते हैं।
- सामान्य चर x, y और z हैं।
- एक चर का मान समीकरण या समस्या के आधार पर बदल सकता है।

### स्थिरांक
- स्थिरांक निश्चित संख्यात्मक मान होते हैं।
- स्थिरांकों के उदाहरणों में 2, 7, -3 और π (pi) शामिल हैं।
- स्थिरांक एक समीकरण में अपना मान नहीं बदलते हैं।

### बीजीय व्यंजक
- बीजीय व्यंजक चरों, स्थिरांकों और बीजीय संक्रियाओं के संयोजन होते हैं।
- उदाहरणों में 3x + 2, y^2 - 5 और (a + b) / c शामिल हैं।
- पद एक बीजीय व्यंजक के अलग-अलग घटक होते हैं, जो + या - चिह्नों से अलग होते हैं।

### समीकरण
- समीकरण ऐसे कथन हैं जो बताते हैं कि दो बीजीय व्यंजक बराबर हैं।
- इनमें एक बराबर का चिह्न (=) होता है।
- उदाहरण: 2x + 3 = 7.
- एक समीकरण को हल करने में चर के उन मानों को खोजना शामिल है जो समीकरण को सत्य बनाते हैं।

### असमानताएँ
- असमानताएँ दो बीजीय व्यंजकों की तुलना प्रतीकों जैसे < (से कम), > (से अधिक), ≤ (से कम या बराबर), और ≥ (से अधिक या बराबर) का उपयोग करके करती हैं।
- उदाहरण: x + 2 < 5.
- एक असमानता को हल करने का मतलब है चर के लिए मानों की सीमा ज्ञात करना जो असमानता को संतुष्ट करते हैं।

### संक्रियाओं का क्रम
- संक्रियाओं का क्रम नियमों का एक समूह है जो उस क्रम को निर्धारित करता है जिसमें एक बीजीय व्यंजक में संक्रियाएँ सही परिणाम प्राप्त करने के लिए की जानी चाहिए।
- PEMDAS/BODMAS एक सामान्य स्मरक है: Parentheses/Brackets (कोष्ठक), Exponents/Orders (घातांक/क्रम), Multiplication and Division (गुणा और भाग) (बाएँ से दाएँ), Addition and Subtraction (जोड़ और घटाव) (बाएँ से दाएँ)।
- सटीक गणना के लिए सही क्रम का पालन करना महत्वपूर्ण है।

### समान पदों का संयोजन
- समान पद ऐसे पद होते हैं जिनमें समान चर समान घातों तक बढ़ाए गए हों।
- केवल समान पदों को ही जोड़ा जा सकता है।
- समान पदों को संयोजित करने के लिए, उनके गुणांकों को जोड़ें या घटाएँ (पद का संख्यात्मक भाग)।
- उदाहरण: 3x + 5x = 8x.

### वितरण गुण
- वितरण गुण बताता है कि a(b + c) = ab + ac.
- यह आपको कोष्ठकों के अंदर एक व्यंजक से एक पद को गुणा करने की अनुमति देता है।
- यह व्यंजकों को सरल बनाने और समीकरणों को हल करने के लिए महत्वपूर्ण है।

### गुणनखंडन
- गुणनखंडन एक बीजीय व्यंजक को सरल कारकों में तोड़ने की प्रक्रिया है, जिन्हें आपस में गुणा करने पर मूल व्यंजक प्राप्त होता है।
- उदाहरण: x^2 + 5x + 6 को (x + 2)(x + 3) में गुणनखंडित किया जा सकता है।
- गुणनखंडन का उपयोग द्विघात समीकरणों को हल करने और परिमेय व्यंजकों को सरल बनाने के लिए किया जाता है।

### रैखिक समीकरणों को हल करना
- रैखिक समीकरण ऐसे समीकरण होते हैं जिनमें चर की उच्चतम घात 1 होती है।
- लक्ष्य चर को समीकरण के एक तरफ अलग करना है।
- चर को अलग करने के लिए विपरीत संक्रियाओं (जोड़/घटाव, गुणा/भाग) का उपयोग करें।
- उदाहरण: 2x + 3 = 7 को हल करने के लिए, दोनों तरफ से 3 घटाएँ (2x = 4), फिर 2 से भाग दें (x = 2)।

### द्विघात समीकरणों को हल करना
- द्विघात समीकरण ऐसे समीकरण होते हैं जिनमें चर की उच्चतम घात 2 होती है।
- मानक रूप ax^2 + bx + c = 0 है, जहाँ a, b और c स्थिरांक हैं।
- हल करने के तरीकों में गुणनखंडन, वर्ग पूरा करना और द्विघात सूत्र का उपयोग करना शामिल है।
- द्विघात सूत्र x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a) है।

### समीकरणों के निकाय
- समीकरणों का एक निकाय समान चर वाले दो या दो से अधिक समीकरणों का एक समूह है।
- समीकरणों के एक निकाय का हल चरों के उन मानों का समूह है जो निकाय के सभी समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करते हैं।
- हल करने के तरीकों में प्रतिस्थापन, विलोपन और ग्राफीकरण शामिल हैं।

### प्रतिस्थापन विधि
- एक चर के लिए एक समीकरण को हल करें, फिर उस व्यंजक को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें।
- इसके परिणामस्वरूप एक चर वाला एक एकल समीकरण प्राप्त होता है।
- उस चर के लिए हल करें, फिर दूसरे चर को खोजने के लिए मान को वापस मूल समीकरणों में से एक में प्रतिस्थापित करें।

