Βασικές Έννοιες Άλγεβρας

Basic Concepts

• Γεωμετρία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που χρησιμοποιεί γράμματα και σύμβολα για να εκφράσει αριθμούς και ποσότητες σε μαθηματικές εκφράσεις και εξισώσεις.
• Ασχολείται με τις σχέσεις μεταξύ μεταβλητών και χρησιμοποιεί αυτές τις σχέσεις για την επίλυση προβλημάτων.
• Βασικά θέματα περιλαμβάνουν μεταβλητές, εξισώσεις, εκφράσεις, συναρτήσεις, ανισότητες και πιο σύνθετα θέματα, όπως πολυώνυμα, συστήματα εξισώσεων, πίνακες και διανύσματα.
• Η άλγεβρα επιτρέπει τη γενίκευση μαθηματικών αρχών και την επίλυση προβλημάτων που ενδεχομένως να μην έχουν άμεση λύση.

Variables and Expressions

• Οι μεταβλητές είναι σύμβολα (συνήθως γράμματα όπως x, y ή z) που αντιπροσωπεύουν άγνωστες τιμές.
• Οι εκφράσεις είναι συνδυασμοί μεταβλητών, αριθμών και μαθηματικών πράξεων (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση κ.λπ.).
• Παραδείγματα εκφράσεων περιλαμβάνουν 2x + 3, y² - 5 και (a + b)/c.
• Οι εκφράσεις δεν έχουν σημάδι "ίσο με", σε αντίθεση με τις εξισώσεις.

Equations

• Οι εξισώσεις δηλώνουν ότι δύο εκφράσεις είναι ίσες.
• Περιέχουν το σημάδι "ίσο με" (=).
• Παραδείγματα περιλαμβάνουν x + 5 = 10, 2y - 7 = 1 και a² = 9.
• Η επίλυση μιας εξίσωσης περιλαμβάνει τον προσδιορισμό της (των) τιμής (ων) της μεταβλητής (ων) που την καθιστούν αληθινή.

Operations with Variables

• Ο συνδυασμός όμοιων όρων περιλαμβάνει την πρόσθεση ή αφαίρεση όρων με τις ίδιες μεταβλητές υψωμένες στις ίδιες δυνάμεις.
• Η διανομή περιλαμβάνει τον πολλαπλασιασμό ενός όρου με κάθε όρο μέσα σε παρενθέσεις.
• Η παραγοντοποίηση είναι η αντίστροφη πράξη της διανομής. Περιλαμβάνει τον προσδιορισμό κοινών παραγόντων.

Linear Equations

• Μια γραμμική εξίσωση είναι μια εξίσωση η γραφική παράσταση της οποίας είναι μια ευθεία γραμμή.
• Η κανονική μορφή μιας γραμμικής εξίσωσης είναι Ax + By = C.
• Η επίλυση γραμμικών εξισώσεων περιλαμβάνει τον περιορισμό της μεταβλητής σε μία πλευρά της εξίσωσης.
• Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι για την επίλυση γραμμικών εξισώσεων, συμπεριλαμβανομένων της ιδιότητας πρόσθεσης/αφαίρεσης ισότητας και της ιδιότητας πολλαπλασιασμού/διαίρεσης ισότητας.

Systems of Linear Equations

• Τα συστήματα γραμμικών εξισώσεων αποτελούνται από δύο ή περισσότερες γραμμικές εξισώσεις.
• Η εύρεση της λύσης ενός συστήματος εξισώσεων περιλαμβάνει τον προσδιορισμό των τιμών των μεταβλητών που ικανοποιούν όλες τις εξισώσεις.
• Οι μέθοδοι για την επίλυση συστημάτων εξισώσεων περιλαμβάνουν γραφήματα, αντικατάσταση και εξάλειψη.

Polynomials

• Τα πολυώνυμα είναι εκφράσεις που αποτελούνται από μεταβλητές και συντελεστές που συνδυάζονται χρησιμοποιώντας πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμό.
• Η κανονική μορφή ενός πολυωνύμου οργανώνει τους όρους από την υψηλότερη έως την χαμηλότερη δύναμη.

Quadratic Equations

• Οι τετραγωνικές εξισώσεις είναι πολυωνυμικές εξισώσεις βαθμού 2.
• Η κανονική μορφή μιας τετραγωνικής εξίσωσης είναι ax² + bx + c = 0, όπου a, b και c είναι σταθερές.
• Υπάρχουν πολλές μέθοδοι για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων, συμπεριλαμβανομένης της παραγοντοποίησης, της συμπλήρωσης τετραγώνου και της τετραγωνικής φόρμουλας.

Functions

• Μια συνάρτηση είναι μια σχέση μεταξύ τιμών εισόδου (ανεξάρτητη μεταβλητή) και εξόδου (εξαρτημένη μεταβλητή) όπου κάθε είσοδος αντιστοιχεί σε ακριβώς μία έξοδο.
• Οι συναρτήσεις χρησιμοποιούνται συχνά για τη μοντελοποίηση πραγματικών καταστάσεων.
• Η συμβολική σημειογραφία για συναρτήσεις περιλαμβάνει συνήθως f(x), g(x) ή άλλα συμβολικά γράμματα.

Inequalities

• Οι ανισότητες περιγράφουν σχέσεις όπου η μία έκφραση είναι μεγαλύτερη (>) ή μικρότερη (<) ή μεγαλύτερη ή ίση με (≥) ή μικρότερη ή ίση με (≤) μια άλλη έκφραση.
• Η επίλυση ανισοτήτων μοιάζει με την επίλυση εξισώσεων, αλλά με σημαντικές διαφορές: η αλλαγή σημείου ανισότητας όταν πολλαπλασιάζουμε ή διαιρούμε με αρνητικό αριθμό.