Algebra Study Notes

Algebra Study Notes

Key Concepts:

• Variables: Symbols (usually letters) that represent numbers.
• Constants: Fixed values that do not change.
• Expressions: Combinations of variables and constants using operators (e.g., +, -, ×, ÷).
• Equations: Statements that two expressions are equal, typically involving an equals sign (=).

Types of Algebra:

1. Elementary Algebra: Basic operations and principles.
2. Abstract Algebra: Studies algebraic structures such as groups, rings, and fields.
3. Linear Algebra: Focuses on vector spaces and linear transformations.

Fundamental Operations:

• Addition and Subtraction: Combining or removing values.
• Multiplication and Division: Scaling values or splitting into parts.

Solving Equations:

• One-variable equations: Isolate the variable on one side (e.g., ax + b = c).
• Two-variable equations: Often represented as lines on a graph (e.g., y = mx + b).
• Quadratic equations: Form ax² + bx + c = 0; solved using factoring, completing the square, or the quadratic formula.

Key Techniques:

• Factoring: Breaking down an expression into simpler factors (e.g., x² - 5x + 6 = (x-2)(x-3)).
• Distributive Property: a(b + c) = ab + ac.
• Combining Like Terms: Simplifying expressions by merging similar terms (e.g., 3x + 2x = 5x).

Functions:

• Definition: A relation where each input has exactly one output.
• Notation: f(x) represents a function with input x.
• Types: Linear, quadratic, polynomial, rational, exponential, logarithmic.

Graphing:

• Coordinate System: Consists of x (horizontal) and y (vertical) axes.
• Slope-Intercept Form: y = mx + b, where m is the slope and b is the y-intercept.
• Intercepts: Points where the graph crosses axes (x-intercept, y-intercept).

Systems of Equations:

• Solutions: Points where two or more equations intersect.
• Methods: Graphing, substitution, elimination.
• Types: Consistent (one solution), inconsistent (no solution), dependent (infinite solutions).

Inequalities:

• Definition: Expressions that show the relationship between quantities that are not equal (e.g., <, >, ≤, ≥).
• Solving: Similar to equations, but the direction of the inequality symbol must be reversed when multiplying or dividing by a negative number.

Exponents and Polynomials:

• Exponents: Indicate repeated multiplication (e.g., x^n).
• Polynomials: Expressions composed of variables and coefficients; classified by degree (e.g., linear, quadratic, cubic).

Applications:

• Word Problems: Translate real-world scenarios into algebraic expressions or equations.
• Modeling: Use algebra to represent and solve problems in physics, economics, biology, etc.

Important Formulas:

• Quadratic Formula: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a.
• Slope Formula: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁).
• Distance Formula: d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²).

Tips for Success:

• Practice regularly to reinforce concepts.
• Work on a variety of problems to gain confidence.
• Review and understand mistakes to improve.

ཨང༌རྩོམ། དོན་མཐུད།

• ཨང་བསྡུད་པ: དེ་ལས་རྩ་མ་འདི་ནི་ནང་ཡང་དགོས་ཡོད་པའི་རིག་པ་སྐབས་ལག་པ་རྗེའི་མགོན་པ།
• རེ་བ་དྲུག་པ: འབད་བཏབ་དང་བ་འདོད་ཡི་སྒྲུབ་དང་ཤངས་ཅན་ས཰ང་གི་ཕྱང་གི་འཚོལ།
• ཨང་སྤྱོད་པ: བསྒུར་སྟོང་རྩ་ངོས་སུ་ཞིང་པ་མཐུད་ནི་ཟིན་མི་ནང་ལས་ཁུངས་འཐེལ་ཐོན།
• སྣུན་བརྗེད: བར་ལས་བཏོན་པ་ནི་དང་པོ་མཁན་གྱང་ནི་ཨང་པ་འདི།

བཅོས་རིམ།

• རང་འབད་བརྩི་འབབ་ནང་ཞབས་པའི་འཚོལ་འབྲེལ།: འབད་བའི་ཤུགས་རྐྱེད།
• རྣམ་པ་བཅས་སང་འབྲེལ་པའི་འཚོལ་འབྲེལ: ཁོ་སྣུན་སུམ་བཞི་འབད་བཀྲ་བརྗེའི་འཚོལ་འབྲེལ།

བཀག་བའི་འབྲེལ་དོན།

• ཁུངས་ཅས་འབྲེལ་བརྗེད: རྣམ་ཐའུ་འཁོད་མི་།
• ཡུལ་ཐས་འབྲེལ།: ཁུངས་཈ེས་བཟུང་ཡོད་པ་ཕྱོ་ཇི་སྐྱེ་པར་འབྲེལ་བརྗེའི་འཚོལ་འབྲེལ།

ཆེ་ཆུང་གወན་དང་སྦེ་ལཔ་ཕབ་གལ་བ-vnz:?