### विलोपन विधि
- एक या दोनों समीकरणों को एक स्थिरांक से गुणा करें ताकि एक चर के गुणांक विपरीत हों।
- उस चर को खत्म करने के लिए समीकरणों को एक साथ जोड़ें।
- शेष चर के लिए हल करें, फिर दूसरे चर को खोजने के लिए मान को वापस मूल समीकरणों में से एक में प्रतिस्थापित करें।

### ग्राफीकरण विधि
- प्रत्येक समीकरण को एक ही समन्वय तल पर ग्राफ करें।
- वह बिंदु (बिंदु) जहाँ रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, निकाय के हल (हल) का प्रतिनिधित्व करते हैं।
- यह विधि समाधानों को देखने के लिए उपयोगी है लेकिन गैर-पूर्णांक समाधानों के लिए सटीक नहीं हो सकती है।

### घातांक
- घातांक यह दर्शाता है कि एक आधार को कितनी बार स्वयं से गुणा किया जाता है।
- x^n का अर्थ है x को स्वयं से n बार गुणा करना।
- x आधार है और n घातांक है।

### घातांक के नियम
- घातों का गुणनफल: x^m * x^n = x^(m+n)।
- घातों का भागफल: x^m / x^n = x^(m-n)।
- घात की घात: (x^m)^n = x^(m*n)।
- गुणनफल की घात: (xy)^n = x^n * y^n।
- भागफल की घात: (x/y)^n = x^n / y^n।
- शून्य घातांक: x^0 = 1 (यदि x ≠ 0)।
- ऋणात्मक घातांक: x^(-n) = 1 / x^n।

### बहुपद
- बहुपद बीजीय व्यंजक होते हैं जिनमें चर और गुणांक होते हैं, जिनमें केवल जोड़, घटाव और गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घातांक की संक्रियाएँ शामिल होती हैं।
- उदाहरणों में 3x^2 + 2x - 1, x^3 - 5x + 7 और 4 शामिल हैं।
- एकपदी: एक पद वाला बहुपद (उदाहरण के लिए, 5x^2)।
- द्विपद: दो पदों वाला बहुपद (उदाहरण के लिए, 2x + 3)।
- त्रिपद: तीन पदों वाला बहुपद (उदाहरण के लिए, x^2 - 4x + 1)।

### बहुपदों के साथ संक्रियाएँ
- बहुपदों को जोड़ना/घटाना: समान पदों को जोड़ें।
- बहुपदों को गुणा करना: वितरण गुण का उपयोग करें।
- बहुपदों को विभाजित करना: बहुपद लंबी विभाजन या सिंथेटिक विभाजन।

### परिमेय व्यंजक
- परिमेय व्यंजक भिन्न के रूप में बीजीय व्यंजक होते हैं, जहाँ अंश और हर बहुपद होते हैं।
- उदाहरण: (x + 1) / (x^2 - 4)।
- परिमेय व्यंजकों को सरल बनाना: अंश और हर का गुणनखंड करें और उभयनिष्ठ कारकों को रद्द करें।

### परिमेय समीकरणों को हल करना
- भिन्नों को खत्म करने के लिए समीकरण के दोनों तरफ सबसे कम उभयनिष्ठ हर (LCD) से गुणा करें।
- परिणामी समीकरण को हल करें।
- बाह्य हल (ऐसे हल जो मूल व्यंजक के हर को शून्य के बराबर बनाते हैं) के लिए जाँच करें।

### मूलक
- मूलक मूलों से जुड़े व्यंजक होते हैं, जैसे वर्गमूल, घनमूल आदि।
- प्रतीक √ वर्गमूल को दर्शाता है।
- x का nवां मूल ⁿ√x के रूप में लिखा जाता है।

### मूलकों को सरल बनाना
- मूलपद (मूलक के अंतर्गत व्यंजक) का गुणनखंड करें और पूर्ण वर्ग (या घन आदि) कारकों की तलाश करें।
- उदाहरण: √20 = √(4 * 5) = √4 * √5 = 2√5.

### मूलकों के साथ संक्रियाएँ
- मूलकों को जोड़ना/घटाना: समान मूलकों (समान मूलपद वाले मूलकों) को जोड़ें।
- मूलकों को गुणा करना: गुणांकों और मूलपदों को अलग-अलग गुणा करें।
- मूलकों को विभाजित करना: हर का परिमेयकरण करें (हर से मूलकों को खत्म करें)।

### काल्पनिक संख्याएँ
- काल्पनिक संख्याएँ काल्पनिक इकाई i के गुणक होती हैं, जहाँ i को √-1 के रूप में परिभाषित किया गया है।
- उदाहरण: 2i, -5i, i√3.

### सम्मिश्र संख्याएँ
- सम्मिश्र संख्याएँ a + bi के रूप में संख्याएँ होती हैं, जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं और i काल्पनिक इकाई है।
- a वास्तविक भाग है और b काल्पनिक भाग है।

### सम्मिश्र संख्याओं के साथ संक्रियाएँ
- सम्मिश्र संख्याओं को जोड़ना/घटाना: वास्तविक भागों और काल्पनिक भागों को अलग-अलग जोड़ें।
- सम्मिश्र संख्याओं को गुणा करना: वितरण गुण और तथ्य यह है कि i^2 = -1 का उपयोग करें।
- सम्मिश्र संख्याओं को विभाजित करना: अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करें।