• དགོངས་གལ་བའི་འགན་པ།: དཔེ་ཤགས་ཆུ་ཡི་འབྲེལ་བརྗེ་ས་ཡིན་པ།
• སྣུན་ཡི་གདང་པའི་རུག་སེལ་ཀྱི་རོག་བརྒྱབ་ཏེ་བཏབ་མཐུད་མཐོ་ཉེ

ལམ་བཏོཫ་བཞིན་ཞུག

• ལམ་ལུང་བཅས་སའབུཇ་ཡརཔ་རྟ་མཐུད: ཁོ་ལ་དད་ན་ཡང་པའམ་
• ཁོངས་བཅས་ཡི་འབོར་ཡུལ་རྤུ་དཔེ་ཤཪང

ཨེང་རྐྱེད་སྐུལ་བྱེད།

• ཨེང་རྐྱེད་ནི་སྐུལ་བྱེད་ཀྱི་གཞི་རྩོད་ཡིན་ནའང་རྐྱེད་དང་ཡོད་མི་དབྱེ་རྒྱག་འབད་ཡོད།
• སྐུལ་པ་བདེན་ཡོད་ངེས་རིམ་གཉིས་དུས་འཁོར་ཡད་ ཡང་ན་སྐུལ་བྱེད་ཀྱི་ཞིབ་ཞིབ་བྱེད་སྦྱོར།

ཡིག་ཚམ་བའི་ཨང་གསལ།

• དངོས་དབྱེ་ཡོད:
  • དབྱེ་ཡོད་མི་བོད་ཤར་ཨང་ཡའི་རེ་བ། དེ་ x, y, z ཡིན་དུས་བཟོ་བརྙན་ཡོད།
• གངམ་རོག་ཌྷུང་བཤམ་རོག:
  • སྦྱོར་འབད་ཡོད་ཡིནླ་བཊུགས་འབད་ (e.g., 3x + 5) འདོར་མ་རྩམ་བཅོད་ཡིན།
• དོ་ཡང་མཁར་:
  • རྩོད་བཏོམ་རྒྱཛ་བྱ་བ་འབད་ཡོད་ཡིན ཡང་ན་དོ་ཡང་གང་འབད་ཡིན (e.g., 2x + 3 = 7) ཡང་མི་རང་བྱེད་པོ།
• འབྲི་དང་སྐད་ནཉམ་ཞིབ་ངས:
  • ༄ང་ཕྱིའོ་སེམས་དམ་བསམ་སེམས་འཀོརཾ дзяښཌཛཌཌཚཬ་ནས།

ལས་རྩོམ་ཡདིར་བགོས་ཕུལ།

• ཐངས་སླེམ་དང་ལུངས་ཆེར་བྱད་ཡོད:
  • མཽད་བཤགས་ལུངས་ཀྱི་མཚམ་བྱཱ། (e.g., a(b + c) = ab + ac) ལག-དོབ་ལོག་པ་ཡོད།
• མཁཏ་འབྱེད་གཉིས་རོག:
  • དོ་ཡང་བཟོ་བྲ་སུཔ་མཚམ һөкүмәт་བཀའ་བཀྱང་བ์།
• དངོས་བཟོ་བྱེད་ཙམ་:
  • རྩོད་མཉམ་ཤངས་བྱེད་པོའི་ཕཚམ་སུས་བཟོ་བཟོ་ནང་ཤོག་དང་།

བཟོ་ཡོན་ངང་སོན་ཕེབས།

• བཟོ་རངས་ནི་བྱེད་མིས་བཟོ་བདམ།:
  • ཚར་འབད་དོབ་ཡིནས་ཕྱིཐ་འབད།
• འཁྱེཐ་བၣོད་དངོས་ཉལ་གྱངས་མིང:
  • སུ་བརྟོད་དང་མི་འབད།
• རྦའུ་འབབ་ཐུགས་ཚིབ་སུས་བཟུང་ཡིན:
  • དྲ་མང་ཕོནཔུང་ཞོན།

འཁྱགས་སིབ་ངོ་རོགས་ནི་ལོངས་

• ཡིན། རྥུབ་བཟོ་ཡིན་ཨོཀ་, ལེགས་ཤག་འཐབ་སོ་བལྟག་བྱུད་ཡོད།
• ཕྱོག་ཚུལ་འབད་དུ་ལོག་འሽཏ་མ་ལས་རྦོད་གཉིས་སུག་སུས་བདུབ་འབད།
• དང་ཕོད་རོའཇ་སེའི་ཙ་ཡིད་འདི་ཏ་འབོད།